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抽象代数学では、結合子という用語は、代数構造の非結合性の尺度としてさまざまな方法で使用されます。結合子は、通常、三重システムとして研究されます。

非結合的環または代数 Rの場合、結合子は次式で与えられる 多重線型写像 である。${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]:R\times R\times R\to R}$

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz).}$

整流子と同じように

${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

は非可換性の度合いを測り、結合子はRの非結合性の度合いを測ります。結合環または結合代数の場合、結合子は常にゼロになります。

任意の環の結合子は恒等式に従う

${\displaystyle w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].}$

Rが交代環である場合、結合子はまさに交代します。

R が前リー代数である場合、結合子は右端の 2 つの引数において対称です。

核とは、他のすべての要素と関連する要素の集合である。つまり、Rのnのうち、

${\displaystyle [n,R,R]=[R,n,R]=[R,R,n]=\{0\}\ .}$

核はRの結合部分環である。

準群 Qは、 Q内の各a、bに対して、方程式およびがQ内の一意の解x、yを持つような二項演算 を持つ集合です。準群Qでは、結合子は方程式によって定義される マップです。${\displaystyle \cdot :Q\times Q\to Q}$${\displaystyle a\cdot x=b}$${\displaystyle y\cdot a=b}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot ):Q\times Q\times Q\to Q}$

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=(a\cdot (b\cdot c))\cdot (a,b,c)}$

Qのすべてのa、b、cに対して。環理論の類似物と同様に、準群結合子はQの非結合性の尺度です。

高次元代数では、代数式間に非恒等写像が存在する可能性があり、結合子は同型写像である。

${\displaystyle a_{x,y,z}:(xy)z\mapsto x(yz).}$

圏論では、結合子はモノイド圏における内積関数の結合特性を表現します。

• 整流子
• 非結合代数
• 準双代数 –ドリンフェルト結合子について議論する

• Bremner, M.; Hentzel, I. (2002 年 3 月). 「代替代数における結合子の恒等式」. Journal of Symbolic Computation . 33 (3): 255–273. CiteSeerX  10.1.1.85.1905 . doi :10.1006/jsco.2001.0510.
• シェーファー、リチャード・D. (1995) [1966].非結合代数入門. ドーバー. ISBN 0-486-68813-5。