対称円錐

数学において、対称錐は正値領域とも呼ばれ、ユークリッド空間内の開いた凸自己双対錐であり、推移的な対称群、すなわち錐を自分自身に適用する可逆な作用素を持つ。ケッヒャー・ヴィンベルグの定理により、これらは有限次元実ユークリッド ジョルダン代数の正方形錐に対応し、これはもともとジョルダン、フォン ノイマン、ウィグナー (1934) によって研究され分類された。対称錐に関連付けられたチューブ領域は、チューブ型の非コンパクトなエルミート対称空間である。対称空間に関連付けられたすべての代数的および幾何学的構造は、ジョルダン代数で自然に表現できる。非コンパクト型のその他の既約エルミート対称空間は、第 2 種のジーゲル領域に対応する。これらは、単位元のないジョルダン代数を一般化する、ジョルダン三重システムと呼ばれるより複雑な構造で記述できる。^[1]

有限次元実内積空間Vの凸錐C は、 正のスカラーによる乗算に対して不変な凸集合である。これは部分空間C – Cを張り、含まれる最大の部分空間はC ∩ (− C ) である。これは、基底を含む場合に限り、空間全体を張る。基底の凸包は空でない内部を持つ多面体であるため、これはC が空でない内部を持つ場合に限り起こる。この場合の内部も凸錐である。さらに、開いた凸錐はその閉包の内部と一致します。なぜなら、閉包内の任意の内部点は、元の錐内のいずれかの多面体の内部になければならないからです。凸錐の閉包、つまり錐体に部分空間が含まれない場合、 その凸錐は適切であると言われます。

Cを開いた凸錐とする。その双対は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {C^{*}=\{X:(X,Y)>0\,\,\mathrm {for} \,\,Y\in {\overline {C}}\}}.}}$

これは開いた凸錐でもあり、C ** = Cです。^[2]開いた凸錐C は、 C * = Cのとき自己双対であるといわれます。 0 を含まないため、 Xと − X の両方を含むことはできないため、必然的に適切です。

開凸錐の 自己同型群は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Aut} \,C=\{g\in \mathrm {GL} (V)|gC=C\}.}}$

明らかにg がAut Cに属するのは、 g がCの閉包をそれ自身に取る場合のみです。したがって、 Aut C はGL( V )の閉部分群であり、したがってリー群です。さらに、 Aut C * = (Aut C )* であり、ここでg * はgの随伴です。 Aut C がCに対して推移的に作用する場合、C は同次であると言われます。

開いた凸錐C は、自己双対かつ同次である場合に 対称錐と呼ばれます。

• C が対称錐である場合、Aut C は随伴を取ることで閉じます。
• 恒等成分Aut ₀ CはCに対して推移的に作用します。
• 点の安定化群は最大コンパクト部分群であり、すべて共役であり、Aut Cの最大コンパクト部分群をすべて網羅します。
• Aut ₀ Cでは、点の安定化群はすべて共役な最大コンパクト部分群であり、Aut ₀ Cの最大コンパクト部分群をすべて網羅します。
• _{Aut 0} Cの最大コンパクト部分群は連結されている。
• Aut Cの成分群は、最大コンパクト部分群の成分群と同型であり、したがって有限です。
• Aut C ∩ O(V)とAut ₀ C ∩ O(V)はAut CとAut ₀ Cの最大コンパクト部分群です。
• C は当然、G = Aut ₀ CのときG / Kに同型なリーマン対称空間です。カルタン反転は σ( g )=( g *) ⁻¹で定義され、K = G ∩ O(V) となります。

ジョーダン、フォン・ノイマン、ウィグナー (1934) は、彼らの古典的な論文で、有限次元のジョーダン代数のクラスを研究し、完全に分類しました。このクラスは現在、ユークリッド ジョーダン代数または形式的実ジョーダン代数と呼ばれています。

Eを対称双線型積演算を持つ有限次元実ベクトル空間と する

${\displaystyle \displaystyle {E\times E\rightarrow E,\,\,\,a,b\mapsto ab=ba,}}$

単位元1を持ち、Aのaに対してa 1 = aであり、実数内積( a , b )に対して、 E上のL ( a ) b = abで定義される乗算演算子L ( a )が自己随伴であり、ジョルダン関係式を満たす。

${\displaystyle \displaystyle {L(a)L(a^{2})=L(a^{2})L(a)。}}$

以下でわかるように、随伴に関する条件は、トレース形式 Tr L ( ab ) が内積を定義するという同等の条件に置き換えることができます。トレース形式には、ジョルダン代数の自己同型に対して明白に不変であるという利点があり、これは O( E ) の閉じた部分群であり、したがってコンパクトなリー群です。ただし、実際の例では、トレース形式の正定値性を直接検証するよりも、 L ( a ) が自己随伴である内積を生成する方が簡単な場合がよくあります。(ジョーダン、フォン・ノイマン、ウィグナーの同等の元の条件は、要素の平方和がゼロになる場合は、それらの各要素がゼロになる必要があるというものでした。^[3] )

ジョルダン条件から、ジョルダン代数はべき結合的である、つまり、 Eの任意の単一要素aによって生成されるジョルダン部分代数は、実際には結合的可換代数であることがわかります。したがって、 a ^{n を}a ⁿ = a ( a ^{n −1} )によって帰納的に定義すると、次の結合関係が成り立ちます。

${\displaystyle \displaystyle {a^{m}a^{n}=a^{m+n},}}$

したがって、部分代数はR [ a ]、つまりaの多項式と同一視できる。実際、ジョルダン関係を分極化してa をa + tbに置き換え、tの係数 を取ると、次のようになる。

${\displaystyle \displaystyle {2L(ab)L(a)+L(a^{2})L(b)=2L(a)L(b)L(a)+L(a^{2}b).}}$

この恒等式は、L ( a ^m ) がすべてのmに対してL ( a ) およびL ( a ² )の多項式であることを意味します。実際、 mより低い指数の結果を仮定すると、

${\displaystyle \displaystyle {a^{2}a^{m-1}=a^{m-1}(a^{2})=L(a^{m-1})L(a)a=L(a)L(a^{m-1})a=L(a)a^{m}=a^{m+1}.}}$

偏極ジョルダン恒等式で b = a ^{m – 1}と設定すると次のようになります。

${\displaystyle \displaystyle {L(a^{m+1})=2L(a^{m})L(a)+L(a^{2})L(a^{m-1})-2L(a)^{2}L(a^{m-1}),}}$

L ( a ^{m + 1 ) が}L ( a ) とL ( a ² )の多項式であることを帰納的に示す再帰関係。

その結果、最初の指数がm以下の場合にべき乗結合性が成り立つならば、 m +1 の場合にも成り立つ。

${\displaystyle \displaystyle {L(a^{m+1})a​​^{n}=2L(a)L(a^{m})a^{n}+L(a^{2})L(a^{m-1})a^{n}-2L(a)^{2}L(a^{m-1})a^{n}=a^{m+n+1}.}}$

Eの元e は、 e ² = e のとき冪等であるといいます。 ef = 0 のとき、2 つの冪等は直交しているといいます。これは、 ( ef、ef ) = ( e、f )であるため、内積に関して直交していることに相当します。 この場合、g = e + fも冪等です。 冪等性g は、非ゼロの直交冪等性の和として記述できない場合、原始的または最小的であるといいます。 e ₁、...、e _mが対直交冪等性である場合、それらの和も冪等であり、それらが生成する代数はe _iのすべての線形結合で構成されます。これは結合代数です。e が冪等である場合、 1 − e は直交冪等性です。和が 1 である直交べき等集合は、完全集合または1 の分割と呼ばれます。集合内の各べき等が最小である場合、それはジョルダン フレームと呼ばれます。任意の直交べき等集合の要素数は dim Eによって制限されるため、ジョルダン フレームが存在します。ジョルダン フレームの要素の最大数はEのランクrと呼ばれます。

スペクトル定理によれば、任意の要素aは次のように一意に表される。

${\displaystyle \displaystyle {a=\sum \lambda _{i}e_{i},}}$

ここで、冪等元e _iは 1 の分割であり、aの固有値λ _{i は}実数で異なる。実際、E ₀ = R [a] とし、T をL ( a )のE ₀への制限とする。T は自己随伴であり、巡回ベクトルとして 1 を持つ。したがって、Tの可換項はT (またはa )の多項式で構成される。自己随伴演算子の スペクトル定理により、

${\displaystyle \displaystyle {T=\sum \lambda _{i}P_{i}}}$

ここで、P _{i は}E ₀上の和がIである直交射影であり、 λ _iはTの異なる実固有値です。 P _iはTと可換で自己随伴であるため、R [a]の 乗法元e _iによって与えられ、したがって 1 の分割を形成します。f _{i が}1 の分割であり、a = Σ μ _i f _iである場合、 p ( t )=Π ( t - μ _j )かつp _i = p /( t − μ _i ) とすると、f _i = p _i ( a )/ p _i (μ _i ) となるため、一意性が続きます。 したがって、f _iはaの多項式であり、一意性はTのスペクトル分解の一意性から続きます。

スペクトル定理は、階数がジョルダン フレームに依存しないことを意味します。k個の最小冪等性を持つジョルダン フレームでは、 k 個の異なる固有値を持つ要素a を構築するために使用できます。上記のように、aの最小多項式p は次数kを持ち、R [ a ] は次元kを持ちます。その次元は、 F _k ( a ) ≠ 0 となる最大のkでもあります。ここで、 F _k ( a ) はグラム行列の行列式です。

${\displaystyle \displaystyle {F_{k}(a)=\det _{0\leq m,n<k}(a^{m},a^{n}).}}$

したがって、階数r は、 E上でF _kが恒等的にゼロにならない最大の整数kです。この場合、非消滅多項式として、Eの開いた稠密な部分集合、つまり正則な元上でF _{r は}ゼロではありません。その他のa は正則な元の極限a ^{( n )です。} L ( x )の演算子ノルムはE上で同等のノルムを与えるため、標準的なコンパクト性の議論により、必要に応じて部分列に渡すと、a ^{( n )}のスペクトル冪等性とそれに対応する固有値は収束することが示されます。 ジョルダン フレームの極限はジョルダン フレームです。これは、非ゼロ冪等性の極限が演算子ノルムの連続性により非ゼロ冪等性をもたらすためです。したがって、すべてのジョルダン フレームはr個の極小冪等性から構成されます。

eとf が直交べき等元である場合、スペクトル定理はeとf がa = e − fの多項式であることを示し、したがってL ( e ) とL ( f ) は可換である。これは、L ( e ) L ( f ) = 2 L ( e ) L ( f ) L ( e ) を意味する偏極ジョルダン恒等式から直接見ることができます。可換性は随伴を取ることで得られます。

eが非ゼロ冪等数である場合、 L ( e )の固有値は0、1/2、1のみとなる。これは、偏極ジョルダン恒等式で a = b = eをとると、次の式が得られるからである。

