序数

超限数列の構成手順は、その要素にラベルを付けるために使用される順序数が整列していることを意味する。^{[ 5 ]}これは次のことを意味する。

空でない順序数の集合⁠${\displaystyle T}$最小要素が一意に存在します。

直感的に、最小の順序は${\displaystyle T}$は、のすべての序数よりも厳密に小さいすべての序数の後に導入される「次の」序数です。${\displaystyle T}$が使用されてきた。対照的に、${\displaystyle T}$⁠最大要素を持つ必要はない、例えば、${\displaystyle T}$は、すべての自然数の集合です。

整列していることは、単に線形に並んでいるよりも強い意味を持つ。例えば、実数は自然に線形に並んでいるが、任意の開区間には最小元が存在しない。

整列の重要性は、超限帰納法を可能にする点にある。もしある命題が${\displaystyle P(\alpha )}$順序数について${\displaystyle \alpha }$すべてに当てはまるわけではない${\displaystyle \alpha }$つまり、反例が存在するならば、最小反例が存在するはずです。逆に、 が証明できるならば、${\displaystyle P(\alpha )}$⁠ は、次の場合に真となります。${\displaystyle P(\beta )}$すべてに当てはまる${\displaystyle \beta <\alpha }$⁠、そうであれば、最小反例を持つことはなく、したがって、反例を全く持つこともない、つまり、それは確かに普遍的に真である。 ^{[ 6 ]}

集合論の一般的なツェルメロ・フレンケル（ZF）形式化では、整列集合は全順序集合である。${\displaystyle (S,\leq )}$⁠空でないすべての部分集合⁠${\displaystyle T\subseteq S}$⁠ には最小要素があります。ここで「セット」とは、適切なクラスではなく、ZF のオブジェクトであるコレクションを意味します。

整列集合は、順序を尊重する形で要素に順序ラベルを割り当てることにより、超限数列として表すことができる。$\displaystyle a_{\alpha }\leq a_{\beta }}$⁠の場合に限り⁠${\displaystyle \alpha \leq \beta }$（このような2つの順序集合間の1対1対応を順序同型と呼びます。）このような列挙で使用されるラベルは、順序数の初期セグメントを形成します。つまり、あるラベルが使用される場合、それより小さいすべての順序数ラベルも使用されます。整列性により、ラベルとして使用されない最小の順序数が一意に存在します。この順序数はシーケンスの「長さ」を決定し、整列の順序タイプと呼ばれます。0ベースのインデックス付けのおかげで、順序タイプは、空集合を含む有限集合の濃度と一致します。 ^{[ 1 ]}ただし、無限集合の場合、異なる整列関係が存在します。${\displaystyle \leq }$異なる注文タイプを持つことができます。

順序型は、順序数の概念を事前に必要とせずに、一般的な整列集合間の順序同型性を直接扱うことで定義できます。これは、一般的な（順序のない）集合間の全単射によって濃度を定義できるのと同様です。全単射と同様に、順序同型性は整列集合上の同値関係であり、その同値類は順序型（順序数）に対応します。

Principia Mathematicaのアプローチでは、整列集合の順序型は${\displaystyle (S,\leq )}$は、その同型類、すなわちすべての整列集合の集合と同一視される。${\displaystyle (S',\leq ')}$順序同型​${\displaystyle (S,\leq )}$⁠。要素が⁠${\displaystyle S'}$は何でもあり得るが、この定義は「すべての集合の集合」というニュアンスを持ち、ZFではそのような集合は一般的に大きすぎて集合とは言えない。この定義は型理論やクワインの公理的集合論「新基礎論」および関連システム依然として使用できる^{。 [ a ]}

ZFおよび関連する公理的集合論体系では、これらの同値類は一般的に大きすぎて集合を形成できません。したがって、各同値類から一意の標準的な代表、つまり整列構造を体現する単一の集合を選択する必要があります。集合論における基本的な関係は集合のメンバーシップ（⁠${\displaystyle \in }$)理想的な表現は、抽象的な順序関係が${\displaystyle <}$はメンバーシップ関係に直接変換されます${\displaystyle \in }$⁠ .

