古典記譜法 リッチ計算 テンソル理論の最も初期の基礎 – テンソル添え字表記法。[ 1 ] テンソルの次数 基底に関するテンソルの成分は、添え字付きの配列です。テンソルの次数 は、必要な添え字の数です。文献によっては、テンソルの次数を「次数」 または「ランク」 という用語で表す場合もあります。 テンソルのランク テンソルのランクとは、そのテンソルを得るために合計する必要のあるランク1テンソルの最小数である。ランク1テンソルは、正しい次数を得るために必要な非ゼロベクトルの数の外積として定義できる。 二進テンソル 二項 テンソルは2階のテンソルであり、正方行列 として表現できます。一方、ダイアド は特に1階の二項テンソルを指します。 アインシュタイン記法 この表記法は、多次元配列にインデックス文字が繰り返し含まれる場合、そのインデックスのすべての許容値について積を合計するという解釈に基づいています。たとえば、a ij が行列の場合、この表記法ではa ii はそのトレース になります。アインシュタイン表記法は物理学や工学の教科書で広く使用されており、合計を適用しない場合は、明示的にその旨を記載するのが一般的です。 クロネッカーデルタ レビ＝チヴィタのシンボル 共変 テンソル反変 テンソル古典的な解釈は成分によるものです。例えば、微分形式a i dx i において、成分 a iは 共変ベクトルです。これは、すべての添え字が小さいことを意味します。反変とは、すべての添え字が大きいことを意味します。 混合テンソル これは、下添え字と上添え字の両方を持つテンソルを指します。 デカルトテンソル デカルトテンソルは、流体力学 や弾性力学 など、連続体力学 のさまざまな分野で広く使用されています。古典的な連続体力学 では、対象となる空間は通常 3 次元ユークリッド空間 であり、各点における接空間も同様です。局所座標を、対象点を中心とする同じスケールのデカルト座標に制限すると、 計量テンソルは クロネッカーのデルタ になります。これは、共変成分と反変成分を区別する必要がなく、さらにテンソルとテンソル密度を 区別する必要もないことを意味します。すべてのデカルトテンソルの 添え字は下付き文字で記述されます。デカルトテンソルは、 一般性といくつかの理論的洞察を犠牲にして、かなりの計算の簡略化を実現します。 テンソルの縮約 指数の上昇と下降 対称テンソル 反対称テンソル 複数のクロス積
代数記法 これは、コンポーネントの初期使用を回避し、テンソル積記号を明示的に使用することを特徴とする。
テンソル積 v とwがそれぞれ ベクトル空間 V とW のベクトルである場合、 v ⊗ w {\displaystyle v\otimes w} はテンソルです V ⊗ W 。 {\displaystyle V\otimes W.} つまり、⊗ 演算は二項演算 ですが、値を新しい空間に取り込む（強い意味で外部的 である）ものです。⊗演算は 双線形写像 ですが、他の条件は適用されません。 純粋テンソル V ⊗ W の純粋テンソルは、 v ⊗ w の形のものである。これは、二項式a i b j またはより正確にはa i b j e i ⊗ f j e i はV の基底、f j はW の基底です。したがって、V とW の次元が同じでない限り、成分の配列は正方である必要はありません。このような純粋 テンソルは一般的ではありません。V と W の両方の次元が 1 より大きい場合、 純粋 ではないテンソルが存在し、純粋であるためにテンソルが満たすべき非線形条件が存在します。詳細については、Segre 埋め込みを 参照してください。 テンソル代数 ベクトル空間V のテンソル代数T ( V ) において、演算⊗ {\displaystyle \otimes } 二項演算 になります。その結果、V の 次元が 0 でない限り、T ( V ) は無限次元になります。集合X上の 自由代数は、実際には、 X を 基底とするベクトル空間上のテンソル代数と同じです。 ホッジスターオペレーター 外部電源 ウェッジ積は、 ⊗ 演算の反対称形式です。それが内部演算となるT ( V )の商空間はV の外積代数 次数付き代数で、重み k の次数付き部分はV のk 次外積と 呼ばれます。 対称べき乗、対称代数 これは多項式環 を構成する不変的な方法です。
参考文献 ↑ リッチ、グレゴリオ ; Levi-Civita、Tullio (1900 年 3 月)、「Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs application」[ 絶対微分計算法とその応用] 、Mathematische Annalen (フランス語)、54 ( 1–2 )、Springer: 125– 201、doi : 10.1007/BF01454201、S2CID 120009332
本 ビショップ、RL ; ゴールドバーグ、SI (1968)、多様体上のテンソル解析 (初版 ドーバー 1980 年)、マクミラン社、ISBN 0-486-64039-6 Danielson, Donald A. (2003). Vectors and Tensors in Engineering and Physics (2/e ed.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7 。ディミトリエンコ、ユーリー（2002）。テンソル解析と非線形テンソル関数 。Kluwer Academic Publishers（Springer）。ISBN 1-4020-1015-X 。 Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7 。 ジョン・L・シンジ ;アルフレッド・シルド （1949年）。テンソル微積分 。ドーバー出版 1978年版。ISBN 978-0-486-63612-2 。
