許容序数

集合論において、順序数 αは、L _αが許容集合（つまり、クリプキ-プラテック集合論の推移モデル）である場合に許容順序数である。言い換えれば、α が極限順序数であり、L _α ⊧ Σ _{0 -集合である場合に、} αは許容される。^{[1] [2]}この用語は、1966 年にリチャード・プラテックによって造られた。^[3]

最初の2つの許容順序数はωと（最も非再帰性の低い順序数、チャーチ・クリーネ順序数とも呼ばれる）である。^[2]任意の正規 非可算基数は許容順序数である。 ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

サックスの定理によれば、可算許容順序数は、チャーチ・クリーネ順序数と同様の方法で構築された順序数とまったく同じであるが、これは神託を持つチューリングマシンの場合である。^[1]許容されるか許容可能なものの限界である - 番目の順序数を と 書くことがある。その両方である順序数は再帰的にアクセス不可能と呼ばれる。^[4]この方法の大きな順序数の理論が存在し、それは（小さな）大きな基数の理論と非常に類似している（たとえば、マーロ順序数を再帰的に定義できる）。 ^{[5]しかし、これらの順序数はすべて依然として可算である。したがって、許容順序数は通常の}基数の再帰的な類似物であると思われる。 ${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \alpha}$

α が許容順序数である場合、かつその場合に限り、 α は極限順序数であり、 γからαへのΣ ₁ (L _α ) 写像が存在するγ < α は存在しないことに留意してください。^{[6] は}、順序数の集合が である KP の標準モデルが存在する場合に限り、許容順序数です。実際、これは許容の定義としてとらえることができます。^{[7] [8]}番目の許容順序数は、[9] [8] p. 174 または と表記されることが^{あります。} [ 10 ^] ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \tau_{\alpha}}$${\displaystyle \tau_{\alpha}^{0}}$

フリードマン・ジェンセン・サックスの定理によれば、可算 が許容されるためには、において再帰的でない最小の順序数となるような が存在する必要がある。^[11]同様に、任意の可算で許容される に対して、が許容構造となるような最小のが存在する。 ^{[12] p. 264}${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle A\subseteq \omega }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \langle L_{\alpha },\in ,A\rangle }$

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