エルミート対称空間

Hを連結コンパクト半単純リー群、σ をHの位数 2の自己同型写像​​、 H ^σを σ の不動点部分群とする。KをH σ^とその単位成分の間にあるHの閉部分群とする。コンパクト同次空間H / Kはコンパクト型の対称空間と呼ばれる。リー代数${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$分解を認める

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}}$

どこ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$Kのリー代数は σ の +1 固有空間であり、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-1 固有空間。${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$単純な項を含まない${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ペア（${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$、σ) はコンパクト型の直交対称リー代数と呼ばれる。^{[ 2 ]}

内積${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は随伴表現と σの下で不変であり、 H / K上にリーマン構造を誘導し、Hは等長変換によって作用する。典型的な例は、キリング形式を負にしたものによって与えられる。このような内積の下で、${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$それらは直交する。H / Kはコンパクト型のリーマン対称空間である。^{[ 3 ]}

対称空間H / Kは、リーマン計量を保存するほぼ複素構造を持つ場合、エルミート対称空間と呼ばれます。これは、 J ² = − Iとなる線形写像Jが に存在することと同等です。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$これは内積を保存し、Kの作用と可換である。

もし （${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$,σ)はエルミートであり、Kは非自明な中心を持ち、対称性σは内部対称であり、Kの中心の要素によって実現されます。

実際、Jは${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$そして、exp tJ はKの中心で 1 パラメータ群を形成します。これは、A、B、C、Dが ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$内積の不変性により${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle \displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}}$

AとBをJAとJBに置き換えると、次のようになる。

${\displaystyle \displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}}$

上の線形写像 δ を定義する${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$Jを0に 拡張することで${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$最後の関係は、δが次の導関数であることを示している。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$。 以来${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$は半単純であり、δは内部導出でなければならないので、

${\displaystyle \displaystyle {\delta (X)=[T+A,X],}}$

Tを 含む${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$そしてAは${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$Xを 取り込む${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$したがって、A = 0 であり、 T は中心に位置する。${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$したがって、Kは非半単純である。対称性 σ はz = exp π Tによって実現され、ほぼ複素構造は exp π/2 Tによって実現される。^{[ 5 ]}

σ の内在性は、K がHの最大トーラスを含み、したがって最大ランクを持つことを意味する。一方、要素 exp tTのトーラスSによって生成される部分群の中心化群は連結である。なぜなら、xがKの任意の要素である場合、 xとSを含む最大トーラスが存在し、それが中心化群に含まれるからである。一方、S は K の中心であり、zがSに含まれるためKに含まれるので、K も含まれる。したがって、KはSの中心化群であり、連結である。特に、KはHの中心を含む。^{[ 2 ]}

対称空間またはペア（${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$、σ) は、 の随伴作用が既約であると言われます。${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$^{（あるいは同等に、}Hσまたは Kの恒等成分）は、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$これは最大性に相当します${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$部分代数として。^{[ 6 ]}

実際、中間部分代数間には一対一の対応関係がある。${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$およびK不変部分空間 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{1}}$の${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$によって与えられた

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {m}}_{1}={\mathfrak {l}}\cap {\mathfrak {m}}.}}$

任意の直交対称代数 （${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$エルミート型の 、σ) は、エルミート型の既約直交対称代数の（直交）直和として分解できる。^{[ 7 ]}

実際には${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$単純な代数の直和として表すことができる

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {h}}_{i},}}$

それぞれは自己同型 σ と複素構造Jによって不変に保たれる。なぜなら、それらは両方とも内部だからである。${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$と交差する${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$σの制限は${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$還元不可能である。

この直交対称リー代数の分解は、 Hが単連結である場合、対応するコンパクト対称空間H / Kの直積分解をもたらします。この場合、固定点部分群H ^σは自動的に連結されます。単連結Hの場合、対称空間H / Kは、単_連結かつ単純なH _i / K _iの直積です。既約の場合、KはHの極大連結部分群です。Kは既約に作用するため、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$（ Jによって定義される複雑な構造の複素空間とみなされる） Kの中心は、演算子 exp tTで与えられる一次元トーラスTである。各Hは単連結であり、K も連結であるため、商H / Kは単連結である。^{[ 8 ]}