厳密な順序関係を定義する${\displaystyle <}$メンバーシップ関係として${\displaystyle \in }$⁠すべての順序数のクラスに限定された再帰的特徴付け${\displaystyle \gamma =\{\alpha \mid \alpha <\gamma \}}$⁠は、以下の文に要約されます。

• もし​${\displaystyle \alpha \in \beta }$そして​​${\displaystyle \beta }$は序数なので、${\displaystyle \alpha }$は順序数です: の推移性${\displaystyle \alpha }$⁠集合は、関連するすべての順序数が の要素であることを見つけることによって見つけられます。${\displaystyle \beta }$そして、推移性を利用して${\displaystyle \in }$関係性​${\displaystyle \beta }$⁠ ; 整然とした⁠${\displaystyle \alpha }$は、の秩序正しさから直接導かれる${\displaystyle \beta }$⁠ . ^{[ 8 ]}

非厳密な順序関係${\displaystyle \leq }$別の特徴付けもある：${\displaystyle \alpha \leq \beta }$⁠の場合に限り⁠${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$順序数の場合${\displaystyle \alpha ,\beta }$⁠。「if」方向は、の推移性から導かれる。${\displaystyle \beta }$そして、「～の場合のみ」という方向は以下から導かれる。

• もし​${\displaystyle \alpha \neq \beta }$はどちらも序数であり 、${\displaystyle \alpha \subset \beta }$⁠、それから⁠${\displaystyle \alpha \in \beta }$⁠ : させましょう ⁠${\displaystyle \gamma =\min\{\beta \setminus \alpha \}}$⁠ . ⁠${\displaystyle \alpha }$は推移的であるため、${\displaystyle \alpha =\{\xi \in \beta \mid \xi <\gamma \}=\gamma \in \beta }$⁠ . ^{[ 9 ]}

これは次のことを意味します。${\displaystyle \leq }$は半順序です。実際には全順序であり、整列順序です。

• もし​${\displaystyle \alpha }$そして​​${\displaystyle \beta }$両方とも序数である場合、${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$または​​${\displaystyle \beta \subseteq \alpha }$⁠ : ⁠${\displaystyle \gamma =\alpha \cap \beta }$は序数なので、${\displaystyle \gamma =\alpha }$または​​${\displaystyle \gamma =\beta }$⁠、さもなければ⁠${\displaystyle \gamma \in \gamma }$⁠、非反射性と矛盾する。 ^{[ 9 ]}
• もし​${\displaystyle A}$は順序数の空でない集合である。${\displaystyle \min A=\bigcap A}$⁠ は⁠でなければなりません${\displaystyle A}$同様の論理により。^{[ 10 ]}

つまり、すべての序数は整列したクラスを形成する。${\displaystyle \mathrm {ON} }$したがって、空でない順序数の集合には、${\displaystyle \leq }$は整然とした集合です。

以下の原則に基づいて、特定の順序数を明示的に構築することができる。

• ⁠${\displaystyle 0=\emptyset }$は序数です。
• 任意の序数に対して${\displaystyle \alpha }$⁠、 ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\alpha \cup \{\alpha \}}$は序数であり、${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\min\{\beta \mid \beta >\alpha \}}$⁠ . ^{[ 10 ]}
• Aが順序数の集合である場合、${\displaystyle \sup A=\bigcup A}$は序数です。^{[ 10 ]}

明示的な形式${\displaystyle \mathrm {succ} }$そして​​${\displaystyle \sup }$⁠は、任意の順序数の集合に対して、それらすべてよりも大きい別の順序数が存在することを意味します。言い換えれば、

• ( Burali-Forti のパラドックス) すべての序数のクラス⁠${\displaystyle \mathrm {ON} }$⁠は集合ではありません。そうでなければ、 ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} \sup \mathrm {ON} }$⁠ は、に含まれない序数になります。${\displaystyle \mathrm {ON} }$⁠ . ^{[ 10 ]}

整然としたセット${\displaystyle S}$は、その順序型と呼ばれるただ一つの順序数と順序同型である。整列集合はそれ自身の適切な初期セグメントと同型になることができず、2つの異なる順序数との同型化を防ぐため、一意性が保証される。この順序数の存在は、各要素をペアリングするマップを定義することによって証明される。${\displaystyle x\in S}$序数は、最初のセグメントの順序タイプを表します。${\displaystyle S_{x}=\{y\in S\mid y<x\}}$置換の公理スキーマによれば、このマップの範囲は順序数の集合です。この範囲は下方閉包であるため（セグメントのセグメントの順序型はより小さい順序数であるため）、範囲自体が順序数になります。${\displaystyle \gamma }$同型写像の定義域は、${\displaystyle S}$それ以外の場合は、最小要素${\displaystyle z\in S}$ドメイン外では、${\displaystyle S_{z}\cong \gamma }$これには実質的に${\displaystyle z}$その領域では、矛盾が生じる。したがって、${\displaystyle S\cong \gamma }$[ ^{11 ]​}

