ピアス分解

数学の一分野である環論において、パース分解/ ˈ p ɜːr s / は、代数を可換な冪等元からなる固有空間の和として分解することです。結合的代数に対するパース分解は、ベンジャミン・パース (1870、命題 41、13 ページ)によって導入されました。結合的でないジョルダン代数に対するパース分解は、アルバート (1947) によって導入されました。

e が結合代数Aのべき等元 ( e ² = e )である場合、単一のべき等元eが与えられたときのAの両側パース分解は、 eAe、eA (1 − e )、 (1 − e ) Ae、および (1 − e ) A (1 − e )の直和です。対応する左パース分解と右パース分解もあります。Aの左パース分解はeAと (1 − e ) Aの直和であり、 Aの右分解はAeとA (1 − e )の直和です。

これらの単純なケースでは、 1 − eも冪等であり、eに直交し（つまり、e (1 − e ) = (1 − e ) e = 0）、 1 − eとeの和は 1 です。一般に、互いに直交し、和が 1 になる冪等元e ₁、...、e _{n が}与えられた場合、 e ₁、...、e _nに関するAの両側ピアス分解は、1 ≤ i、j ≤ nに対して、空間e _i A e _jの直和です。左分解は、 1 ≤ i ≤ nに対して、 e _i Aの直和であり、右分解は、 1 ≤ i ≤ nに対して、 Ae _iの直和です。    

一般に、合計が 1 ではなくe _sumとなるAの相互に直交する冪等元集合e ₁ , ..., e _mが与えられた場合、元 1 − e _sumはe ₁ , ..., e _mのすべてに対して冪等かつ直交となり、集合e ₁ , ..., e _m , 1 − e _{sum は}合計が 1 になるという特性を持つようになるため、n = m + 1, e _n = 1 − e _{sumとなるように新しい元集合にラベルを付け直すと、最後の段落の定義を使用して}Aの両側、右、左のピアス分解に適した集合になります。これは、このセクションの最初の段落の単純な単一冪等元の場合の一般化です。

環の冪等性は、環のすべての要素と可換である場合に 中心的であると呼ばれます。

2 つの冪等数e、f は、 ef = fe = 0の場合、直交しているといわれます。

べき等性がゼロ以外であり、2 つのゼロ以外の直交べき等性の合計として記述できない場合、 そのべき等性はプリミティブと呼ばれます。

冪等性e は、非ゼロかつ中心的であり、2 つの直交する非ゼロ中心冪等性の和として記述できない場合、ブロックまたは中心プリミティブと呼ばれます。この場合、イデアル eR はブロックと呼ばれることもあります。

環Rの恒等式1が和として書ける 場合

1 = e ₁ + ... + e _n

直交非ゼロ中心原始冪等元の場合、これらの冪等元は順序まで一意であり、ブロックまたは環Rと呼ばれる。この場合、環R は直和として表すことができる 。

R = e ₁ R + ... + e _n R

分解不可能な環の集合であり、 Rのブロックとも呼ばれる。

• アルバート、A. エイドリアン (1947)、「ジョルダン代数の構造理論」、数学年報、第 2 シリーズ、48 (3): 546–567、doi :10.2307/1969128、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969128、MR  0021546
• ラム、TY（2001）、非可換環の初歩、Graduate Texts in Mathematics、第131巻（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95183-6、MR  1838439
• パース、ベンジャミン（1870）、線形結合代数、ISBN 978-0-548-94787-6
• Skornyakov, LA (2001) [1994]、「Peirce 分解」、数学百科事典、EMS プレス

• 「パース分解」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• http://www.tricki.org/ の Peirce 分解