ラーモア歳差

物理学において、ラーモア歳差運動（ジョセフ・ラーモアにちなんで名付けられた）は、物体の磁気モーメントが外部磁場を中心に歳差運動することである。この現象は、概念的には、外部のトルクを及ぼす重力場における傾斜した古典的なジャイロスコープの歳差運動に似ている。磁気モーメントを持つ物体は、角運動量と、その角運動量に比例する有効内部電流も持つ。これには、電子、陽子、その他のフェルミオン、多くの原子および核システム、および古典的なマクロシステムが含まれる。外部磁場は磁気モーメントに トルクを及ぼし、

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}},}$

ここで、はトルク、は磁気双極子モーメント、は角運動量ベクトル、は外部磁場、は外積を表し、は磁気モーメントと角運動量の間の比例定数を与える磁気回転比です。角運動量ベクトルは、ラーモア周波数と呼ばれる角周波数で外部磁場軸の周りを歳差運動します。 ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$${\displaystyle {\vec {\mu}}}$${\displaystyle {\vec {J}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle \omega =\vert \gamma B\vert }$、

ここで、は角周波数、^[1]であり、 は 印加磁場の強さです。 は電荷 の粒子の磁気回転比、^[2]に等しく、ここで、は歳差運動するシステムの質量、 はシステムのg因子です。 g因子は、システムの角運動量と固有磁気モーメントを関連付ける単位のない比例係数です。古典物理学では、電荷と質量密度が同一に分布している任意の剛体オブジェクトに対して g 因子は 1 です。ラーモア周波数は、との間の角度に依存しません。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle -e}$${\displaystyle -{\frac {eg}{2m}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\vec {J}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

原子核物理学では、与えられたシステムの g 因子には、核子スピン、軌道角運動量、およびそれらの結合の影響が含まれます。一般に、このような多体系のg因子を計算するのは非常に困難ですが、ほとんどの原子核では高精度で測定されています。ラーモア周波数はNMR 分光法で重要です。与えられた磁場強度でのラーモア周波数を与える磁気回転比が測定され、表にまとめられています。^[3]

重要なのは、ラーモア周波数は、印加磁場と磁気モーメントの方向の間の極角に依存しないということです。歳差運動速度はスピンの空間方向に依存しないため、これが核磁気共鳴(NMR) や電子常磁性共鳴(EPR) などの分野で重要な概念となる理由です。

上記の式は、ほとんどのアプリケーションで使用されている式です。ただし、完全な処理にはトーマス歳差の影響を含める必要があり、次の式が得られます ( CGS 単位) (CGS 単位は、E が B と同じ単位になるように使用されます)。

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}={\frac {eB}{2mc}}\left(g-2+{\frac {2}{\gamma }}\right)}$

ここで、は相対論的ローレンツ因子である（上記の磁気回転比と混同しないように）。特に、電子の場合、gは2に非常に近い（${\displaystyle \gamma}$2.002...）、したがってg  = 2とすると、

${\displaystyle \omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}}$

外部電磁場中の電子のスピン歳差運動は、バーグマン・ミシェル・テレグディ（BMT）方程式によって記述される^[4]

${\displaystyle {\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

ここで、、、、は分極4元ベクトル、電荷、質量、磁気モーメント、は電子の4元速度（単位系）、、、、は電磁場強度テンソルです。運動方程式を用いると、 ${\displaystyle a^{\tau}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle u^{\tau}}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$

${\displaystyle m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },}$

BMT方程式の右辺の第1項は と書き直すことができます。ここで は4元加速度です。この項はフェルミ・ウォーカー輸送を表し、トーマス歳差運動につながります。第2項はラーモア歳差運動に関連しています。 ${\displaystyle (-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }}$${\displaystyle w^{\tau }=du^{\tau }/ds}$

電磁場が空間的に均一な場合、またはのような勾配力が無視できる場合、粒子の並進運動は次のように記述されます。 ${\displaystyle \nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle {\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.}$

BMT方程式は次のように表される^[5]

${\displaystyle {\frac {dS^{\alpha }}{d\tau }}={\frac {e}{m}}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }u_{\mu }\right){\bigg ]}\;,}$

荷電粒子ビーム光学の量子理論に基づくトーマスBMTのビーム光学バージョンで、加速器光学に適用可能。^{[6] [7]}

1935年にレフ・ランダウとエフゲニー・リフシッツが発表した論文では、ラーモア歳差運動の強磁性共鳴の存在が予測され、これは1946年にJHEグリフィス（英国） ^[8]とEKザヴォイスキー（ソ連）による実験で独立に検証された。 ^{[9] [10]}

ラーモア歳差運動は、核磁気共鳴、磁気共鳴画像法、電子常磁性共鳴、ミューオンスピン共鳴、中性子スピンエコーにおいて重要であり、また、星の光の偏光の原因となる宇宙塵粒子の配列にも重要である。

磁場内の粒子のスピンを計算するには、一般に、粒子が動いている場合には トーマス歳差運動も考慮する必要があります。

電子のスピン角運動量は、磁場の方向を中心に反時計回りに歳差運動します。電子は負の電荷を持っているため、その磁気モーメントの方向はスピンの方向と反対になります。

• LARMOR中性子顕微鏡

• ジョージア州立大学のHyperPhysicsのラーモア周波数に関するページ
• ラーモア周波数計算機