${\displaystyle \displaystyle {2L(e)^{3}-3L(e)^{2}+L(e)=0.}}$

特に、L ( e )の演算子ノルムは1であり、そのトレースは厳密に正です。

Eの対応する直交固有空間分解が存在する。

${\displaystyle \displaystyle {E=E_{0}(e)\oplus E_{1/2}(e)\oplus E_{1}(e),}}$

ここで、 E内のaに対して、E _λ ( a ) はL ( a )の λ 固有空間を表す。この分解において、 E ₁ ( e ) とE ₀ ( e ) は単位元eと 1 − eを持つジョルダン代数である。それらの和E ₁ ( e ) ⊕ E ₀ ( e ) は、それらの積がゼロになるという点で、ジョルダン代数の直和である。これはeの中心化部分代数であり、L ( a ) がL ( e )と可換であるすべてのaから構成される。部分空間E _1/2 ( e ) はeの中心化の加群、つまり中心化加群であり、その中の任意の 2 つの元の積は中心化部分代数に含まれる。一方、

${\displaystyle \displaystyle {U=8L(e)^{2}-8L(e)+I,}}$

するとUは自己随伴であり、中心化代数上では1、中心化モジュール上では−1となる。したがってU ² = Iであり、上記の性質から次のことがわかる。

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (x)=Ux}}$

はEの包含ジョルダン代数自己同型 σ を定義します。

実際、ジョルダン代数と加群の性質は、偏極ジョルダン恒等式のaとb をeとaに置き換えることで得られます。ea = 0 の場合、L ( e ) L ( a ) = 2 L ( e ) L ( a ) L ( e ) となります。 随伴を取ると、L ( a ) はL ( e ) と可換になります。 同様に、(1 − e ) a = 0 の場合、L ( a ) はI − L ( e ) と可換であり、したがってL ( e ) となります。 これは、ジョルダン代数と加群の性質を意味します。 加群の元の積が代数内にあることを確認するには、平方数についてこれを確認すれば十分です。 ただし、L ( e ) a = ⁠1/2⁠ a の場合、ea = ⁠1/2⁠ aなので、L ( a ) ² + L ( a ² ) L ( e ) = 2 L ( a ) L ( e ) L ( a ) + L ( a ² e ) です。 随伴項を取ると、L ( a ² ) はL ( e ) と可換となり、これは正方形の性質を意味します。

トレース形式は次のように定義されます。

${\displaystyle \displaystyle {\tau (a,b)=\mathrm {Tr} \,L(ab).}}$

これは内積である。なぜなら、a = Σ λ _i e _{i が}ゼロでない場合に、

${\displaystyle \displaystyle {\tau (a,a)=\sum \lambda _{i}^{2}\mathrm {Tr} \,L(e_{i})>0.}}$

偏極したジョルダン恒等式は、 a をa + tcに置き換え、 tの係数を取ることで再び偏極できます。aとc をさらに非対称化すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \displaystyle {L(a(bc)-(ab)c)=[[L(a),L(b)],L(c)].}}$

両側にトレースを適用する

${\displaystyle \displaystyle {\tau (a,bc)=\tau (ba,c),}}$

したがって、L ( b )はトレース形式に対して自己随伴となる。

単純ユークリッド ジョルダン代数の分類は、ジョーダン、フォン ノイマン、ウィグナー (1934) によって達成され、例外的な代数の詳細は、彼らの論文の直後のアルバート (1934) による論文で提供されました。彼らは、パース分解を使用して、問題を、ハーウィッツによってすでに解決された乗法二次形式を含む代数問題に縮小しました。ここでの提示は、ファラウトとコラニ (1994) に従い、合成代数またはユークリッド ハーウィッツ代数を使用して、元の導出の短縮版です。

E がユークリッドジョルダン代数であれば、 Eのイデアル F はEの元による乗算で閉じた線型部分空間となる。つまり、Eのaに対してF は演算子L ( a )で不変である。P がFへの直交射影であれば、演算子L ( a ) と可換であり、特にF ^⊥ = ( I − P ) Eもイデアルであり、E = F ⊕ F ^⊥である。さらに、e = P (1) であれば、P = L ( e ) である。実際、Eのaに対して

${\displaystyle \displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}}$

したがって、F内のaに対してea = aであり、 F ^⊥内のaに対して 0 である。特に、eと 1 − e は、 L ( e ) = PおよびL (1 − e ) = I − Pとなる直交べき等元である。eと 1 − e は、ユークリッドジョルダン代数 FおよびF ^⊥における恒等元である。べき等元eはEの中心であり、ここでEの中心は、すべてのaに対してL ( z ) がL ( a )と可換となるようなすべてのzの集合として定義される。これは可換結合部分代数を形成する。

このように続けると、Eは最小イデアルの直和として表すことができる。

${\displaystyle \displaystyle {E=\oplus E_{i}.}}$

P _{i が}E _iへの射影で、e _i = P _i (1)ならば、 P _i = L ( e _i ) である。e _iは和 1 と直交し、E _iにおける恒等元である。最小性により、 E _{i は}単純、すなわち非自明なイデアルを持たないことが強制される。L ( e i ₎はすべてのL ( a ) と可換なので、任意のイデアルF ⊂ E _{i は}、 F = e _i FなのでE のもとで不変である。このような単純ユークリッド代数の直和への分解は一意である。E = ⊕ F _jが別の分解ならば、F _j =⊕ e _i F _jである。最小性により、ここでの項のうち 1 つだけがゼロでないことから、F _jに等しい。最小性により、対応するE _{i は}F _jに等しくなり、一意性が証明される。

このようにして、ユークリッド ジョルダン代数の分類は、単純な代数の分類にまで縮小されます。単純な代数Eでは、演算子L ( a ) が自己随伴であるすべての内積は比例します。実際、他の任意の積は、 L ( a )と可換な何らかの正の自己随伴演算子に対して、形式 ( Ta、b ) を持ちます。T の任意の非ゼロの固有空間はAのイデアルであるため、単純化により、T はE全体に正のスカラーとして作用する必要があります。

• H _n ( R ) を、内積 ( a , b ) = Tr abおよびジョルダン積a ∘ b = ⁠ を満たす実対称n行n列行列の空間とします。1/2⁠ ( ab + ba )。すると、H _n ( R ) はn ≥ 3に対してランクnの単純ユークリッドジョルダン代数になります。
• H _n ( C ) を、内積 ( a , b ) = Re Tr ab * およびジョルダン積a ∘ b = ⁠ を満たす複素自己随伴n行n列行列の空間とします。1/2⁠ ( ab + ba )。すると、H _n ( C ) はn ≥ 3に対して階数nの単純ユークリッドジョルダン代数となる。
• H _n ( H ) を四元数に含まれるn行n列の自己随伴行列の空間とし、内積 ( a , b ) = Re Tr ab *、ジョルダン積a ∘ b = ⁠1/2⁠ ( ab + ba )。すると、H _n ( H ) はn ≥ 3に対して階数nの単純ユークリッドジョルダン代数になります。
• V を有限次元の実内積空間とし、内積( u ⊕λ , v ⊕μ ) =( u , v ) + λμ かつ積 (u⊕λ) ∘ (v⊕μ)=( μ u + λ v ) ⊕ [( u , v ) + λμ] となるように E = V ⊕ R と設定する。これは階数 2 のユークリッド ジョルダン代数であり、スピン因子と呼ばれる。
• 上記の例は、実際には、八元数またはケイリー数上の自己随伴行列であるH ₃ ( O ) という例外的なケースを除いて、すべての単純ユークリッドジョルダン代数を与えます。これは、次元 27 の別のランク 3 単純ユークリッドジョルダン代数です (以下を参照)。

ジョルダン代数H ₂ ( R )、H ₂ ( C )、H ₂ ( H )、H ₂ ( O )はスピン因子V ⊕ Rと同型である。ここでVはそれぞれ次元2、3、5、9を持ち、つまり関連する除算代数の次元より1つ大きい。

E を、内積がトレース形式 τ( a )= Tr L ( a ) で与えられる単純なユークリッド ジョルダン代数とします。 E が上記の形式を持つことの証明は、 Eのジョルダン フレームの行列単位の類似物を構築することに基づいています。 Eでは、次のべき等性の特性が成り立ちます。

• べき等元e がEにおいて最小となるのは、E ₁ ( e ) が次元 1 を持つ場合（つまりR eに等しい場合）に限ります。さらに、E _1/2 ( e ) ≠ (0) です。実際、E ₁ ( e ) の任意の要素のスペクトル投影はEに含まれるため、非ゼロの場合はeに等しくなります。 1/2 固有空間が消失した場合、 E ₁ ( e ) = R e は理想になります。
• eとf が非直交極小冪等である場合、 σ e = fとなるようなEの周期 2 自己同型 σ が存在するので、eとf は同じトレースを持ちます。
• eとf が直交極小冪等元である場合、 E _1/2 ( e ) ∩ E _1/2 ( f ) ≠ (0) となる。さらに、Eの周期 2 自己同型 σ が存在し、 σ e = fとなるので、eとf は同じトレースを持ち、この交差内の任意のaに対して、 a ² = ⁠1/2⁠ τ( e ) | |​ ² ( e + f )。
• E内のすべての極小冪等元は自己同型群の同じ軌道上にあるため、同じトレース τ _{0 を}持ちます。
• e、f、g が3 つの最小直交冪等元である場合、 a がE _1/2 ( e ) ∩ E _1/2 ( f ) かつbがE _1/2 ( f ) ∩ E _1/2 ( g )である場合、L ( a ) ² b = ⁠1/8⁠ τ ₀ | a | ² bかつ | ab | ² = ⁠1/8⁠ τ ₀ | |​ ² | b | ^２．また、E _1/2 ( e ) ∩ E _1/2 ( f ) ∩ E _1/2 ( g ) = (0) です。
• e ₁ , ..., e _rおよびf ₁ , ..., f _{r が}Eのジョルダンフレームである場合、 α e _i = f _iとなる自己同型 α が存在します。
• ( e _i ) がジョルダンフレームで、E _ii = E ₁ ( e _i ) かつE _ij = E _1/2 ( e _i ) ∩ E _1/2 ( e _j ) の場合、E はE _iiとE _ijの直交直和です。 E は単純であるため、 E _iiは 1 次元であり、i ≠ jに対して部分空間E _{ij は}すべてゼロ以外になります。
• あるジョルダンフレーム( e _i )に対してa = Σ α _i e _iならば、L ( a )はE _ii上ではα _iとして、 E _ij上では(α _i + α _i )/2として作用する。

