共有限性

数学において、集合 の余有限 部分集合とは、における補集合が有限集合である部分集合のことです。言い換えると、 には の有限個以外のすべての要素が含まれます。補集合が有限ではないが可算である場合、その集合は余可算であるといいます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$

これらは、有限集合上の構造を無限集合、特に積位相や直和などの無限積に一般化するときに自然に生じます。

集合の補集合が持つ特性を説明するために接頭辞「co 」を使用するこの方法は、「 co貧弱集合」などの他の用語での使用法と一致しています。

有限または余有限である のすべての部分集合の集合はブール代数を形成し、これは和集合、積集合、相補集合の演算に対して閉じていることを意味する。このブール代数は${\displaystyle X}$有限-余有限代数${\displaystyle X.}$

逆に、ブール代数は、上の有限-コ有限代数に同型な無限集合が存在する場合のみ、一意の非主ウルトラフィルタ（つまり、代数の単一の要素によって生成されない最大フィルタ）を持ちます。この場合、非主ウルトラフィルタは、 のすべてのコ有限部分集合の集合です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

余有限位相（有限補位相とも呼ばれる）は、あらゆる集合上で定義できる位相である。余有限位相は、空集合と のすべての余有限部分集合を開集合として持つ。結果として、余有限位相では、閉部分集合は有限集合、または の全体のみである。記号的に、位相は次のように記述される。 ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ または }}X\setminus A{\mbox{ は有限}}\}}.}$$

この位相は、ザリスキー位相の文脈で自然に発生します。体上の 1 変数の多項式は有限集合上で 0 であるため、または(アフィン直線として考えた場合)上のザリスキー位相全体が余有限位相です。同じことが任意の既約代数曲線にも当てはまりますが、たとえば平面上の には当てはまりません。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle XY=0}$

• 部分空間:余有限位相のすべての部分空間位相もまた余有限位相です。
• コンパクト性: すべての開集合には有限個以外のすべての点が含まれるため、空間はコンパクトかつ順次コンパクトです。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$
• 分離: 余有限位相は、T ₁公理を満たす最も粗い位相です。つまり、すべての単一集合が閉じている最小の位相です。実際、 上の任意の位相は、余有限位相を含む場合にのみT ₁公理を満たします。が有限の場合、余有限位相は単に離散位相です。が有限でない場合、この位相はハウスドルフ (T ₂ )でも、正則でも、正規でもありません。なぜなら、2 つの空でない開集合は互いに素ではないからです (つまり、超連結です)。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

二重点コ有限位相は、すべての点が二重になっているコ有限位相です。つまり、2 要素セット上のコ有限位相と非離散位相の位相積です。各二重点の点は位相的に区別できないため、 T ₀またはT ₁ではありません。ただし、位相的に区別できる点は分離されているため、 R ₀です。この空間は、2 つのコンパクト空間の積としてコンパクトです。あるいは、各空でない開集合に有限個以外のすべての点が含まれるため、コンパクトです。

可算な二点頂点を持つコ有限位相の例として、整数の集合に、すべての偶数が次の奇数と位相的に区別できないような位相を与えることができます。閉集合は有限個のペアの和集合、または集合全体です。開集合は閉集合の補集合です。つまり、各開集合は有限個を除くすべてのペアで構成されるか、空集合です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n+1}$${\displaystyle 2n,2n+1,}$${\displaystyle 2n,2n+1,}$

位相空間の積上の積位相は、が開であり、余有限多である基底を持つ。${\displaystyle \prod X_{i}}$ ${\displaystyle \prod U_{i}}$${\displaystyle U_{i}\subseteq X_{i}}$${\displaystyle U_{i}=X_{i}.}$

余有限個の因子が全体の空間であることを要求しない類似物はボックス位相です。

加群の直和 の元は、${\displaystyle \bigoplus M_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}=0.}$

余りにも多くの加数がゼロであることを要求しない類似物は直積です。

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• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト

• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア(1995) [1978]、位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446 （例18参照）