フェルミ・ウォーカー輸送

フェルミ・ウォーカー輸送は、一般相対性理論において、座標系または基準フレームを定義するために使用されるプロセスであり、フレーム内のすべての曲率は質量/エネルギー密度の存在によるものであり、フレームの任意のスピンや回転によるものではない。これは1921年にフェルミによって発見され、1932年にウォーカーによって再発見された。^[1]

ローレンツ多様体の理論では、フェルミ–ウォーカー微分は共変微分の一般化です。一般相対性理論では、フレーム場内の時空的単位ベクトル場に関して取られたフレーム場内の空間的ベクトル場のフェルミ–ウォーカー微分は、フェルミ–ウォーカー微分がゼロであることを規定することにより、非慣性フレームおよび非回転フレームを定義するために使用されます。慣性フレームの特殊なケースでは、フェルミ–ウォーカー微分は共変微分に簡約されます。

符号規則により、曲線に沿ったベクトル場Xに対してこれが定義されます。 ${\displaystyle (-+++)}$${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}-\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right)V+(X,V){\frac {DV}{ds}},}$

ここで、Vは4元速度、Dは共変微分、はスカラー積である。 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}=0,}$

するとベクトル場Xは曲線に沿ってフェルミ・ウォーカー輸送される。^[2]ミンコフスキー時空における4元速度の空間に垂直なベクトル、例えば分極ベクトルは、フェルミ・ウォーカー輸送の下ではトーマス歳差運動を経験する。

フェルミ微分を用いると、外部電磁場中の電子のスピン歳差運動を表す バーグマン・ミシェル・テレグディ方程式^{[3]は次のように表される。}

${\displaystyle {\frac {D_{F}a^{\tau }}{ds}}=2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

ここで、 と は偏光の4元ベクトルと磁気モーメント、は電子の4元速度、、、 は電磁場の強度テンソルです。右辺はラーモア歳差運動を表します。 ${\displaystyle a^{\tau}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle u^{\tau}}$${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$${\displaystyle F^{\tau \sigma}}$

粒子と共動する座標系を定義することができる。単位ベクトルを共動座標系の軸として定義すると、固有時間で変化する系はフェルミ・ウォーカー輸送を受けていると言える。^[4]${\displaystyle v^{\mu}}$

フェルミ・ウォーカー微分は、任意の（つまり、光のようなベクトルではない）に対して拡張できます。これは、曲線に沿ったベクトル場に対して定義されます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle (V,V)\neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}+\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right) {\frac {V}{(V,V)}}-{\frac {(X,V)}{(V,V)}}{\frac {DV}{ds}}-\left(V,{ \frac {DV}{ds}}\right){\frac {(X,V)}{(V,V)^{2}}}V,}$^[5]

最後の項は新しく、基本的には が定数ではない可能性によって生じますが、前の式を取り、それぞれをで割ることで導くことができます。 ${\displaystyle (V,V)}$${\displaystyle V^{2}}$${\displaystyle (V,V)}$

ならば、フェルミ–ウォーカー微分は次のようになる。 ${\displaystyle (V,V)=-1}$

${\displaystyle \left(V,{\frac {DV}{ds}}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(V,V)=0\ ,}$そして${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {D_{F}X}{ds}}.}$

• 曲がった時空の数学の基礎入門
• エンリコ・フェルミ
• アーサー・ジェフリー・ウォーカー
• ニュートン力学から一般相対性理論への移行

• Bargmann, V. ; Michel, L.; Telegdi, VL (1959). 「均一な電磁場中を移動する粒子の分極の歳差運動」. Physical Review Letters . 2 (10): 435. Bibcode :1959PhRvL...2..435B. doi :10.1103/PhysRevLett.2.435.。
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939].場の古典理論. 理論物理学講座. 第2巻 (第4版). Butterworth–Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9。
• ミスナー、チャールズ W. ;ソーン、キップ S. ;ウィーラー、ジョン A. (1973)。重力。WH フリーマン。ISBN 0-7167-0344-0。
• ホーキング、スティーブン・W.、エリス、ジョージFR（1973）。『時空の大規模構造』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09906-4。
• Kocharyan, AA (2004). 「動的システムの幾何学」. arXiv : astro-ph/0411595 .