E を単純なユークリッド ジョルダン代数とします。パース分解の特性から次のようになります。

• E の階数が 2 の場合、それは、上で説明したように、ジョルダン積を持つ内積空間Vに対してV ⊕ R の形式を持ちます。
• E の階数がr > 2 の場合、非結合的な単位代数Aが存在し、r > 3 の場合は結合的であり、(ab,ab)= (a,a)(b,b) を満たす内積を持ち、E = H _r ( A ) となります。( Aにおける共役はa * = −a + 2(a,1)1で定義されます。)

このような代数Aはユークリッド・フルヴィッツ代数と呼ばれます。Aにおいてλ( a ) b = abかつ ρ( a ) b = baのとき、次のようになります。

• 反転は反自己同型、すなわち( a b )*= b *  a *である。
• a a * = ‖  a  ‖ ²  1 = a *  a
• λ( a *) = λ( a )*、ρ( a *) = ρ( a )*なので、代数上の反転は随伴項を取ることに対応する。
• Re( a b ) = Re( b a )の場合、Re  x = ( x + x *)/2 = ( x , 1)1
• Re( a b )  c = Rea  ( b c )
• λ( a ² ) = λ( a ) ²、ρ( a ² ) = ρ( a ) ²であるため、A は代替代数になります。

ハーヴィッツの定理 により、A はR、C、H 、またはOと同型でなければならない。最初の 3 つは結合的除算代数である。八元数は結合代数を形成しないため、H _r ( O ) はr = 3に対してのみジョルダン代数を与えることができる。 A = R、C、またはHのときにA は結合的であるため、 r ≥ 3 に対してH _r ( A ) がジョルダン代数であることは直ちにわかる。ジョルダン積a ∘ b = ⁠を持つH ₃ ( O )を示すには、Albert (1934) によって最初に与えられた別の議論が必要である。1/2⁠ ( ab + ba ) は、ジョルダン恒等式 [ L ( a ), L ( a ² )] = 0 を満たします。フロイデンタール (1951) によるフロイデンタール対角化定理を用いた、より直接的な証明があります。彼は、代数H _r ( A ) の任意の行列が与えられた場合、その行列を実数成分の対角行列に移す代数自己同型が存在することを証明しました。すると、実対角行列に対して[ L ( a ), L ( b )] = 0であることが簡単に確認できます。 ^[4]

例外的なユークリッド ジョルダン代数E = H ₃ ( O ) は、アルバート代数と呼ばれます。コーン・シルショフの定理は、この代数は 2 つの要素 (および恒等元) では生成できないことを示しています。これは直接確認できます。フロイデンタールの対角化定理により、1 つの要素X は実数要素を持つ対角行列と見なすことができ、もう 1 つの要素 YはXによって生成されるジョルダン部分代数に直交します。Xのすべての対角要素が異なる場合、 XとYによって生成されるジョルダン部分代数は、対角行列と 3 つの要素によって生成されます。

${\displaystyle \displaystyle {Y_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&y_{1}\\0&y_{1}^{*}&0\end{pmatrix}},\,\,\,Y_{2}={\begin{pmatrix}0&0&y_{2}^{*}\\0&0&0\\y_{2}&0&0\end{pmatrix}},\,\,\,Y_{3}={\begin{pmatrix}0&y_{3}&0\\y_{3}^{*}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}}$

対角行列の実線形スパン、これらの行列、および実数要素を持つ類似の行列が単位ジョルダン部分代数を形成することは簡単に検証できます。Xの対角要素が別個でない場合、X は、対角要素が 1、0、および 0 である原始べき等e ₁とすることができます。 Springer & Veldkamp (2000) の分析は、 XとYによって生成される単位ジョルダン部分代数が適切であることを示しています。 実際、 1 − e ₁が部分代数内の 2 つの原始べき等性の和である場合、必要に応じてEの自己同型を適用した後、部分代数は対角行列と対角行列に直交する行列によって生成されます。 前の議論により、それは適切になります。 1 - e _{1が原始べき等である場合、} Eのランクの特性により、部分代数は適切でなければなりません。

ユークリッド代数は、その中心分解にアルバート代数のコピーが含まれない場合、特殊であると言われる。アルバート代数は2つの要素によって生成できないため、2つの要素によって生成されるユークリッドジョルダン代数は特殊である。これがユークリッドジョルダン代数のシルショフ・コーン定理である。^[5]

この分類は、例外のない単純ユークリッドジョルダン代数が、何らかのH _n ( R ) の部分代数であることを示しています。したがって、任意の特殊代数についても同じことが言えます。

一方、アルバート（1934）が示したように、アルバート代数H ₃ ( O )は任意のnに対してH _n ( R )の部分代数として実現することはできない。^[6]

実際、π をE = H ₃ ( O ) からV = R ⁿ上の自己随伴作用素への実線型写像とし、π( ab ) = ⁠1/2⁠ (π( a )π( b ) + π( b )π( a )) かつ π(1) = I。e ₁、e ₂、e ₃が対角最小冪等元である場合、P _i = π( e _{i は}V上の直交部分空間V _iへの相互直交射影である。i ≠ jの場合、 Eの要素e _{ij の}うち ( i、j ) と ( j、i ) の要素が 1 でそれ以外が 0 である場合、e _ij ² = e _i + e _jが満たされる。 さらに、e _ij e _jk = ⁠1/2⁠ e _ikただし、i、j、kは異なる。演算子T _ijはV _k ( k ≠ i、j )上ではゼロであり、 V _iとV _{j を}入れ替えたV _i ⊕ V _j上の反転に制限される。P _ij = P _i T _ij P _jとし、 P _ii = P _iと設定すると、 ( P _ij ) はV上の行列単位系、すなわちP _ij * = P _ji、 Σ P _ii = I、P _ij P _km = δ _jk P _{im を}形成する。E _iとE _{ij を}Eのパース分解の部分空間とする。x がOに属する場合、 π _ij = P _ij π(x e _ij )とし、これをV _i上の演算子とみなす。これはjに依存せず、 x、y がOに属する場合、

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{ij}(xy)=\pi _{ij}(x)\pi _{ij}(y),\,\,\,\pi _{ij}(1)=I.}}$

Oの任意のxにはxy = 1となる右逆y が存在するため、写像 π _{ij は}単射である。一方、これは非結合代数Oから結合代数 End V _iへの代数準同型であり、矛盾している。^[7]

( e _i ) がユークリッドジョルダン代数Eにおける 1 の分割であるとき、自己随伴演算子 L( e _i ) は可換であり、同時固有空間への分解が存在します。a = Σ λ _i e _iの場合、 L ( a )の固有値はΣ ε _i λ _iが 0、1/2、または 1 という形式を持ちます。 e _i自体は、固有値 λ _iを与えます。特に、要素a が非負のスペクトルを持つのは、L ( a ) が非負のスペクトルを持つ場合のみです。さらに、a が正のスペクトルを持つのは、 L ( a ) が正のスペクトルを持つ場合のみです。 a が正のスペクトルを持つ場合、a - ε1 は、 ε > 0 に対して非負のスペクトルを持ちます。

Eの正の円錐 Cは、 a が正のスペクトルを持つような要素aの集合として定義されます。この条件は、演算子L ( a ) がE上の正の自己随伴演算子であることと同等です。

• C はEの凸錐です。なぜなら、自己随伴演算子Tの正値性(その固有値が厳密に正であるという性質) は、すべてのv ≠ 0 に対して ( Tv、v ) > 0と同等だからです。
• C は、自己随伴行列の正行列が開いており、L が連続写像であるため開行列です。実際、Tの最小の固有値が ε > 0 の場合、 || S || < ε のときは常にT + Sが正になります。
• Cの閉包は、L ( a ) が非負であるか、または同値としてa が非負のスペクトルを持つようなすべてのaから構成されます。凸錐の基本的性質から、C はその閉包の内部であり、真錐です。 Cの閉包の元は、まさにEの元の平方です。
• Cは自己双対である。実際、 Cの閉包の元はE内のすべての平方x ²の集合であり、双対錐は( a , x ² ) > 0となるすべてのaによって与えられる。一方、( a , x ² ) = ( L ( a ) x , x )なので、これはL ( a )の正値と同等である。^[8]

正錐C が同次であること、つまり自己同型の推移群を持つことを示すには、X ↦ YXYによって与えられる自己随伴行列のそれ自身への二次作用の一般化を定義する必要があります。Y が可逆かつ自己随伴である場合、この写像は可逆であり、正演算子を正演算子上に伝達します。

E内のaに対して、Eの自己準同型（二次表現と呼ばれる）を^[9]で定義する。

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L\left(a^{2}\right).}}$

自己随伴行列L ( X ) Y = ⁠1/2⁠ ( XY + YX ) なので、Q ( X ) Y = XYXとなります。

Eの元a は、 R [ a ]において可逆である場合に可逆であるといいます。bが逆を表す場合、aのスペクトル分解により、 L ( a ) とL ( b ) は可換であることが示されます。

実際、aが逆であるのはQ ( a )が逆である場合に限ります。その場合、

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q\left(a^{-1}\right)=Q(a)^{-1}.}}$

実際、Q ( a )が逆行列を持つ場合、 R [ a ]はそれ自身に伝播します。一方、Q ( a )1 = a ²なので、

${\displaystyle \displaystyle {\left(Q(a)^{-1}a\right)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1.}}$

偏極ジョルダン恒等式で b = a ⁻¹をとると、

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)L\left(a^{-1}\right)=L(a).}}$

a をその逆数で置き換えると、 L ( a ) とL ( a ⁻¹ ) が可逆であれば関係式が成り立ちます。そうでない場合は、 ε が任意に小さい場合、つまり極限内でも、 a + ε1に対してこの関係式が成り立ちます。

• aとb が逆行列を持つ場合、 Q ( a ) bも逆行列を持ち、逆行列の恒等式を満たします。

  ${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}.}}$

• 二次表現は次の基本的な恒等式を満たします。

  ${\displaystyle \displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}}$

• 特に、bをaの非負のべき乗とすると、帰納的に次の式が導かれる。

  ${\displaystyle \displaystyle {Q\left(a^{m}\right)=Q(a)^{m}.}}$

これらの恒等式は、有限次元（ユークリッド）ジョルダン代数（下記参照）または特殊ジョルダン代数、すなわち単位結合代数によって定義されるジョルダン代数において簡単に証明できる。^{[10]これらは任意のジョルダン代数において有効である。これは}ジェイコブソンによって予想され、マクドナルド（1960）によって証明された。マクドナルドは、3つの変数の多項式恒等式（3番目の変数が線形）が任意の特殊ジョルダン代数において有効である場合、すべてのジョルダン代数において成立することを示した。^[11]

実際、cがAにあり、F ( a )がA上の関数でEnd Aに値がある場合、 D _c F ( a )をF ( a + tc )のt = 0における導関数とします。すると、

${\displaystyle \displaystyle {c=D_{c}\left(Q(a)a^{-1}\right)=2\left[(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}\right]+Q(a)D_{c}\left(a^{-1}\right)=2c+Q(a)D_{c}\left(a^{-1}\right).}}$

