双曲面

幾何学において、回転双曲面（円双曲面とも呼ばれる）とは、双曲線をその主軸の1つを中心に回転させることによって生成される曲面のことである。双曲面とは、回転双曲面を方向スケーリング、あるいはより一般的にはアフィン変換によって変形することによって得られる曲面のことである。

双曲面は二次曲面、すなわち3変数2次多項式の零点集合として定義される曲面です。二次曲面の中でも、双曲面は円錐でも円柱でもなく、対称中心を持ち、多くの平面と双曲線で交わるという特徴があります。双曲面は互いに直交する3つの対​​称軸と、互いに直交する3つの対​​称面を持ちます。

双曲面が与えられた場合、双曲面が以下のいずれかの式で定義されるような デカルト座標系を選択することができる。$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,}$$ または $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$$ 座標軸は双曲面の対称軸であり、原点は双曲面の対称中心である。いずれの場合も、双曲面は次の式で表される円錐に 漸近する。$${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$$

回転双曲面が存在するのは、${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$それ以外の場合、軸は一意に定義されます（x軸とy軸の入れ替えを除く）。

双曲面には2種類あります。1つ目のケース（式の右辺に+1がある場合）： 1葉双曲面、または双曲双曲面とも呼ばれます。これは連結曲面であり、すべての点で負のガウス曲率を持ちます。これは、ほぼすべての点において、双曲面とその接平面との交線が、その点で異なる接線を持つ2つの曲線の枝から構成されることを意味します。1葉双曲面の場合、これらの曲線の枝は直線であるため、1葉双曲面は二重線織面となります。

2番目のケース（式の右辺が-1の場合）： 2葉双曲面、または楕円双曲面と呼ばれる。この曲面は2つの連結成分を持ち、すべての点で正のガウス曲率を持つ。また、すべての点における接平面がその点でのみ曲面と交わるという意味で凸である。

双曲面のデカルト座標は、方位角θ ∈ [ 0, 2 π )を維持しつつ、傾斜角vを双曲線三角関数に変更することで、球面座標と同様に定義できます。

1面双曲面：v ∈ (− ∞ , ∞ )$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$$

2面双曲面: v ∈ [ 0, ∞ )$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$$

以下のパラメトリック表現には、1 葉双曲面、2 葉双曲面、およびそれらの共通境界円錐が含まれ、それぞれが${\displaystyle z}$-軸を対称軸とする： $${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$$

• のために${\displaystyle d>0}$1葉双曲面が得られる。
• のために$d<0$2枚の葉を持つ双曲面、
• のために${\displaystyle d=0}$二重円錐。

双曲面のパラメトリック表現は、対称軸として異なる座標軸を持つように、${\displaystyle cs}$上記の式において、適切な項にその項を対応付けてください。

双曲面は高次元数学において頻繁に見られる。例えば、擬ユークリッド空間では二次形式が用いられる。 $${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$$cが任意の定数である 場合、空間の次の部分 $${\displaystyle \lbrace x\$$ :\ q(x)=c\rbrace } は双曲面 と呼ばれます。退化ケースはc = 0に対応します。

例として、次の文章を考えてみましょう。^{[ 4 ]}

...速度ベクトルは常に、ミンコフスキーが4次元双曲面と呼ぶ曲面上に存在する。なぜなら、純粋に実数座標( y ₁ , ..., y ₄ )で表すと、その方程式はy ² ₁ + y ² ₂ + y ² ₃ − y ² ₄ = −1となり、 3次元空間の双曲面y ² ₁ + y ² ₂ − y ² ₃ = −1に類似しているからである。 ^{[ 6 ]}

しかし、球と双曲面には共通点があるため、この文脈では準球という用語も使用されます（下記の「 球との関係」の項を参照）。

双曲面は建築に用いられ、その構造物は双曲面構造物と呼ばれます。双曲面は二重線織面であるため、直線状の鋼梁で構築でき、他の工法よりも低コストで強固な構造物を実現できます。例としては、特に発電所の冷却塔や、その他多くの構造物が挙げられます。