超限帰納法は、定理の証明だけでなく、順序数上の関数の定義にも使用できます。これは超限再帰として知られています。

形式的には、関数Fは、すべての順序数αに対して、値 ⁠ が順序数上の超限再帰によって定義される。${\displaystyle F(\alpha )}$⁠は値のセットを使用して指定されます${\displaystyle \{F(\beta )\mid \beta <\alpha \}}$。

多くの場合、すべての順序数に対して超限再帰によって関数Fを定義する場合、定義は順序数の型に基づいていくつかのケースに分けられます。

1. 基本ケース：定義${\displaystyle F(0)}$。
2. 後続ステップ：定義${\displaystyle F(\alpha +1)}$想定${\displaystyle F(\alpha )}$定義されています。
3. 制限ステップ：制限順序数の場合${\displaystyle \lambda }$、 定義する${\displaystyle F(\lambda )}$限界として${\displaystyle F(\beta )}$すべての人々のために${\displaystyle \beta <\lambda }$（順序数の極限という意味でも、あるいは終域が許すのであれば他の極限の概念という意味でも）。

定義の中で興味深いステップは通常、後続ステップです。${\displaystyle F(\alpha )}$制限順序数の場合${\displaystyle \alpha }$は、の上限として定義される。${\displaystyle F(\beta )}$のために${\displaystyle \beta <\alpha }$そして${\displaystyle F}$順序値を取り、非減少関数である${\displaystyle F}$上記で定義したとおり、連続関数となります。順序加算、乗算、べき乗は、第2引数の関数として連続関数です。

このような関数の存在と一意性は、それを部分近似の和集合として構成することによって証明される。証明は3つのステップで進む。

1. 局所的存在性:任意の特定の順序数δに対して、一意の「再帰セグメント」、すなわちすべての に対して再帰規則を満たすδ上で定義された関数が存在することを証明する。${\displaystyle \beta <\delta }$⁠ .
2. 一意性と互換性：任意の2つの再帰セグメントが共通のドメインで一致することを証明します。${\displaystyle g_{1}}$⁠は、 ⁠に関するセグメントです${\displaystyle \delta _{1}}$そして​​${\displaystyle g_{2}}$⁠は、 ⁠に関するセグメントです${\displaystyle \delta _{2}}$⁠と共に⁠${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$⁠、それから⁠${\displaystyle g_{2}}$制限されている${\displaystyle \delta _{1}}$はと同一です${\displaystyle g_{1}}$⁠ .
3. グローバル定義:グローバルクラス関数Fは、そのような一意の再帰セグメントの和集合として定義されます。任意の順序数αに対して、値⁠${\displaystyle F(\alpha )}$は、 αより大きい領域で定義された任意の再帰セグメントによってαに割り当てられる値です。

局所存在の厳密な正当化は、再帰セグメントを集合にまとめるために、極限順序数のステップに対する置換の公理図式に依拠している。

この構造により、順序加算、乗算、べき乗などの定義を厳密にすることができます。たとえば、べき乗は${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$⁠はβ上で再帰的に定義される。

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha }$（後続序数の場合）
• ${\displaystyle \alpha ^{\lambda }=\bigcup _{0<\beta <\lambda }\alpha ^{\beta }}$（極限順序数λの場合）

超限再帰の原理は、再帰が特定の順序数まで実行できることも意味する。${\displaystyle \delta }$（適切なクラスではなく集合を定義する）。これは、長さのシーケンスを定義するためによく使用されます。${\displaystyle \omega }$例えば、正規関数を証明するには${\displaystyle f}$任意の大きな固定点を持つため、任意の序数から始まる数列を構築します。${\displaystyle \gamma _{0}}$定義する${\displaystyle \gamma _{n+1}=f(\gamma _{n})}$再帰により${\displaystyle n<\omega }$すると極限値${\displaystyle \delta =\sup _{n<\omega }\gamma _{n}}$は固定点である${\displaystyle f}$継続性によって${\displaystyle f(\delta )=f(\sup \gamma _{n})=\sup f(\gamma _{n})=\sup \gamma _{n+1}=\delta }$。