角括弧内の式はL ( a )とL ( a ⁻¹ )が可換なのでcに簡略化される。

したがって

${\displaystyle \displaystyle {D_{c}\left(a^{-1}\right)=-Q(a)^{-1}c.}}$

D _{c を}L ( a ⁻¹ ) Q ( a ) = L ( a )に適用し、 b = c ⁻¹に作用すると、

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)\left(Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}\right)=1.}}$

一方、L ( Q ( a ) b ) は開稠密集合上で可逆であり、Q ( a ) bも可逆でなければならない。

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q\left(a^{-1}\right)b^{-1}.}}$

上記の式で 変数bの導関数D _{cをとると、}

${\displaystyle \displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}}$

これは可逆な要素の密な集合に対する基本的な恒等式を生成し、一般に連続性によって従います。基本的な恒等式は、aとbが可逆である場合にc = Q ( a ) bが可逆であることを意味し、 Q ( c )の逆の式を与えます。これをcに適用すると、完全に一般的な逆恒等式が得られます。

最後に、定義から、あるべき等なeに対してu = 1 − 2 eであれば、Q ( u )はeの中心化代数と加群に対して上で構築された周期2の自己同型であることがすぐに確認できます。

a が 可逆演算子であり、 b が 正の円錐 C内にある場合、Q ( a ) b も可逆演算子になります 。

この証明は自己随伴作用素の固有値の基本的な連続性に依存している。^[12]

T ( t ) (α ≤ t ≤ β)を、 T (α)が正でT (β) が負の固有値を持つ、 E上の自己随伴作用素の連続族とします。 S ( t )= – T ( t ) + Mと設定し、 M > 0 は、S ( t ) がすべてのtに対して正になるように大きく選びます。作用素ノルム || S ( t )|| は連続です。t = αに対してMより小さく、 t = βに対してMより大きくなります。 そのため、ある α < s < β に対して、 || S ( s )|| = M となり、 S ( s ) v = Mvとなるようなベクトルv ≠ 0 が存在します。 特に、T ( s ) v = 0 なので、T ( s ) は逆ではありません。

x = Q ( a ) b がCに存在しないとします。0 ≤ t ≤ 1 でb ( t ) = (1 − t ) + tbとします。凸性によりb ( t ) はCに存在します。x ( t ) = Q ( a ) b ( t ) およびX ( t ) = L ( x ( t ) ) とします。X ( t ) が0 ≤ t ≤ 1 のすべてのtについて逆である場合、 t = 0 では正でt = 1では負の固有値を持つため、固有値の議論は矛盾を生じます。したがって、X ( s ) は、 0 < s ≤ 1であるいくつかのsについて 0 の固有値を持ちます。つまり、 w ≠ 0 でX ( s ) w = 0です。二次表現の特性により、x ( t ) はすべてのtについて逆可能です。Y ( t ) = L ( x ( t ) ² )とします。x ( t ) ^{2 は}Cに含まれるため、これは正の演算子です。T ( t ) = Q ( x ( t ) ) は、 x ( t )の可逆性により可逆な自己随伴演算子です。 一方、T ( t ) = 2 X ( t ) ² - Y ( t ) です。Y ( s ) は正でX ( s ) w = 0なので、 ( T ( s ) w , w ) < 0 です。 特に、 T ( s ) には負の固有値がいくつかあります。 一方、演算子T (0) = Q ( a ² ) = Q ( a ) ²は正です。固有値の議論によれば、T ( t ) は0 < t < sであるtに対して固有値 0 を持ちますが、これは矛盾です。

したがって、可逆な線型作用素Q ( a )とその逆作用素は、円錐C をそれ自身に取り込む。実際、Q ( a ) の逆作用素はQ ( a ⁻¹ )である。 Q ( a )1 = a ²なので、対称性の推移群が存在する。

C は 対称円錐です。

C をユークリッド空間Eの対称円錐とする。上記のように、 Aut C はC (またはそれと同等の閉包) をそれ自身にとる GL( E )の閉部分群を表す。 G = Aut ₀ C をその恒等成分とする。K = G ∩ O( E )。これはGの最大コンパクト部分群であり、 Cの点eの安定群である。これは連結である。群G は随伴を取ることに関して不変である。 σ g =( g *) ⁻¹、周期 2 自己同型とする。したがってK はσ の不動点部分群である。をGのリー代数とする。したがって σ は の反転を誘導し、したがって ±1 固有空間分解を 誘導する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}}$

ここで、+1 固有空間はKのリー代数であり、は −1 固有空間である。したがって、 ⋅ e は次元 dim のアフィン部分空間である。C = G / K はEの開部分空間であるため、 dim E = dimとなり、したがって⋅ e = Eとなる。Eのaに対して、L ( a )をL ( a ) e = a となる唯一の元とする 。a ∘ b = L ( a ) b と定義する 。すると、ユークリッド構造とこの双線型積を持つE は、恒等式 1 = eを持つユークリッド ジョルダン代数となる。凸錐はCとEの正錐に一致する。^[13]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

の要素は 自己随伴なので、L ( a )* = L ( a )。[ , ] ⊆ はe を消滅させるので積は可換であり、ab = L ( a ) L ( b ) e = L ( b ) L ( a ) e = baとなる。残っているのは、ジョルダン恒等式 [ L ( a ), L ( a ² )] = 0 を確認することである。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

結合子は[ a , b , c ] = [ L ( a ), L ( c )] bで与えられます。[ L ( a ), L ( c )] は に含まれるため、[[ L ( a ), L ( c )], L ( b )] = L ([ a , b , c ]) となります。両辺をcに作用させると、次の式が得られます 。${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

${\displaystyle \displaystyle {[a,b^{2},c]=2[a,b,c]b.}}$

一方で、

${\displaystyle \displaystyle {([b^{2},a,b],c)=(b^{2}(ba)-b(b^{2}a),c)=-(b^{2},[a,b,c])}}$

同様に

${\displaystyle \displaystyle {([b^{2},a,b],c)=(b,[a,b^{2},c]).}}$

これらの式を組み合わせると

${\displaystyle \displaystyle {([b^{2},a,b],c)=0,}}$

これはジョーダンのアイデンティティを意味します。

最終的にEの正の円錐はCと一致する。これは、任意のユークリッドジョルダン代数Eにおいて、

${\displaystyle \displaystyle {Q(e^{a})=e^{2L(a)}.}}$

実際、Q ( e ^a ) は正の演算子であり、 Q ( e ^ta ) は正の演算子の 1 パラメータ グループです。これは、有理数tの連続性によって示され、これはべき乗の挙動の結果です。したがって、何らかの自己随伴演算子Xに対して exp tXという形式になります。 0 で導関数を取ると、X = 2 L ( a ) になります。

したがって、正の円錐はすべての要素によって与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {e^{2a}=Q(e^{a})1=e^{2L(a)}1=e^{X}\cdot 1,}}$

Xはにあります。したがって、 Eの正の円錐はC の内側にあります。どちらも自己双対なので、一致する必要があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

C を単純ユークリッドジョルダン代数Eの正錐とする。Aut C はC (またはその閉包) をそれ自身にとる GL( E ) の閉部分群である。G = Aut 0 Cを_Aut Cの恒等成分とし、K を1 を固定したGの閉部分群とする。錐の群論的性質から、KはGの連結コンパクト部分群であり、コンパクトリー群 Aut Eの恒等成分に等しい。および をGとKのリー代数とする。G は随伴を取ることについて閉じており、K は周期 2 の自己同型 σ( g ) = ( g *) ⁻¹の不動点部分群である。したがって、K = G ∩ SO( E ) である。を σ の −1 固有空間とする。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$トレース形式によって定義される内積に対して歪随伴となるEの微分から構成されます。
• [[ L ( a ), L ( c )], L ( b )] = L ([ a , b , c ])。
• aとb がE内にある場合、D = [ L ( a ), L ( b )] はEの微分なので、 に含まれます。これらの微分は に及びます 。${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$
• a がCにある場合、Q ( a ) はGにあります。
• C は、 1 を含むEの可逆な元の開集合の連結成分です。これはEの元の指数関数で構成され、指数写像はEのC上への微分同相写像を与えます。
• 写像a ↦ L ( a )はEの同型写像を与え、e ^{L ( a )} = Q ( e ^{a /2 ) となる。このような指数関数の空間は、} Gの正の自己随伴元Pと一致する。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• g がGに属し、a がEに属する場合、Q ( g ( a )) = g Q ( a ) g *となります。

• G = P ⋅ K = K ⋅ Pであり、分解g = pkはGL( E )の極分解に対応する。
• ( e _i ) がEのジョルダンフレームである場合、 L ( e _i )によって張られるの部分空間は において最大アーベルです。A = exp は、 a = Σ λ _i e _i（λ _i > 0 ）である演算子Q ( a )のアーベル部分群です。 A はPで閉じているためGで閉じています。b =Σ μ _i e _i（μ _i > 0）である場合、Q ( ab )= Q ( a ) Q ( b ) です。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$およびP は、およびAのK変換の和集合です。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Eがジョルダンフレームに対してピアソン分解を持つ場合（ e _i）

${\displaystyle \displaystyle {E=\bigoplus _{i\leq j}E_{ij},}}$

すると、 この分解によって対角化され、L ( a )はEij上で(αi + αj ₎ / ₂として作用する。ここでa = _Σαieiである_。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Gの閉部分群Sを次のように 定義する。

${\displaystyle \displaystyle {S=\{g\in G|gE_{ij}\subseteq \bigoplus _{(p,q)\geq (i,j)}E_{pq}\},}}$

ここで、ペアp ≤ qの順序は辞書式です。S は、 E _ij上でスカラーとして作用するため、グループAを含みます。N がSの閉部分群で、nx = x modulo ⊕ _{( p , q ) > ( i , j )} E _pqである場合、S = AN = NAとなり、これはNを正規化するAとの半直積です。 さらに、G には次の岩沢分解があります。

${\displaystyle \displaystyle {G=KAN.}}$

i ≠ jの場合、

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}_{ij}=\{X\in {\mathfrak {g}}:[L(a),X]={1 \over 2}(\alpha _{i}-\alpha _{j})X,\,\,\,\mathrm {for} \,\,\,a=\sum \alpha _{i}e_{i}\}.}}$

するとNのリー代数は

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {n}}=\bigoplus _{i<j}{\mathfrak {g}}_{ij},\,\,\,\,{\mathfrak {g}}_{ij}=\{L(a)+2[L(a),L(e_{i})]:a\in E_{ij}\}.}}$

E _ijの順序付き正規直交基底をとると、ペア ( i , j )の辞書式順序を使用してEの基底が得られます。 N群は下単三角で、そのリー代数は下三角です。特に、指数写像はNへの多項式写像であり、多項式逆は対数で与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

