代数学 において 、 三重系 （または 三元系 ）は 、体 F上の ベクトル空間 V と F 三線型写像である。
（ ⋅ 、 ⋅ 、 ⋅ ） : 五 × 五 × 五 → 五 。
{\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )\colon V\times V\times V\to V.}
最も重要な例は、 リー三重系 と ジョルダン三重系 である。これらは、 1949年に ネイサン・ジェイコブソン によって、三重交換子 [[ u 、 v ]、 w ] および三重 反交換子 { u 、 { v 、 w }} の下で閉じた 結合代数 の部分空間を研究するために導入された。特に、 任意のリー代数は リー三重系を定義し、任意の ジョルダン代数はジョルダン三重系を定義する。これらは 対称空間 、特に エルミート対称空間 とその一般化 ( 対称 R 空間 とその非コンパクト双対)の理論において重要である 。
リー三重システム 三重線型写像 が 次の恒等式を満たす場合、
その三重系は リー三重系 であるといわれます。
[ ⋅ 、 ⋅ 、 ⋅ ]
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]}
[ あなた 、 ヴ 、 わ ] = − [ ヴ 、 あなた 、 わ ]
{\displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w]}
[ あなた 、 ヴ 、 わ ] + [ わ 、 あなた 、 ヴ ] + [ ヴ 、 わ 、 あなた ] = 0
{\displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0}
[ あなた 、 ヴ 、 [ わ 、 x 、 ええ ] ] = [ [ あなた 、 ヴ 、 わ ] 、 x 、 ええ ] + [ わ 、 [ あなた 、 ヴ 、 x ] 、 ええ ] + [ わ 、 x 、 [ あなた 、 ヴ 、 ええ ] ] 。
{\displaystyle [u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]].}
最初の 2 つの恒等式は、 三重交換子の 歪対称性 と ヤコビ恒等式を抽象化しますが、3 番目の恒等式は、 L u , v ( w ) = [ u , v , w ] で定義される線型写像 L u , v : V → Vが三重積の 導出 であることを意味します。この恒等式は、空間 k = span {L u , v : u , v ∈ V } が交換子括弧の下で閉じていること、つまりリー代数であることを示しています。
V の代わりに mを 書くと 、
グ
:= け ⊕
メートル
{\displaystyle {\mathfrak {g}}:=k\oplus {\mathfrak {m}}}
は、括弧付きの
m の 標準埋め込み である-次数リー代数 にすることができる。
ず
2
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
[ （ ら 、 あなた ） 、 （ ま 、 ヴ ） ] = （ [ ら 、 ま ] +
ら
あなた 、 ヴ
、 ら （ ヴ ） − ま （ あなた ） ） 。
{\displaystyle [(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).}
g の分解は 明らかにこのリー括弧の 対称分解 であり、したがって、 G がリー代数 g を持つ連結リー群であり 、 Kがリー代数 k を 持つ部分群である場合 、 G / K は 対称空間 です 。
逆に、そのような対称分解を持つリー代数 g (つまり、対称空間のリー代数) が与えられた場合、三重括弧 [[ u , v ], w ] は m を リー三重系にします。
ジョーダントリプルシステム 三重線写像 {.,.,.} が次の恒等式を満たす場合、その三重線写像はジョルダン三重線写像であると言われます。
{ あなた 、 ヴ 、 わ } = { あなた 、 わ 、 ヴ }
{\displaystyle \{u,v,w\}=\{u,w,v\}}
{ あなた 、 ヴ 、 { わ 、 x 、 ええ } } = { わ 、 x 、 { あなた 、 ヴ 、 ええ } } + { わ 、 { あなた 、 ヴ 、 x } 、 ええ } − { { ヴ 、 あなた 、 わ } 、 x 、 ええ } 。
{\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}\}=\{w,x,\{u,v,y\}\}+\{w,\{u,v,x\},y\}-\{\{v,u,w\},x,y\}.}
最初の恒等式は三重反交換子の対称性を抽象化しており、2番目の恒等式は L u , v : V → Vが L u , v ( y ) = { u , v , y }
で定義されている場合、
[
ら
あなた 、 ヴ
、
ら
わ 、 x
] :=
ら
あなた 、 ヴ
∘
ら
わ 、 x
−
ら
わ 、 x
∘
ら
あなた 、 ヴ
=
ら
わ 、 { あなた 、 ヴ 、 x }
−
ら
{ ヴ 、 あなた 、 わ } 、 x
{\displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}}
すると線型写像の空間{L u , v : u , v ∈ V }は交換子括弧の下で閉じており、したがってリー代数 g 0 となる。
任意のジョルダン三重体系は、積に関してリー三重体系である。
