モストフスキーの崩壊補題

数理論理学において、モストフスキー崩壊補題は、シェパードソン-モストフスキー崩壊としても知られ、アンドレイ・モストフスキー(1949、定理 3) とジョン・シェパードソン (1953)によって導入された集合論の定理です 。

RがクラスX上の2項関係であると 仮定し、

• Rは集合的である: R ⁻¹ [ x ] = { y  : y R x } は任意のxに対する集合であり、
• Rは整基礎である: Xの空でない部分集合SにはR極小元(つまりR ⁻¹ [ x ] ∩ Sが空であるような元x ∈ S )が含まれる。
• Rは外延的である: Xの任意の異なる要素xとyに対してR ⁻¹ [ x ] ≠ R ⁻¹ [ y ]

モストフスキーの崩壊補題は、そのようなRごとに、メンバーシップ関係の下での構造が ( X、R ) と同型である一意の推移クラス (適切な)が存在し、同型は一意であることを述べています。同型は、Xの各要素x を、 y R xとなるXの要素yの像の集合に写像します(Jech 2003:69)。

すべての well-founded 集合のような関係は、well-founded 集合のような外延的関係に埋め込むことができます。これは、モストフスキーの崩壊補題の次の変形を意味します。すべての well-founded 集合のような関係は、(一意ではなく、必ずしも推移的ではない) クラス上の集合メンバーシップに同型です。

X上の任意の well-founded 集合的関係 R に対して、X 内のすべての x に対して F ( x ) = { F ( y ) : y R x } となるような写像 F は、well-founded 再帰によって X 上の任意の well-founded 集合的関係Rに対して定義できます。これは、Rの(一般に一意でない)推移的クラスへの準同型写像を提供します。準同型写像F は、 Rが外延的である場合に限り同型写像です。

モストフスキーの補題の整基礎性仮定は、非整基礎集合論では緩和または省略できます。ボッファの集合論では、すべての集合のような外延関係は、（一意でない）推移クラス上の集合のメンバーシップに同型です。アツェルの反基礎公理を持つ集合論では、すべての集合のような関係は、一意の推移クラス上の集合のメンバーシップに双相似であり、したがってすべての双模倣極小集合のような関係は、一意の推移クラスに同型です。

ZFのすべての集合モデルは集合的かつ外延的です。モデルが整基礎である場合、モストフスキーの崩壊補題により、それはZF の推移モデルと同型であり、そのような推移モデルは一意です。

ZF のモデルのメンバーシップ関係が well-founded であると言うことは、そのモデルで正則性の公理が真であると言うことよりも強いです。ドメインにR最小要素のないサブセットAを持つモデルM (ZF の一貫性を前提とする) が存在しますが、このセットAは「モデル内のセット」ではありません (すべてのメンバーがモデルのドメイン内にあるにもかかわらず、A はモデルのドメイン内にありません)。より正確には、そのようなセットAがない場合は、 MにA = R ⁻¹ [ x ]となるx が存在します。したがって、 M は正則性の公理を満たしますが (「内部的に」 well-founded です)、well-founded ではなく、崩壊補題は適用されません。

• ジェック、トーマス（2003）、集合論、シュプリンガー数学モノグラフ（第三千年紀版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー出版社、ISBN 978-3-540-44085-7
• モストフスキ、アンジェイ(1949)、「決定不可能な算術ステートメント」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、36 (1)、ポーランド科学アカデミー数学研究所: 143–164、doi : 10.4064/fm-36-1-143-164
• シェパードソン、ジョン (1953)、「集合論の内部モデル、パート III」、記号論理学ジャーナル、18 (2)、記号論理学協会: 145–167、doi :10.2307/2268947、JSTOR  2268947、S2CID  35526998