• 一枚板双曲面構造のギャラリー
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  ウクライナ、アジオゴル灯台、1911年。
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  1916年に特許を取得したDSMエマ社製ヴァン・イテルソン冷却塔（オランダ、ヘールレン、1918年）
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  神戸ポートタワー、日本、1963年。
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  セントルイス科学センターのジェームズ・S・マクドネル・プラネタリウム、ミズーリ州セントルイス、1963年。
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  ニューカッスル国際空港の管制塔、ニューカッスル・アポン・タイン、イングランド、1967年。
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  イェシュチェド送電塔、チェコ共和国、1968 年。
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  ブラジル、ブラジリアの大聖堂、1970年。
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  双曲面形状の給水塔と環状タンク、ポーランド、チェハヌフ、1972年。
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  ロイ・トムソン・ホール、トロント、カナダ、1982年。
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  ドイツ、ハム＝ユントロップにあった、現在は廃止されたトリウム原子炉の冷却塔、 THTR -300、1983年撮影 。
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  コーポレーション・ストリート橋、マンチェスター、イングランド、1999年。
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  キレスベルク展望台、シュトゥットガルト、ドイツ、2001年。
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  BMWヴェルト（BMWワールド）、博物館兼イベント会場、ミュンヘン、ドイツ、2007年。
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  中国、広州タワー、2010年。
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  エサール・ル・ロワ給水塔、フランス。

1853年、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは『四元数に関する講義』を出版し、その中で二重四元数についても解説した。673ページからの以下の記述は、ハミルトンが二重四元数代数と四元数のベクトルを用いて球の方程式から双曲面を生成する方法を示している。

...単位球の方程式ρ ² + 1 = 0を、ベクトルρをσ + τ √ −1のような二重ベクトル形式に変更します。すると、球の方程式は次の 2 つのシステムに分解されます。

σ ² − τ ² + 1 = 0、 S。στ = 0 ;

そして、 σとτを2つの実数で直交ベクトルとして考えることを提案します。

Tτ = ( Tσ2 − ¹ ) ^1/2。​

したがって、ある位置にあるベクトルλに対してσ || λ と仮定すると、新しい実ベクトルσ + τは二重葉正双曲面の表面で終端し、一方τ || λと仮定すると、実ベクトルσ + τの端点の軌跡は正一葉双曲面となることが容易に推測できる。このように、これら2つの双曲面の研究は、双四元数を介して、球面の研究と非常に簡単に結びついている。

この箇所では、Sは四元数のスカラー部分を表す演算子であり、Tは四元数の「テンソル」（現在はノルムと呼ばれる）である。

球面と双曲面の統一に関する現代的な見解では、二次形式のスライスとしての円錐曲線の概念が用いられる。円錐面の代わりに、二次形式によって決定される点p = ( w , x , y , z ) ∈ R ⁴を持つ四次元空間の円錐超曲面が必要となる。まず、円錐超曲面を考える。

• ${\displaystyle P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}}$そして
• ${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\$ :\ w=r\rbrace ,} これは超平面です。

それから${\displaystyle P\cap H_{r}}$は半径rの球である。一方、円錐超曲面は

${\displaystyle Q=\lbrace p\$ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace } は、${\displaystyle Q\cap H_{r}}$双曲面である。

二次形式の理論では、単位準球面とは、二次空間Xの部分集合であり、x ∈ Xであって、 xの二次ノルムが1 であるようなものを指す。^{[ 7 ]}

• 表面のリスト
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• 軸の回転
• 分割四元数§ プロファイル
• 軸の平行移動
• ド・ジッター空間
• 光円錐

• ワイススタイン、エリック W. 「双曲面」 . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. 「1枚の葉を持つ双曲面」 . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. 「2枚の葉を持つ双曲面」 . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. 「楕円双曲面」 . MathWorld .