E をユークリッド ジョルダン代数とする。複素化E _C = E ⊕ iEには、自然な共役演算 ( a + ib )* = a − ibと自然な複素内積およびノルムがある。E 上のジョルダン積はE Cに_双線型に拡張され、 ( a + ib )( c + id ) = ( ac − bd ) + i ( ad + bc )となる。乗算がL ( a ) b = abで定義される場合、ジョルダン公理

${\displaystyle \displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0}}$

は解析接続により依然として成り立ちます。実際、上記の恒等式は、t実数に対してa をa + tbに置き換えたときに成り立ちます。そして左辺は、 End E _Cの値がt実数に対して消える多項式なので、 t複素数でも消えます。解析接続により、L ( a ^m )の再帰式を含め、Eの単一元aに対するべき結合性を含む式はすべて、E _Cでも成り立つことも示されます。 Eのbに対して、L ( b ) は依然としてE _C上で自己随伴であるため、随伴関係L ( a *) = L ( a )* はE _Cのaに対して成り立ちます。同様に、対称双線型形式 β( a , b ) = ( a , b *) は β( ab , c ) = β( b , ac ) を満たします。内積がトレース形式から得られる場合、β( a , b ) = Tr L ( ab ) となります。

E _Cのaに対して、二次表現は前と同じように Q ( a )=2 L ( a ) ² − L ( a ² ) で定義されます。解析接続により、基本的な恒等式は依然として成り立ちます。

${\displaystyle \displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),\,\,\,Q(a^{m})=Q(a)^{m}\,\,(m\geq 0).}}$

Eの元a がC [ a ] において可逆である場合、その元は可逆であるといいます。べき乗結合性は、L ( a ) とL ( a ⁻¹ ) が可換であることを示しています。さらに、a ^{−1は逆元}aとともに可逆です。

Eと同様に、aが逆であるのはQ ( a )が逆である場合に限ります。その場合、

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)^{-1}a=a^{-1},\,\,\,Q(a^{-1})=Q(a)^{-1}.}}$

実際、 Eに関しては、Q ( a ) が逆であればC [ a ] をそれ自身に乗せるが、Q ( a )1 = a ²なので、

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)^{-1}a)a=aQ(a)^{-1}a=L(a)Q(a)^{-1}a=Q(a)^{-1}a^{2}=1,}}$

したがって、a は逆です。逆に、 aが逆である場合、基本恒等式でb = a ^{−2をとると、} Q ( a ) が逆であることがわかります。aをa ⁻¹に、b をaに置き換えると、その逆がQ ( a ⁻¹ ) であることがわかります。最後に、aとbが逆である 場合、 c = Q ( a ) bも逆であり、逆恒等式を満たします。

${\displaystyle \displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}}$

cの可逆性は、 Q ( c ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a )という基本式から導かれます。したがって、

${\displaystyle \displaystyle {c^{-1}=Q(c)^{-1}c=Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}b=Q(a)^{-1}b^{-1}.}}$

式

${\displaystyle \displaystyle {Q(e^{a})=e^{2L(a)}}}$

解析接続によっても従う。

Aut E _{C は}コンパクトリー群 Aut EのGL( E _C ) における複素化である。これは、Aut E _Cと Aut Eのリー代数が複素ジョルダン代数E _CとEの微分から構成されることから導かれる。End E _Cを End Eの複素化と同一視する同型性のもとで、複素微分は実微分における複素化と同一視される。^[14]

ジョルダン演算子L ( a ) はトレース形式に関して対称なので、E _Cのaに対してL ( a ) ^t = L ( a )が成り立ちます。 EとE _Cの自己同型群は、 L ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹かつg1 = 1となるような 可逆な実線型演算子と複素線型演算子 gで構成されます。 Aut E _{C は}Aut Eの複素化です。自己同型g はトレース形式を保存するので、g ⁻¹ = g ^tです。

EとE _Cの構造群は、可逆な実線型作用素と複素線型作用素gから成り 、

${\displaystyle \displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}}$

これらは、Γ( E ) と Γ( E _C ) のグループを形成し、Γ( E ) ⊂ Γ( E _C ) となります。

• 構造群は転置g ↦ g ^tと随伴 g ↦ g * を取ることで閉じます。
• 構造群には自己同型群が含まれます。自己同型群は、構造群の 1 の安定子と同一視できます。
• aが逆関数である場合、Q ( a )は構造群に属します。
• g が構造群に属し、a が逆である場合、 gaも ( ga ) ⁻¹ = ( g ^t ) ⁻¹ a ⁻¹で逆可能である。
• Eが単純であれば、 Γ( E ) = Aut C × {±1}、 Γ( E ) ∩ O( E ) = Aut E × {±1} となり、 Γ( E )の恒等成分はCに対して推移的に作用します。
• Γ( E _C ) は Γ( E )の複素化であり、リー代数を持ちます。${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$
• 構造群Γ( E _C )はE _C内の可逆な元の集合に対して推移的に作用する。
• Γ( E _C ) 内の任意のg はg = h Q ( a )の形を持ち、 hは自己同型で可逆である。

ユニタリ構造群Γ _u ( E _C ) は、ユニタリ演算子からなる Γ( E _C )の部分群であり、 Γ _u ( E _C ) = Γ( E _C ) ∩ U( E _C ) となります。

• _{Γ u} ( E _C )における1の安定因子はAut Eである。
• _Γu ( EC )内の任意のgはg = h Q ( u )の形を持ち、_hは_AutEに含まれ、uはECで逆関数でu * = u ⁻¹である。
• Γ( E _{C ) は Γ u} ( E _C )の複素化であり、リー代数を持ちます。${\displaystyle {\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}}$
• u * = u ⁻¹となる 可逆な元uの集合S は、 L ( u ) がuu * = 1となる正規作用素となるuか、 E内のあるaに対して exp ia という形式のuとして同値に特徴付けることができる。特にS は連結である。
• _{Γ u} ( E _C )の恒等成分はSに対して推移的に作用する。
• GL( E _C )のgがユニタリ構造群に属するのは、gS = Sのときのみである。
• ジョルダンフレーム ( e _i ) とE _C内のvが与えられたとき、 Γ _u ( E _C )の単位元に演算子uが存在し、 uv = Σ α _i e _i （ α _i ≥ 0）が成立します。 vが可逆な場合、 α _i > 0 です。

ユークリッドジョルダン代数Eのフレーム( e _i )が与えられたとき、制限されたワイル群は、⊕ R e _{i を}不変にするΓ _u ( E _C )の単位元成分の要素から生じる⊕ R e _i上の演算子の群と同一視できる。

E を、内積がトレース形式で与えられるユークリッドジョルダン代数とする。( e i ₎をE内の固定されたジョルダンフレームとする。E _C内のaが与えられたとき、ua = Σ α _i e _iかつ α _i ≥ 0となるように Γ u ( E C ) 内_のuを_選択する。 このとき、スペクトルノルム|| a || = max α _{i は}すべての選択に依存しない。これはE _C上のノルムで あり、

${\displaystyle \displaystyle {\|a^{*}\|=\|a\|,\,\,\,\|\{a,a^{*},a\}\|=\|a\|^{3}.}}$

さらに、|| a || ^{2 は、}内積空間E _C上のQ ( a )の演算子ノルムによって与えられる。二次表現の基本恒等式は、|| Q ( a ) b || ≤ || a || ² || b || を意味する。要素aのスペクトルノルムはC [ a ]によって定義されるため、 aのみに依存し、計算される特定のユークリッドジョルダン代数には依存しない。^[15]

コンパクト集合S は、閉じた単位球 || x || ≤ 1 の端点の集合である。S内の各u はノルム 1 を持つ。さらに、u = e ^iaかつv = e ^ibならば、 || uv || ≤ 1 となる。実際、コーン・シルショフの定理により、aおよびbによって生成されるEの単位ジョルダン部分代数は特殊である。この不等式は、例外のない単純ユークリッド ジョルダン代数では簡単に証明できる。なぜなら、そのようなジョルダン代数とその複素化は、ある H _n ( R ) の部分代数とその複素化H _n ( C ) ⊂ M _n ( C ) として実現できるからである。H _n ( C )のスペクトルノルムは、 通常の演算子ノルムである。その場合、M _n ( C )内のユニタリ行列UおよびVに対して、明らかに|| ⁠1/2⁠ ( UV + VU )|| ≤ 1。したがって、この不等式は任意の特殊ユークリッドジョルダン代数で成り立ち、したがって一般にも成り立つ。^[16]

一方、クライン＝ミルマン定理によれば、閉じた単位球はSの（閉じた）凸スパンである。^{[17]従って、||} L ( u )|| = 1となり、これは内積ノルムまたはスペクトルノルムに対応する演算子ノルムである。したがって、すべてのaに対して|| L ( a )|| ≤ || a ||となり、スペクトルノルムは次式を満たす。

${\displaystyle \displaystyle {\|ab\|\leq \|a\|\cdot \|b\|.}}$

したがって、E _{C は}ジョルダンC*代数となる。^[18]

単純ユークリッドジョルダン代数の複素化は、単純複素ジョルダン代数であり、これもまた可分である、すなわちそのトレース形式は非退化である。逆に、構造群のリー代数の実形式の存在を利用して、あらゆる複素可分単純ジョルダン代数は単純ユークリッドジョルダン代数の複素化であることが示される。^[19]

単純ユークリッドジョルダン代数Eの複素化にイデアルがないことを確認するには、FがE ^Cのイデアルであれば、トレースノルムの直交補集合であるF ^⊥もイデアルであることに注意します。実際の場合と同様に、J = F ^⊥ ∩ Fは(0) に等しくなければなりません。トレース形式の結合法則により、F ^{⊥ は}イデアルであり、aとb がJに含まれる場合、 ab = 0となることがわかります。したがって、Jはイデアルです。しかし、 z がJに含まれる場合、L ( z ) はE _{C を}Jに、J を(0) に取り込みます。したがって、 Tr L ( z ) = 0 です。J はイデアルであり、トレース形式は退化しているため、z = 0 となります。したがって、 E _C = F ⊕ F ^⊥となります。 P がFへの対応する射影である場合、演算子L ( a ) およびF ^⊥ = ( I − P ) E _Cと可換です。もイデアルであり、E = F ⊕ F ^⊥である。さらに、e = P (1) ならば、P = L ( e ) である。実際、Eのaに対して

${\displaystyle \displaystyle {ea=ae=L(a)P(1)=P(L(a)1)=P(a),}}$

したがって、aがFにあればea = aとなり、a がF ^⊥にあれば 0 となる。特に、eと 1 − e は直交中心冪等であり、 L ( e ) = PおよびL (1 − e ) = I − Pとなる。