[ あなた 、 ヴ 、 わ ] = { あなた 、 ヴ 、 わ } − { ヴ 、 あなた 、 わ } 。
{\displaystyle [u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.}
ジョルダン三重システムは、 L u 、 v のトレースによって定義される V 上の双線型形式が 正定値 （または 非退化）である場合に、正定値（または非退化）であると言われる。どちらの場合も、 V とその双対空間との同一視があり 、対応する g 0 上の反転が存在する。これらは、
五 ⊕
グ
0
⊕
五
∗
{\displaystyle V\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V^{*}}
これは、正定値の場合はカルタン反転です。対応する 対称空間は 対称 R 空間 です。これは、カルタン反転を、 g 0上で +1、 V と V * 上で −1 に等しい反転を持つ合成で置き換えることで得られる非コンパクトな双対を持ちます。この構成の特別なケースは、 g 0が V 上で複素構造を保存する ときに発生します 。この場合、コンパクトおよび非コンパクトなタイプの双対 エルミート対称空間 が得られます(後者は 有界対称領域 です)。
ジョーダンペア ジョルダン対は、2つのベクトル空間V + と V − を含むジョルダン三重写像の一般化である 。三線写像は、三線写像のペアに置き換えられる。
{ ⋅ 、 ⋅ 、 ⋅
}
+
:
五
−
×
S
2
五
+
→
五
+
{\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{+}\colon V_{-}\times S^{2}V_{+}\to V_{+}}
{ ⋅ 、 ⋅ 、 ⋅
}
−
:
五
+
×
S
2
五
−
→
五
−
{\displaystyle \{\cdot ,\cdot ,\cdot \}_{-}\colon V_{+}\times S^{2}V_{-}\to V_{-}}
これらは、しばしば二次写像V + → Hom( V − , V + ) および V − → Hom( V + , V − )として見られる 。もう 1 つのジョルダン公理 (対称性を除く) も同様に 2 つの公理に置き換えられ、1 つは
{ あなた 、 ヴ 、 { わ 、 x 、 ええ
}
+
}
+
= { わ 、 x 、 { あなた 、 ヴ 、 ええ
}
+
}
+
+ { わ 、 { あなた 、 ヴ 、 x
}
+
、 ええ
}
+
− { { ヴ 、 あなた 、 わ
}
−
、 x 、 ええ
}
+
{\displaystyle \{u,v,\{w,x,y\}_{+}\}_{+}=\{w,x,\{u,v,y\}_{+}\}_{+}+\{w,\{u,v,x\}_{+},y\}_{+}-\{\{v,u,w\}_{-},x,y\}_{+}}
もう 1 つは、+ と - の下付き文字を交換した類似物です。
ジョルダン三重写像の場合と同様に、 uが V − に 、 vが V + にそれぞれ存在する場合 、線形写像
を定義することができる。
ら
あなた 、 ヴ
+
:
五
+
→
五
+
による
ら
あなた 、 ヴ
+
（ ええ ） = { あなた 、 ヴ 、 ええ
}
+
{\displaystyle L_{u,v}^{+}:V_{+}\to V_{+}\quad {\text{by}}\quad L_{u,v}^{+}(y)=\ {u,v,y\}_{+}}
同様に L − で ある。ジョルダン公理は（対称性を除いて）次のように書ける。
[
ら
あなた 、 ヴ
±
、
ら
わ 、 x
±
] =
ら
わ 、 { あなた 、 ヴ 、 x
}
±
±
−
ら
{ ヴ 、 あなた 、 わ
}
∓
、 x
±
{\displaystyle [L_{u,v}^{\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{ \pm }-L_{\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }}
これは、L + と L − の像がEnd( V + ) と End( V − )の交換子括弧の下で閉じていることを意味する 。これらを組み合わせると、線型写像
五
+
⊗
五
−
→
グ l
（
五
+
） ⊕
グ l
（
五
−
）
{\displaystyle V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{-})}
その像はリー部分代数であり 、ジョルダン恒等式は次数付きリー括弧のヤコビ恒等式になる。
グ
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
五
+
⊕
グ
0
⊕
五
−
、
{\displaystyle V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-},}
逆に言えば、
グ
=
グ
+ 1
⊕
グ
0
⊕
グ
− 1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{-1}}
が次数付きリー代数である場合、そのペアは ジョルダンペアであり、括弧
(
g
+
1
,
g
−
1
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})}
{
X
∓
,
Y
±
,
Z
±
}
±
:=
[
[
X
∓
,
Y
±
]
,
Z
±
]
.
