細い三角形

三角法では、細い三角形とは、高さが底辺よりはるかに大きい三角形のことです。このような三角形の解は、小さな角度の正弦がその角度（ラジアン）に等しいという近似値を使用することで大幅に簡略化できます。この解法は、細い三角形が二等辺三角形または直角三角形でもある場合は特に簡単です。このような場合は、三角関数や表はまったく必要ありません。

細い三角形は測量、天文学、射撃などに使われます。

図 1 を参照すると、細長い二等辺三角形の近似解は次のようになります。

${\displaystyle b\approx r\theta \,}$

${\displaystyle {\text{area}}\approx {\frac {1}{2}}\theta r^{2}\,}$

これは小角近似に基づいています。

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,\quad \theta \ll 1\,}$

そして

${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\approx 1,\quad \theta \ll 1}$

がラジアン単位の場合。 ${\displaystyle \scriptstyle \theta}$

細い三角形の解の証明は、正弦定理を適用した小角近似から得られます。再び図 1 を参照すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \theta }}={\frac {r}{\sin \left({\frac {\pi -\theta }{2}}\right)}}}$

項は三角形の底角を表し、この値となるのは、三角形の内角の合計（この場合は2つの底角とθ）がπに等しいためです。上記の正弦定理に小角近似を適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi -\theta }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{\theta }}\approx {\frac {r}{1}}}$

これが望ましい結果です。

この結果は、三角形の底辺の長さが、角度θによって囲まれた半径rの円弧の長さに等しいと仮定することと同等です。誤差は、約 43° 未満の角度では 10% 以下であり、^[2]二次関数的に改善されます。つまり、角度がk倍減少すると、誤差はk ²倍減少します。

三角形の 面積の辺-角-辺の公式は

${\displaystyle {\text{面積}}={\frac {\sin \theta }{2}}r^{2}}$

小角近似を適用すると、

${\displaystyle {\text{area}}\approx {\frac {1}{2}}\theta r^{2}\,}$

図 3 を参照すると、直角三角形の近似解は次のようになります。

${\displaystyle b\approx h\theta }$

これは小角近似に基づいている

${\displaystyle \tan \theta \approx \theta ,\quad \theta \ll 1}$

これを正確な解に代入すると

${\displaystyle b=h\tan \theta \ }$

望ましい結果が得られます。

この近似値の誤差は31°以下の角度では10%未満である。^[3]

細長い三角形は、遠くにある物体までの距離を測定する必要があるあらゆる状況で応用されます。これは測量、天文学、軍事用途にも応用されます。

細い三角形は、太陽系の物体までの距離を測定するために天文学でよく使用されます。三角形の底辺は 2 つの測定ステーション間の距離によって形成され、角度θは2 つのステーションから見た物体の視差角です。このベースラインは、最高の精度を得るために通常は非常に長くなっています。原理的には、ステーションは地球の反対側にある可能性があります。ただし、この距離は測定対象物までの距離 (三角形の高さ) と比較するとまだ短いため、細い三角形のソリューションを適用して高い精度を達成できます。底角を測定する代替方法は理論的には可能ですが、それほど正確ではありません。底角はほぼ直角であり、同じ精度を得るには視差角よりもはるかに高い精度で測定する必要があります。^[4]

視差角を測定して細い三角形を適用する同じ方法は、少なくとも近い星までの距離を測定するのに使用できます。ただし、星の場合は、通常、地球の直径よりも長い基線が必要です。基線上の 2 つのステーションを使用する代わりに、同じステーションから 1 年の異なる時期に 2 つの測定が行われます。この間、地球が太陽の周りを回る軌道によって測定ステーションは大きく移動するため、非常に長い基線が得られます。この基線は、地球の軌道の長軸、つまり 2天文単位(AU) と同じ長さになることがあります。1 AU の基線で測定された視差角がわずか 1秒角の星までの距離は、天文学ではパーセク(pc)と呼ばれる単位で、約 3.26光年に相当します。^[5] パーセク単位の距離と秒角単位の角度には反比例関係があります。例えば、2秒角は0.5パーセクの距離に相当し、0.5秒角は2パーセクの距離に相当する。^[6]

細い三角形は、射撃手が三角関数を計算したり調べたりしなくても、距離と標的の大きさの関係を計算できるため、砲術では便利です。軍用や狩猟用の望遠照準器には、ミリラジアンで目盛りが付けられたレチクルが付いていることが多く、この文脈では通常、単にミルまたはミルドットと呼ばれます。高さ1メートルで、照準器で1ミルと測定された標的は、1000メートルの距離に相当します。狙撃手の照準器で測定された角度と標的までの距離には反比例関係があります。たとえば、この同じ標的が照準器で2ミルと測定された場合、距離は500メートルです。^[7]

照準器で時々使用される別の単位は、弧の分（MOA）です。弧の分に対応する距離は、ミリラジアンの場合のようにメートル法では正確な数値ではありませんが、ヤードポンド法では便利なおおよその整数対応があります。高さ1インチで照準器で1MOAを測定するターゲットは、100ヤードの範囲に相当します。^[7] または、おそらくより便利なのは、高さ6フィートで4MOAを測定するターゲットは、1800ヤード（1マイル強）の範囲に相当することです。

航空ナビゲーションの単純な形式である推測航法は、長距離の上空の風速を推定して、望ましい方向を計算します。予測または報告された風速が正確であることはまれなので、航空機の方向を定期的に修正する必要があります。細い三角形は、 「60 マイル移動した後、コースから 1 マイル外れると方向が 1 度ずれる」という1/60 ルールの基礎を形成します。「60」は 180 / π = 57.30 に非常に近いです。

• 小角近似
• 振り子の微小振動