したがって、 E _Cの中心はEの中心の複素化であるという事実から単純さが導かれます。

ケーヒャーの有界対称空間への「初等的アプローチ」^[20]によれば、非コンパクト型のエルミート対称空間は、ユークリッドジョルダン代数Eの複素化において、スペクトルノルムの開単位球、有界領域、または開チューブ領域T = E + iC（CはEの正開錐）のいずれかとして実現できる。最も単純なE = Rの場合、 Eの複素化はCのみで、有界領域は開単位円板に対応し、チューブ領域は上半平面に対応する。これらの空間は両方とも、SU(1,1)またはSL(2, R )の行列に対応する、メビウス変換によって与えられる双正則同型の推移群を持つ。これらは両方とも、 Cの標準的な一点コンパクト化であるリーマン球面C ∪ {∞ }内にある。さらに、対称群はすべて、SL(2, C )内の行列に対応するメビウス変換の特殊なケースです。この複素リー群とその最大コンパクト部分群SU(2)は、リーマン球面上で推移的に作用します。これらの群は代数的でもあります。これらは区別された生成部分群を持ち、生成元と関係式で明示的に記述されます。さらに、ケイリー変換は、開円板から上半平面への明示的なメビウス変換を与えます。これらすべての特徴は、任意のユークリッド ジョルダン代数に一般化されます。^[21]コンパクト化と複素リー群については次のセクションで説明し、コンパクト型の双対エルミート対称空間に対応します。このセクションでは、有界領域とチューブ領域の対称性とそれらの間の対称性についてのみ説明します。

ジョルダン フレームは、対称群を記述するための主要なジョルダン代数技法の 1 つを提供します。各ジョルダン フレームは、RとCのコピーの積を生成します。対応する開領域の対称群とコンパクト化 (多円板と多球) は、単位円板、上半平面、リーマン球の場合から演繹できます。これらの対称性はすべて、より大きなジョルダン代数とそのコンパクト化に拡張されます。複素代数 (またはそのコンパクト化) のすべての点は、ユニタリ構造群の下で多円板 (または多球) のイメージ内にあるため、解析はこの場合にも簡略化できます。

E を複素化A = E _C = E + iEを持つユークリッド ジョルダン代数とする。

Aの単位球または単位円Dは、 || a || < 1 となるような要素aの凸有界開集合 、つまりスペクトルノルムの単位球です。

Aのチューブ領域Tは、無限凸開集合T = E + iCです。ここで、C はEの開いた正の円錐です。

群 SL(2, C )は、リーマン球面C ∪ {∞} （Cの一点コンパクト化）上でメビウス変換として作用する。SL (2, C ) のg が行列

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}}$

それから

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}}$

同様に、群SL(2, R )は、円R∪ {∞} （Rの一点コンパクト化）上でメビウス変換によって作用します。

k = RまたはCとします。すると、 SL(2, k ) は、下側および上側単位三角行列LおよびU'の3つの部分群と、対角行列Dによって生成されます。また、下側（または上側）単位三角行列、対角行列、および行列

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}}$

行列Jはメビウス変換j ( z ) = − z ⁻¹に対応し、次のように書くことができる。

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}.}}$

∞ を固定するメビウス変換は、上三角行列B = UD = DUです。g が∞ を固定しない場合は、 ∞ を有限点aに送信します。しかし、g は、 aを 0 に送信する上単三角行列と合成され、次にJと合成されて 0 を無限大に送信できます。この議論は、 Bruhat 分解の最も単純な例の 1 つを示しています。

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {SL} (2,k)=\mathbf {B} \cup \mathbf {B} \cdot J\cdot \mathbf {B} ,}}$

SL(2, k )の二重剰余類分解である。実際、この和は互いに素であり、より正確には次のように書ける。

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {SL} (2,k)=\mathbf {B} \cup \mathbf {B} \cdot J\cdot \mathbf {U} ,}}$

ここで、2 番目の項に発生する積は直接積です。

さて

${\displaystyle \displaystyle {T(\beta )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}.}}$

それから

${\displaystyle \displaystyle {{\begin{pmatrix}\alpha &0\\0&\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}=JT(\alpha ^{-1})JT(\alpha )JT(\alpha ^{-1}).}}$

SL(2, k )は、次の関係に従う 演算子T (β)とJのグループによって生成される。

• β ↦ T (β)は加法準同型である
• α ↦ D (α) = JT (α ⁻¹ ) JT (α) JT (α ⁻¹ )は乗法準同型です。
• （ −１）＝Ｊ
• D (α) T (β) D (α) ⁻¹ = T (α ² β)
• JD (α) J ⁻¹ = D (α) ⁻¹

最後の関係はD (α)の定義から導かれます。上記の生成元と関係は、事実、SL(2, k )の表現を与えます。実際、 JとT (β)によって生成される自由群 Φ について考えます。ここで、Jは位数 4で、その中心平方根を持ちます。これは、 m ≥ 0に対して、すべての積T (β ₁ ) JT (β ₂ ) JT (β ₃ ) J ... T (β _m ) Jで構成されます。 Φ のSL(2, k )への自然な準同型が存在します。その核には、上記の関係によって生成された正規部分群 Δ が含まれます。したがって、 Φ/Δ のSL(2, k )への自然な準同型が存在します。これが単射であることを示すには、 Φ/Δでも Bruhat 分解が成り立つことを示せば十分です。より正確なバージョンはJと D (α)間の交換関係から導かれるので、最初のバージョンを証明すれば十分です。集合B ∪ B J B は反転に対して不変であり、演算子T (β)とJ を含むので、乗算に対して不変であることを示すだけで十分です。構築により、Bによる乗算に対して不変です。 D (α)の定義式により、Jによる乗算に対して不変です。^[22]

特に、 SL(2, k )の中心はスカラー行列± Iから構成され、 SL(2, k ) の唯一の非自明な正規部分群であるため、PSL(2, k ) = SL(2, k )/{± I } は単純です。^[23]実際、 K が正規部分群である場合、 Bruhat 分解はBが最大部分群であることを意味するため、K はBに含まれるか、 KB = SL(2, k )のいずれかになります。 前者の場合、K は1 つの点を固定するため、 k ∪ {∞ }のすべての点が固定され、中心にあります。 2 番目のケースでは、SL(2, k )の交換子部分群は、下側および上側の単位三角行列によって生成される群であるため、群全体であり、 4 番目の関係は、[ T (β), D (α)] = T (β − α ² β)であるため、このような行列はすべて交換子であることを示しています。 k が K に、 b が B にあるとして J = kb と書くと、L = k U k −1となります。UとLは群^全体を生成するため、 SL ( 2 , k ) = KUです。 しかし、その場合SL(2, k )/ K ≅ U / U ∩ Kとなります。 ここで、右辺はアーベル群ですが、左辺はそれ自身の交換子部分群です。 したがって、これは自明群でなければならず、K = SL(2, k )です。

複素ジョルダン代数A = E _Cの元aが与えられると、単位ジョルダン部分代数C [ a ]は結合的かつ可換である。aによる乗算は、スペクトル、すなわちその複素固有値の集合を持つC [ a ]上の演算子を定義する 。 p ( t )が複素多項式の場合、p ( a ) はC [ a ]で定義される。Aで可逆であるためにはC [ a ]で可逆である必要があり 、これはp がaのスペクトル上でゼロにならないときにのみ起こる。これにより、関数がaのスペクトル上で定義されているときはいつでも、 aの有理関数を定義できる。FとG が有理関数で、GとF ∘ G がa上で定義されている場合、 FはG ( a )上で定義され、F ( G ( a )) = ( F ∘ G )( a )となる。これは特に、 g ( a ) = (α a + β1)(γ a + δ1) ⁻¹で定義される複素メビウス変換に当てはまります。これらはC [ a ]を不変にし、定義されると群合成法則が成立します。(次のセクションでは、複素メビウス変換をAのコンパクト化について定義します。) ^[24]

ピアース分解を持つ Eの原始冪等元eが与えられると、

${\displaystyle \displaystyle {E=E_{1}(e)\oplus E_{1/2}(e)\oplus E_{0}(e),\,\,\,\,A=A_{1}(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_{0}(e).}}$

SL(2, C )のE ₁ ( e ) = C eへのメビウス変換による作用は、 Aへの作用に拡張することができ、その作用は成分A _i ( e )を不変にし、特にE ₀ ( e )に自明に作用する。^[25] P _0がA ₀ ( e )への射影である場合、作用は式

${\displaystyle \displaystyle {g(ze\oplus x_{1/2}\oplus x_{0})={\alpha z+\beta \over \gamma z+\delta }\cdot e\oplus (\gamma z+\delta )^{-1}x_{1/2}\oplus x_{0}-(\gamma z+\delta )^{-1}P_{0}(x_{1/2}^{2}).}}$

原始冪等元e ₁ , ..., e _mのジョルダンフレームでは、 異なるe _iに関連付けられたSL(2 , C )の作用は可換であり、したがってSL(2, C ) ^mの作用が得られます。 SL(2, C )の対角コピーは、 A上のメビウス変換による作用を再び与えます。

メビウス変換は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {C(z)=i{1+z \over 1-z}=-i+{2i \over 1-z}}}$

はケイリー変換と呼ばれる。その逆変換は次のように表される。

${\displaystyle \displaystyle {P(w)={w-i \over w+i}=1-{2i \over w+i}.}}$

逆ケイリー変換は、実数直線を点 1 を除いた円上に移します。上半平面を単位円上に、下半平面を閉じた単位円の補平面上に移します。作用素論では、写像T ↦ P ( T )は、自己随伴作用素T を、スペクトルに 1 を含まないユニタリ作用素Uに移します。行列の場合、ユニタリ行列と自己随伴行列は対角化でき、それらの固有値は単位円または実数直線上にあるため、これに従います。この有限次元の設定では、ケイリー変換とその逆は、作用素ノルムが 1 未満の行列と、虚数部が正の作用素である作用素との間の一対一関係を確立します。これは、以下で説明するジョルダン代数的結果のA = M _n ( C )の特別な場合であり、ケイリー変換とその逆は、有界領域Dとチューブ領域Tとの間の一対一関係を確立することを主張しています。

行列の場合、一対一は可逆公式から導かれる。^[26]実際、 Tの虚数部が正であれば、T + iIは逆行列となる。

${\displaystyle \displaystyle {\|(T+iI)x\|^{2}=\|(T-iI)x\|^{2}+4(\mathrm {Im} (T)x,x).}}$

特に、y = ( T + iI ) xと設定すると、

${\displaystyle \displaystyle {\|y\|^{2}=\|P(T)y\|^{2}+4(\mathrm {Im} (T)x,x).}}$

同様に

${\displaystyle \displaystyle {I-P(T)^{*}P(T)=4(T^{*}-iI)^{-1}[\mathrm {Im} \,T](T+iI)^{-1}}}$