{\displaystyle \{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }].}
ジョルダン三重写像系は、 V + = V − と等しい三線写像 を持つジョルダン対である。もう一つの重要なケースは、 V + と V − が互いに双対で、双対三線写像が次の要素によって決定される場合
である。
E
n
d
(
S
2
V
+
)
≅
S
2
V
+
∗
⊗
S
2
V
−
∗
≅
E
n
d
(
S
2
V
−
)
.
{\displaystyle \mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\cong \mathrm {End} (S^{2}V_{-}).}
これらは、特に、 上式が半単純で、キリング形式が との間に双対性を提供する場合に発生します 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
+
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+1}}
g
−
1
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}
参照
参考文献 バートラム、ヴォルフガング (2000)、 「ジョルダン構造とリー構造の幾何学 」、数学講義ノート、第1754巻、シュプリンガー、 ISBN 978-3-540-41426-1 ヘルガソン、シグルドゥル (2001) [1978]、「微分幾何学、リー群、対称空間」、数学大学院研究、第34巻、アメリカ数学会、 ISBN 978-0-8218-2848-9 ジェイコブソン、ネイサン (1949)、「リーとジョーダンの三重システム」、 アメリカ数学誌 、 71 (1): 149–170、 doi :10.2307/2372102、 JSTOR 2372102 神谷 憲明 (2001) [1994]、「リー三重体系」、 数学百科事典 、 EMS プレス 。 神谷憲明 (2001) [1994]、「ジョーダン三重システム」、 数学百科事典 、 EMS プレス 。 Koecher, M. (1969)、 「有界対称領域への初等的アプローチ」 、講義ノート、ライス大学 ロース、オットマー (1969)、一般理論、対称空間、第 1 巻、WA ベンジャミン、 OCLC 681278693 ロース、オットマー（1969）、 コンパクト空間と分類 、対称空間、第2巻、WAベンジャミン Loos, Ottmar (1971)、「Jordan の三重システム、 R 空間、および有界対称領域」、 アメリカ数学会誌 、 77 (4): 558–561、 doi : 10.1090/s0002-9904-1971-12753-2 ロース、オットマー (2006) [1975]、ジョーダンペア、数学講義ノート、第460巻、シュプリンガー、 ISBN 978-3-540-37499-2 Loos, Ottmar (1977)、有界対称領域とジョルダン対 (PDF) 、数学講義、カリフォルニア大学アーバイン校、 2016-03-03 に オリジナル (PDF)からアーカイブ Meyberg, K. (1972)、代数と三重システムに関する講義 (PDF) 、 バージニア大学 ローゼンフェルド、ボリス (1997)、 「リー群の幾何学 」、数学とその応用、第393巻、クルーワー、p. 92、 ISBN 978-0792343905 、 ZBL 0867.53002 Tevelev, E. (2002)、「ムーア・ペンローズ逆行列、放物線部分群、およびジョーダン対」、 Journal of Lie Theory 、 12 : 461–481、 arXiv : math/0101107 、 Bibcode :2001math......1107T 
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28fe776c6d24967c92205f772c4a8c1d3c0d743)
![{\displaystyle [u,v,w]=-[v,u,w]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be58e98d8e2e64b3463f3c5586719872b76f1cb)
![{\displaystyle [u,v,w]+[w,u,v]+[v,w,u]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c8017d3ac7945cba3cd00eabe8f666f1d5bbf1)
![{\displaystyle [u,v,[w,x,y]]=[[u,v,w],x,y]+[w,[u,v,x],y]+[w,x,[u,v,y]].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc65657f2497c024f80b4001d478680521508abf)
![{\displaystyle [(L,u),(M,v)]=([L,M]+L_{u,v},L(v)-M(u)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f89d2c413d17562056d2946fae97fb8a31a0407)
![{\displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]:=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e8d5ef11a7cae6bca6179fcb18859e8f5af769)
![{\displaystyle [u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8be89d63d4decdb93b3998ae6d40333d6f71a2)
![{\displaystyle [L_{u,v}^{\pm },L_{w,x}^{\pm }]=L_{w,\{u,v,x\}_{\pm }}^{ \pm }-L_{\{v,u,w\}_{\mp },x}^{\pm }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469730b0c18656e661938c48665de68b19dc4448)
![{\displaystyle \{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb3e00ef22cd927a7fc89c0492d5de1341a4b8f)