整列集合は、一意の順序数と相似（順序同型）である。${\displaystyle \alpha }$言い換えれば、その要素は、より小さい序数によって昇順にインデックス付けすることができる。${\displaystyle \alpha }$これは特に、任意の順序数の集合に当てはまります。任意の順序数の集合は、ある数より小さい順序数によって自然にインデックス付けされます。${\displaystyle \alpha }$⁠。少し修正すれば、順序数のクラス（何らかの性質によって定義される、集合を形成するには大きすぎる可能性のある順序数の集合）についても同じことが言えます。任意の順序数のクラスは順序数によってインデックス付けできます（そして、そのクラスがすべての順序数のクラスで無制限である場合、これはすべての順序数のクラスとクラス一対一の関係になります）。したがって、${\displaystyle \gamma }$クラスの 番目の要素 (慣例として「0 番目の」が最小、「1 番目の」が次に小さい、といった具合) は自由に言及できます。形式的には、定義は超限帰納法によって行われます。${\displaystyle \gamma }$クラスの 番目の要素が定義されています（すべての要素に対して既に定義されている場合）。${\displaystyle \beta <\gamma }$）より小さい要素として${\displaystyle \beta }$すべての要素の 番目の要素${\displaystyle \beta <\gamma }$⁠ .

これは、例えば極限順序数のクラスに適用できる。${\displaystyle \gamma }$限界値またはゼロである-番目の順序数は${\displaystyle \omega \cdot \gamma }$（順序数の乗算の定義については、順序数の算術を参照）。同様に、加法的に分解不可能な順序数（厳密に小さい 2 つの順序数の和ではない非ゼロの順序数）を考えることができます。${\displaystyle \gamma }$番目の加法的に分解不可能な順序数は次のようにインデックス付けされます。${\displaystyle \omega ^{\gamma }}$順序数のクラスをインデックス付けする手法は、固定点の文脈でしばしば役立ちます。たとえば、${\displaystyle \gamma }$-番目の序数${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$書かれている${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }}$これらは「イプシロン数」と呼ばれます。

各順序数は、その基数である基数と対応します。2 つの順序数の間に全単射が存在する場合 (例えばω = 1 + ωかつω + 1 > ω )、それらは同じ基数と対応します。順序タイプとして順序数を持つ整列集合は、その順序数と同じ基数を持ちます。与えられた基数に対応する最小の順序数は、その基数の初期順序数と呼ばれます。すべての有限順序数 (自然数) は初期であり、他の順序数はその基数と対応しません。しかし、多くの無限順序数は同じ基数と対応するため、ほとんどの無限順序数は初期ではありません。選択公理は、すべての集合が整列可能であること、つまりすべての基数が初期順序数を持つことと同等です。選択公理を持つ理論では、任意の集合の基数は初期順序数を持ち、基数の表現としてフォン・ノイマン基数割り当てを使用できます。 （ただし、基数演算と順序演算を区別するように注意する必要があります。）選択公理のない集合論では、基数は、その基数を持つ集合の最小ランクの集合によって表されることがあります（スコットのトリックを参照）。

スコットのトリックの問題点は、基数を特定してしまうことだ。${\displaystyle 0}$と共に​${\displaystyle \{\emptyset \}}$⁠、これは一部の定式化では序数である。${\displaystyle 1}$有限個の集合にはフォン・ノイマンの基数割り当てを適用し、無限個の集合や整列を許容しない集合にはスコットのトリックを用いる方が分かりやすいかもしれません。有限個の集合については、基数演算と順序数演算が一致することに注意してください。