は正の演算子なので、|| P ( T )|| < 1 となる。逆に、|| U || < 1 の場合にはI − U は可逆であり、

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {Im} \,C(U)=(2i)^{-1}[C(U)-C(U)^{*}]=(1-U^{*})^{-1}[I-U^{*}U](I-U)^{-1}.}}$

ケーリー変換とその逆変換は転置と可換であるため、対称行列の全単射も成立します。これは、対称複素行列のジョルダン代数、つまりH _n ( R )の複素化に対応します。

A = E _Cの場合、上記の解決恒等式は次の形をとる: ^[27]

${\displaystyle \displaystyle {Q(1-u^{*})Q(C(u)+C(u^{*}))Q(1-u)=-4B(u^{*},u)}}$

そして同様に

${\displaystyle \displaystyle {4Q(\mathrm {Im} \,a)=Q(a^{*}-i)B(P(a)^{*},P(a))Q(a+i),}}$

ここで、ベルグマン演算子 B ( x , y )は、 B ( x , y ) = I − 2 R ( x , y ) + Q ( x ) Q ( y )で定義され、 R ( x , y ) = [ L ( x ), L ( y )] + L ( xy )です。ここでの逆は明確に定義されています。実際、一方向では、 || u || < 1 に対して1 − u は逆可能です。これは、ノルムが || ab || ≤ || a || || b ||を満たすという事実を使用するか、 B ( u *, u )のレゾルベント恒等式と逆可能性を使用することで得られます (以下を参照)。他の方向では、 aの虚数部がCに含まれる場合、 L ( a )の虚数部は正定値であるため、aは逆可能です。この議論はa + iにも適用できるため、これも逆可能です。

対応関係を確立するには、 E が単純かどうかをチェックするだけで十分です。その場合、TとDの接続性から次のようになります。

最初の基準は、 xの固有値がλ _iであれば、 Q ( x )の固有値は正確にλ _i λ _jであるという事実から得られます。したがって、λ _{i は}すべて正かすべて負のいずれかです。 2 番目の基準は、 a = u Σ α _i e _i = uxでα _i ≥ 0かつuがΓ _u ( E _C )に属する場合、B ( a *, a ) = u * Q (1 − x ² ) u は固有値(1 − α _i ² )(1 − α _j ² )を持つという事実から得られます。したがって、α _{i は}すべて 1 未満かすべて 1 より大きいかのいずれかです。

解決恒等式は、 aとbが 可逆な 次の恒等式の結果である。

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)Q(a^{-1}+b^{-1})Q(b)=Q(a+b).}}$

実際、この場合、二次ジョルダン代数の関係は 、

${\displaystyle \displaystyle {R(a,b)=2Q(a)Q(a^{-1},b)=2Q(a,b^{-1})Q(b)}}$

となることによって

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b)=Q(b^{-1}-a)Q(b).}}$

最後の2つの項が等しいということは、bを−b ⁻¹に置き換えると恒等式が成立することを意味します。

ここで、a = 1 − x、b = 1 − yと設定します。解決恒等式は、次のより一般的な恒等式の特殊なケースです。

${\displaystyle \displaystyle {Q(1-x)Q(C(x)+C(y))Q(1-y)=-4B(x,y).}}$

実際には

${\displaystyle \displaystyle {C(x)+C(y)=-2i(1-a^{-1}-b^{-1}),}}$

したがって、この恒等式は次の式と等しくなります。

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)Q(1-a^{-1}-b^{-1})Q(b)=B(1-a,1-b).}}$

上記の恒等式をQ ( c ) L ( c ⁻¹ ) = L ( c )と併用すると、左辺はQ ( a ) Q ( b ) + Q ( a + b ) − 2 L ( a ) Q ( b ) − 2 Q ( a ) L ( b )に等しくなります。右辺は2 L ( a ) L ( b ) + 2 L ( b ) L ( a ) − 2 L ( ab ) − 2 L ( a ) Q ( b ) − 2 Q ( a ) L ( b ) + Q ( a ) Q ( b ) + Q ( a ) + Q ( b )に等しくなります。これらは、式⁠より等しくなります。1/2⁠ [ Q ( a + b ) − Q ( a ) − Q ( b )] = L ( a ) L ( b ) + L ( b ) L ( a ) − L ( ab )。

a が有界領域D内にある場合、a − 1は可逆です。D はモジュラス ≤ 1 のスカラーによる乗算に対して不変なので、 |λ| ≥ 1 に対してa − λ は可逆であることがわかります。したがって、 || a || ≤ 1 に対して、 |λ| > 1 に対してa − λ は可逆です。したがって、 || a || ≤ 1 およびSU(1,1)内のgに対して、メビウス変換gaが定義されます。定義されている場合、これは単射です。 D上で正則です。最大モジュラス原理により、 g がD をDに写すことを示すには、 g がS を自身に写すことを示すだけで十分です。その場合、 gとその逆はD を保存するため、全射でなければなりません。u = e ^ixでx = Σ ξ _i e _{i が}E内にある場合、gu は⊕ C e _i内にあります。これは可換結合代数であり、スペクトルノルムは最大ノルムです。u = Σ ς _i e _iで |ς _i | = 1 なので、gu = Σ g (ς _i ) e _iとなり、| g (ς i ₎ | = 1 となります。したがって、gu はS内にあります。

これはスペクトルノルムの定義の直接的な結果です。

これは、メビウス変換、すなわちSU(1,1) ^mの対角行列については既に知られています。これは、 SU(1,1) ^mの固定成分の対角行列がユニタリ構造群の変換に対応するため、従います。メビウス変換による共役は、その成分の行列による共役と同等です。SU (1,1)の唯一の非自明な正規部分群はその中心であるため、固定成分のすべての行列はDをそれ自身に運びます。

Dの元が与えられたとき、ユニタリ構造群の恒等成分への変換により、上限ノルムが 1 未満の⊕ C e _iの元に変換されます。SU (1,1) ^mへの変換により、その元は 0 に変換されます。したがって、 Dの双正則変換の推移群が存在します。対称性z ↦ − z は、0 のみを固定した双正則メビウス変換です。

f がDの双正則自己写像で、 f (0) = 0かつ導関数Iが 0 の場合、f は恒等写像でなければならない。^[28]そうでない場合、f はテイラー級数展開f ( z ) = z + f _k + f _{k + 1} ( z ) + ⋅⋅⋅を持ち、 f _iは次数iの同次でf _k ≠ 0である。しかし、その場合f ⁿ ( z ) = z + n f _k ( z )となる。ψ をノルム 1 のA *の汎関数とする。すると、 Dのzを固定すると、 h _n ( w ) = ψ( f ⁿ ( wz ))で与えられる複素変数wの正則関数は、 | w | < 1に対して絶対値が 1 未満でなければならない。コーシーの不等式により、 w ^kの係数はnに依存せずに一様に有界でなければならないが、 f _k ≠ 0の場合は不可能である。

g が0 を固定したDのそれ自身への双正則写像である場合、 h ( z ) = e ^{i α} zであれば、写像f = g ∘ h ∘ g ⁻¹ ∘ h ^{−α は0 を固定し、そこに導関数}Iを持ちます。したがって、これは恒等写像です。したがって、任意の α についてg ( e ^{i α} z ) = e ^{i α} g ( z )です。これは、 g が線型写像であることを意味します。Dをそれ自身に写像するため、閉包をそれ自身に写像します。特に、シロフ境界S をそれ自身に写像する必要があります。これにより、 g はユニタリ構造群に含まれるように なります。

A _Dの下での 0 の軌道は、−1 < α _i < 1を満たすすべての点Σ α _i e _iの集合です。ユニタリ構造群の下でのこれらの点の軌道はD全体です。 K _{D は}G _Dにおける 0 の安定子であるため、カルタン分解が続きます。

実際、DにおけるK _D (の単位元成分) によって固定される唯一の点は0 です。一意性は、G D の中心が 0 を固定しなければならないことを意味します。したがって_、 G Dの中心はK D_にあり_ます。K _Dの中心は円群と同型です。θ を通る回転はD上のe ^{i θの乗算に対応するため}、SU(1,1)/{±1 }にあります。この群の中心は自明であるため、 G _Dの中心は自明です。^[29]

実際、より大きなコンパクト サブグループはA _Dと非自明に交差し、非自明なコンパクト サブグループは存在しません。

G _Dはリー群（下記参照）なので、 G _DとK _{D を}それらの恒等成分、すなわちそれらの 1 パラメータのキューブグループによって生成される部分群に置き換えても、上記 3 つのステートメントが成り立つことに注意されたい。共役を除いた最大コンパクト部分群の一意性は、一般的な議論に従うか、または Sugiura (1982) に従ってシルベスターの慣性法則を使用して古典領域に対して直接演繹することができる。^[30] C上のエルミート行列の例では、これはU( n ) × U( n )が共役を除いたU( n , n )の唯一の最大コンパクト部分群であることを証明することに帰着する。実際、 W = C ⁿ ⊕ (0)の場合、U( n ) × U( n )はW を保存するU( n , n )の部分群である。エルミート形式の制限は、 W上の内積から(0) ⊕ C ⁿ上の内積を引いたものによって与えられる。一方、K がU( n , n )のコンパクト部分群である場合、任意の内積をK上のハール測度に関して平均することによって得られるC ^{2 n}上のK不変内積が存在する。エルミート形式は、Kに関して不変で、一方が正定値で他方が負定値である、次元 n の 2 つの部分空間への直交分解に対応する。シルベスターの慣性法則により、エルミート形式が正定値である次元 n の 2 つの部分空間が与えられた場合、一方はU( n , n )の元によって他方に伝達される。したがって、 U( n , n )の 元gが存在し、その正定値部分空間はgWによって与えられる。したがってgKg ^−1はWを不変とし、gKg ⁻¹ ⊆ U( n ) × U( n )となる。

複素数を四元数に置き換えた同様の議論は、 R上のエルミート行列に対応するシンプレクティック群の一意性を示します。これは、複素構造を使用してより直接的に確認することもできます。複素構造とは、シンプレクティック形式B を保存するJ ² = − Iで、 − B ( Jx、y ) が実内積となるような可逆演算子Jです。シンプレクティック群は、共役によって複素構造に推移的に作用します。さらに、 Jと可換な部分群は、対応する複素内積空間のユニタリ群と自然に同一視されます。一意性は、任意のコンパクト部分群K が何らかの複素構造Jと可換であることを示すことによって得られます。実際、ハール測度で平均すると、基礎となる空間にK不変の内積が存在します。シンプレクティック形式は、 Kと可換な可逆な歪随伴演算子T をもたらします。演算子S = − T ²は正なので、一意の正の平方根を持ち、これはKと可換です。したがって、Tの位相であるJ = S ^−1/2 T は平方根 − Iを持ち、Kと可換です。