α番目の無限序数詞は次のように表記されます。${\displaystyle \omega _{\alpha }}$⁠、これは常に極限順序数です。その濃度は次のように表記されます。${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$例えば_{、ω 0} = ωの濃度は です。${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ は^{、ω 2}または ε ₀の濃度でもあります(すべて可算順序数です)。したがって、ω は⁠と同一視できます${\displaystyle \aleph _{0}}$ただし、表記法は${\displaystyle \aleph _{0}}$は基数を書くときに使用され、ω は序数を書くときに使用されます (これは、たとえば、${\displaystyle \aleph _{0}^{2}}$=${\displaystyle \aleph _{0}}$一方${\displaystyle \omega ^{2}>\omega }$）。 また、${\displaystyle \omega _{1}}$は最小の非可算順序数です（それが存在することを確認するには、自然数の整列順序の同値類の集合を考えます。そのような整列順序はそれぞれ可算順序数を定義します。${\displaystyle \omega _{1}}$（これはそのセットの順序タイプです）${\displaystyle \omega _{2}}$は、濃度がより大きい最小の順序数です。${\displaystyle \aleph _{1}}$などなど${\displaystyle \omega _{\omega }}$限界は${\displaystyle \omega _{n}}$自然数nの場合(任意の基数の極限は基数なので、この極限は確かにすべての後の最初の基数です)${\displaystyle \omega _{n}}$)

順序数の共終性${\displaystyle \alpha }$最小の序数${\displaystyle \delta }$それは、 の共終部分集合の順序タイプです。${\displaystyle \alpha }$⁠。多くの著者がコフィナリティを定義したり、極限順序数にのみ使用したりしていることに注意してください。順序数の集合、またはその他の整列集合のコフィナリティは、その集合の順序型のコフィナリティです。

したがって、極限順序数には、${\displaystyle \delta }$-制限付き厳密に増加するインデックス付き数列${\displaystyle \alpha }$例えば、ω ^{2の共終性は}ωです。なぜなら、数列 ω· m ( mは自然数の範囲) は ω ²に収束するからです。しかし、より一般的には、任意の可算極限順序数は共終性 ω を持ちます。非可算極限順序数は、ω または ω のいずれかの共終性を持つ可能性があります。${\displaystyle \omega _{\omega }}$あるいは、数えきれない共終性。

0 の共終数は 0 です。また、任意の後続順序数の共終数は 1 です。任意の極限順序数の共終数は少なくとも です。${\displaystyle \omega }$⁠ .

共終点に等しい順序数は正規順序数と呼ばれ、常に始点順序数である。正規順序数の任意の極限は始点順序数の極限であり、正規順序数でなくても（通常は正規順序数ではないが）、始点順序数でもある。選択公理が成り立つ場合、${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$各αに対して正則である。この場合、順序数 0、1 、${\displaystyle \omega }$⁠、 ⁠${\displaystyle \omega _{1}}$⁠、そして${\displaystyle \omega _{2}}$は規則的であるが、2、3 、${\displaystyle \omega _{\omega }}$⁠、ω _ω·2は、正規ではない初期順序数です。

任意の順序数αの共終数は正則順序数である。つまり、 αの共終数の共終数はαの共終数と同じである。したがって、共終数演算は冪等である。

閉集合と非閉集合の概念は、通常、正則基数の部分集合に対して定式化される。${\displaystyle \kappa }$それは数えられない。部分集合${\displaystyle C\subseteq \kappa }$は、​${\displaystyle \kappa }$すべての序数に対して${\displaystyle \alpha <\kappa }$いくつか存在する${\displaystyle \beta \in C}$そのため${\displaystyle \alpha <\beta }$閉じているという性質を定義するには、まず限界点、つまりゼロでない順序数を定義する。${\displaystyle \delta <\kappa }$限界点${\displaystyle C}$もし${\displaystyle \sup(C\cap \delta )=\delta }$セット${\displaystyle C}$閉鎖中​${\displaystyle \kappa }$以下のすべての限界点が含まれている場合${\displaystyle \kappa }$閉じていてかつ境界のない集合は、一般的にクラブ集合と呼ばれます。

クラブ集合の例は集合論の基礎となる。${\displaystyle \kappa }$これはクラブ集合であり、常にそれより小さい任意の順序数よりも大きい限界順序数が存在する。${\displaystyle \kappa }$、そして極限順序数の極限はそれ自体が極限順序数である。${\displaystyle \kappa }$は限界基数であり、以下のすべての基数の集合です。${\displaystyle \kappa }$は非有界であり、その極限点の集合（極限基数）は閉じた非有界集合を形成する。さらに、もし${\displaystyle \kappa }$は強い極限基数（到達不可能な基数など）であり、以下の強い極限基数の集合は${\displaystyle \kappa }$もクラブセットです。もう 1 つの重要な例は、通常の関数(関数${\displaystyle f:\kappa \to \kappa }$厳密に増加かつ連続である関数）は、${\displaystyle \kappa }$。