G _Tには、チューブへの作用T = E + iCに対応するカルタン分解があります。

${\displaystyle \displaystyle {G_{T}=K_{T}A_{T}K_{T}.}}$

• K _{T は}iC ⊂ Tにおけるiの安定化群なので、 G _Tの最大コンパクト部分群です。ケーリー変換では、K _{T は}K _Dに対応し、有界対称領域における 0 の安定化群で、線形に作用します。G _Tは半単純であるため、すべての最大コンパクト部分群はK _Tと共役です。
• G _TまたはG _Dの中心は自明です。実際、K _DによってDに固定される唯一の点は 0 です。一意性は、G _Dの中心が0 を固定する必要があることを意味します。したがって、G _Dの中心はK _Dにあり、したがってG _Tの中心はK _Tにあります。 K _Dの中心は円群と同型です。つまり、 θ を通る回転は、D上のe ^{i θ}による乗算に対応します。ケーリー変換では、これはメビウス変換z ↦ ( cz + s )(− sz + c ) ⁻¹に対応します。ここで、c = cos θ/2、s = sin θ/2 です。 （特に、 θ = π の場合、これは対称性j ( z ) = − z ⁻¹を与えます。）実際、 αδ − βγ = 1 であるすべてのメビウス変換 z ↦ (α z + β)(−γ z + δ) ^−1はG _Tにあります。 PSL(2, R )の中心は自明なので、 GTの中心も_自明である。^[31]
• A _{T は}線形演算子Q ( a )によって与えられ、 a = Σ α _i e _i（α _i > 0）となります。

実際、G _Tのカルタン分解はG _Dの分解から得られます。Dにz があるとすると、 K _Dに元uがあり、これはΓ _u ( E _C )の単位元で、 z = u Σ α _j e _j （ α _j ≥ 0）となります。|| z || < 1 なので、α _j < 1となります。 zのケーリー変換をとると、 Tのすべてのw はw = k ∘ C Σ α _j e _jと書くことができ、Cはケーリー変換、kはK _Tとなります。 C Σ α _i e _i = Σ β _j e _j i（ β _j = (1 + α _j )(1 − α _j ) ^{−1 ）}なので、点wはw = ka ( i )の形式で、aはAとなります。したがって、G _T = K _T A _T K _Tです。

G _Tには、管への作用T = E + iCに対応する岩沢分解が存在する: ^[32]

${\displaystyle \displaystyle {G_{T}=K_{T}A_{T}N_{T}.}}$

• K _{T は}iC ⊂ Tにおけるiの安定化因子です。
• A _Tは線形演算子Q ( a ) によって与えられ、ここでa = Σ α _i e _iであり、α _i > 0 である。
• N _{T は}E _C上の下単三角群である。これは、Gの岩沢分解（ Cの対称群）に現れる単能三角群Nと、N ₀ = E（並進群x ↦ x + b ）の半直積である。

群S = AN はEに線型的に作用し、N ₀上の共役はこの作用を再現します。群S はCに単純推移的に作用するので、AN _T = S ⋅ N _0はT = E + iCに単純推移的に作用します。H _{T を}チューブTの双正則同型群とします。ケーリー変換は、が有界領域Dの双正則同型群H _Dと同型であることを示します。AN _{T は}チューブTに単純推移的に作用し、 K _{T は}ic を固定するので、それらは自明に交差します。

H _Tのgが与えられたとき、AN _Tの sを取ってg ⁻¹ ( i )= s ⁻¹ ( i )とします。すると、 gs ^{−1 は}i を 固定し、したがってK _Tに含まれます。したがって、H _T = K _T ⋅ A ⋅ N _Tです。したがって、積は群です。

アンリ・カルタンの結果によれば、H _{D は}リー群である。カルタンの最初の証明はナラシムハン (1971) に発表されている。これは、D がベルグマン計量に対して完全であり、等長写像がリー群を形成するという事実からも推論できる。モンテルの定理によれば、双正則同型群は閉じた部分群である。^[33]

この場合、 H _Tがリー群であることは直接確認できます。実際、 反転 σ を持つベクトル場の有限次元 3 次リー代数が存在します。キリング形式は、 σ の +1 固有空間上で負定値、−1 固有空間上で正定値です。群としてH _Tは 正規化します。これは、2 つの部分群K _TとAN _{T が}正規化するためです。+1 固有空間は、 K _Tのリー代数に対応します。同様に、線型群ANとアフィン群N ₀のリー代数は にあります。群G _{T は}自明な中心を持つため、 GL( ) への写像は単射です。K _Tはコンパクトなので、 GL( ) への像もコンパクトです。リー代数はAN _Tのリー代数と互換性があるため、AN _Tの像は閉じています。したがって、 K _Tの像がコンパクトであるため、積の像は閉じています。これは閉じた部分群なので、H _{T は}リー群であることがわかります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{T}}$

ユークリッドジョルダン代数は、チューブ型のエルミート対称空間を構成するために使用できます。残りのエルミート対称空間は、第2種のジーゲル領域です。これらは、ユークリッドジョルダン代数の一般化であるユークリッドジョルダン三重システムを使用して構成できます。実際、ユークリッドジョルダン代数E に対して、

${\displaystyle \displaystyle {L(a,b)=2([L(a),L(b)]+L(ab)).}}$

すると、L ( a , b ) は End Eへの双線型写像を与え、

${\displaystyle \displaystyle {L(a,b)^{*}=L(b,a)},\,\,\,L(a,b)c=L(c,b)a}$

そして

${\displaystyle \displaystyle {[L(a,b),L(c,d)]=L(L(a,b)c,d)-L(c,L(b,a)d).}}$

このような双線型システムはユークリッド・ジョルダン三重システムと呼ばれます。定義により、演算子L ( a , b ) は End Eのリー部分代数を形成します。

カンター・ケッヒャー・ティッツ構成は、ジョルダン三重系と3次リー代数の間に一対一の対応を与える。

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1},}}$

満足のいく

${\displaystyle \displaystyle {[{\mathfrak {g}}_{p},{\mathfrak {g}}_{q}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{p+q}}}$

次数を逆にする逆自己同型σを備えている。この場合

${\displaystyle \displaystyle {L(a,b)=\mathrm {ad} \,[a,\sigma (b)]}}$

は上のジョルダン三重系を定義します。ユークリッド ジョルダン代数または三重系の場合、カンター–ケッヒャー–ティッツ構成は、対応する有界対称領域のすべての準同型自己同型群のリー代数と同一視できます。リー代数は、を L( a , b )によって生成されたEnd Eのリー部分代数とし、 をEのコピーとすることで構成されます。リー括弧は次のように与えられます 。${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm 1}}$

${\displaystyle \displaystyle {[(a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2})]=(T_{1}a_{2}-T_{2}a_{1},[T_{1},T_{2}]+L(a_{1},b_{2})-L(a_{2},b_{1}),T_{2}^{*}b_{1}-T_{1}^{*}b_{2})}}$

そして退化によって

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (a,T,b)=(b,-T^{*},a).}}$

殺害形態は次のように表される。

${\displaystyle \displaystyle {B((a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2}))=(a_{1},b_{2})+(b_{1},a_{2})+\beta (T_{1},T_{2}),}}$

ここでβ( T ₁ , T ₂ )は対称双線型形式で、次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {\beta (L(a,b),L(c,d))=(L(a,b)c,d)=(L(c,d)a,b).}}$

もともとジョルダン代数のために導出されたこれらの公式は、ジョルダン三重システムに対しても同様に有効である。^[34] Koecher (1969) の説明は、 3 次リー代数の観点から始まる有界対称領域の理論を展開している。与えられた有限次元ベクトル空間Eに対して、 Koecher は、次数 ≤ 2 の多項式係数を持つE上のベクトル場の有限次元リー代数を考察する。は定数ベクトル場 ∂ _iで構成され、中心要素としてオイラー演算子H = Σ x _i ⋅∂ _iを含まなければならない。反転 σ の存在を要求すると、上記のようなV上のジョルダン三重構造が直接導かれる。すべてのジョルダン三重構造と同様に、c をEに固定すると、演算子L _c ( a ) = L ( a , c ) は、 eによって決定されるジョルダン代数構造をE に与える。演算子L ( a , b ) 自体は、 に 追加の演算子E _{±があり、} H、E _±が のコピーを与える場合に限り、上記のようなジョルダン代数構造から来ます。対応するワイル群の要素は反転 σ を実装します。このケースは、ユークリッド ジョルダン代数の場合に対応します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm 1}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

残りのケースは、単純なユークリッドジョルダン代数の反転を用いてケッチャーによって一様に構築される。^[35] E を単純なユークリッドジョルダン代数とし、τ を​​周期 2 のEのジョルダン代数自己同型とする。したがって、 E = E ₊₁ ⊕ E _{−1 は、} E ₊₁がジョルダン部分代数でE _{−1 が}加群である τ に対して、固有空間分解を持つ。さらに、 E ₋₁の 2 つの要素の積はE ₊₁に含まれる。E ₋₁のa、b、cに対して、

${\displaystyle \displaystyle {L_{0}(a,b)c=L(a,b)c}}$

そして ( a , b )= Tr L ( ab ) である。するとF = E _−1は、 E上の三重系をFに制限することによって得られる単純ユークリッドジョルダン三重系である。 Koecher は、単純ユークリッドジョルダン代数の明示的な反転を直接示している (下記参照)。これらのジョルダン三重系は、第二種ジーゲル域によって与えられる既約エルミート対称空間に対応する。Cartan のリストでは、それらのコンパクト双対は、p ≠ qの SU( p + q )/S(U( p ) × U( q )) (AIII)、 nが奇数のSO(2 n )/U( n ) (DIII)、および E ₆ /SO(10) × U(1) (EIII) である。

例

• F は、 p ≠ qであるR上のp行q列の行列の空間です。この場合、L ( a , b ) c = ab ^t c + cb ^t aで、内積は ( a , b ) = Tr ab ^tです。これは、 p 個の対角要素が 1 でqが-1 である対角行列で共役することによって与えられる、E = H _{p + q} ( R )上の反転に対する Koecher の構成です。
• Fは、実対称m行m列行列の空間です。この場合、L ( a , b ) c = abc + cbaで、内積( a , b )=− Trabです。√(-1)の係数を取り除いた_後、これはE = Hn ( C )上の複素共役に適用されるKoecherの構成です。
• F は、1 行 2 列の行列とみなされる、ケーリー数の 2 つのコピーの直和です。この 3 重システムは、E = H ₃ ( O ) 内の任意の最小冪等元によって定義される標準反転に対する Koecher の構成によって得られます。

ユークリッドジョルダン三重システムの分類は、ジョルダン、フォン・ノイマン、ウィグナーの方法を一般化することによって達成されたが、証明はより複雑である。^[36] 3次リー代数を呼び出す小林と長野（1964）とロース（1971）、ロース（1985）の以前の微分幾何学的方法は、より迅速な分類につながった。

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