クラブセットは、フィルターを生成することを可能にする構造的特性を備えています。${\displaystyle \kappa }$が規則的で不可算である場合、任意の 2 つのクラブ集合の共通部分もクラブ集合になります。より一般的には、より少ない数の共通部分もクラブ集合になります。${\displaystyle \kappa }$クラブ集合はクラブ集合です。したがって、すべての部分集合の集合は${\displaystyle \kappa }$クラブセットを含むものは${\displaystyle \kappa }$-完全な非主フィルタであり、閉じた非有界フィルタ（またはクラブフィルタ）として知られています。

サブセット${\displaystyle S\subseteq \kappa }$が、 のすべての閉じた非有界集合と空でない共通部分を持つ場合、は定常であると呼ばれる。${\displaystyle \kappa }$直感的に言えば、定常集合は、どのクラブ集合からも回避できないほど「大きい」集合です。フィルターの表記法を用いると、集合が定常であるのは、それがクラブフィルターの双対イデアル（非定常集合のイデアル）に属さない場合に限ります。すべてのクラブ集合は定常ですが、すべての定常集合がクラブ集合であるとは限りません。例えば、定常集合は${\displaystyle S}$閉じられない場合がある。さらに、静止集合とクラブ集合の共通部分は静止集合であるが、2つの静止集合の共通部分は空集合となる可能性がある。

クラブ集合と静止集合の区別は、特定の大きな基数の定義の中心となる。${\displaystyle \kappa }$は最小の到達不可能な基数であり、以下の特異な強限界基数の集合である。${\displaystyle \kappa }$閉じた非有界集合を形成する。このクラブ集合には正則基数が含まれないため、最初の到達不能基数より下の正則基数の集合は定常ではない。これは、${\displaystyle \kappa }$は${\displaystyle n}$ある人にとっての - 番目の到達不可能な基数${\displaystyle n<\kappa }$;その下の通常の基数は静止集合を形成しません。基数${\displaystyle \kappa }$は、それより下位の正則基数の集合が定常である場合に限り、マフロ基数として定義される。極限基数に関する条件を緩和することで、弱到達不能であり、かつそれより下位の正則基数の集合が定常である場合に、基数を弱マフロ基数と定義することができる。

閉じた非有界フィルタは、選択公理を伴う標準的なツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）の下では超フィルタではありません。これは、互いに素な2つの定常集合を見つけることができ、フィルタがすべての部分集合のメンバーシップを決定することができないためです。任意の正則基数に対して${\displaystyle \kappa >\omega _{1}}$共終点を持つ順序数の集合${\displaystyle \omega }$そして共終点を持つ順序数の集合${\displaystyle \omega _{1}}$は互いに素な定常部分集合である${\displaystyle \kappa }$特定のケースでは${\displaystyle \kappa =\omega _{1}}$超フィルターの非存在は選択公理に依存する。ZFC の下では、極限順序数の集合は${\displaystyle \omega _{1}}$分割可能${\displaystyle \omega _{1}}$互いに素な定常集合（フォダーの補題に関連する結果）。しかし、決定性公理を満たすような選択公理のない集合論のモデルでは、クラブフィルターは${\displaystyle \omega _{1}}$超フィルター、関連プロパティ${\displaystyle \omega _{1}}$そうした文脈においては、測定可能な基数である。

これらの定義は、順序数の適切なクラスに一般化されます。${\displaystyle C}$順序数の列は、任意の大きな順序数を含む場合、非有界であり、任意の順序数の列の極限が${\displaystyle C}$も${\displaystyle C}$この位相的定義は、インデックスクラス関数を仮定することと同等である。${\displaystyle C}$は連続である。閉じた非有界クラスの注目すべき例としては、すべての無限基数のクラス、極限基数のクラス、およびの不動点のクラスなどがある。${\displaystyle \aleph }$関数。対照的に、正則基数のクラスは非有界であるが、閉じていない。クラスがすべての閉じた非有界クラスと交差する場合、そのクラスは静止している。