H / Kが既約でKが半単純でない場合、コンパクト群Hは単純でKは最大ランクでなければなりません。ボレル・ド・ジーベンタール理論によれば、対合 σ は内部であり、Kはその中心の中心化群であり、Tと同型です。特に、Kは連結です。したがって、H / Kは単連結であり、 Hの複素化GにはH / K = G / Pとなる放物型部分群Pが存在します。特に、H / K上に複素構造があり、 Hの作用は正則です。任意のエルミート対称空間は既約空間の積であるため、一般にも同じことが言えます。

リー代数レベルでは、対称分解が存在する。

${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}$

どこ${\displaystyle ({\mathfrak {m}},J)}$は複素構造Jを持つ実ベクトル空間であり、その複素次元は表に示されている。それに対応して、次数付きリー代数分解が存在する。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {l}}\oplus {\mathfrak {m}}_{-}}$

どこ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {m}}_{-}\oplus {\mathfrak {m}}_{+}}$Jの+ iと− iの固有空間への分解であり、${\displaystyle {\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\otimes \mathbb {C} }$Pのリー代数は半直積である。${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {l}}}$複素リー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$はアーベル群である。実際、UとV が${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$、[ U、V ] = J [ U、V ] = [ JU、JV ] = [± iU、± iV ] = –[ U、V ] なので、リー括弧は消滅しなければなりません。

複素部分空間${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$の${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$JはKと可換なので、それぞれはKの作用に対して既約であり、${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$複雑な構造± Jを持つ。同様に、 Kの中心Tは${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$同一性表現によって、そして${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$その共役によって。^{[ 9 ]}

H / Kを一般化された旗多様体G / Pとして実現するには、表にあるG ( Hの複素化) と、Kの複素化であるLと複素アーベル部分群 expの半直積に等しい放物型部分群をPとします。${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$（代数群の用語では、 LはPのレヴィ因子である。）

コンパクト型の任意のエルミート対称空間は単連結であり、中心Tを持つ最大ランクのH _iとK _iを持つ既約エルミート対称空間H _i / K _iの直積として表すことができる。したがって、既約のものは、ボレル-ド・ジーベンタール理論によって分類された非半単純なケースと正確に一致する。^{[ 2 ]}

したがって、既約コンパクトエルミート対称空間H / Kは次のように分類される。

コンパクトリーマン対称空間の分類に関して言えば、エルミート対称空間は、p = 2 またはq = 2 の 4 つの無限級数 AIII、DIII、CI および BDI であり、2 つの例外空間、すなわち EIII および EVII がある。

コンパクト型の既約エルミート対称空間はすべて単連結です。単連結単純コンパクトリー群の対応する対称性σは内部対称であり、周期2のZ ( K )/ Z ( H )の唯一の要素Sによる共役によって与えられます。上記の表にあるように、古典群の場合、これらの対称性は次のようになります。^{[ 10 ]}

• AIII:${\displaystyle S={\begin{pmatrix}-\alpha I_{p}&0\\0&\alpha I_{q}\end{pmatrix}}}$S(U( p )×U( q ))において、α ^{p + q} =(−1) ^pである。
• DIII: S = iI in U( n ) ⊂ SO(2 n ); この選択は以下と同等です${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}}$。
• CI: S = iI in U( n ) ⊂ Sp( n ) = Sp( n , C ) ∩ U(2 n ); この選択はJ _nと同等です。
• BDI:${\displaystyle S={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}}$SO( p )×SO(2)において。

これらの古典的なケースでは、最大放物型部分群Pを明示的に記述できます。AIII の場合

${\displaystyle \displaystyle {P(p,q)={\begin{pmatrix}A_{pp}&B_{pq}\\0&D_{qq}\end{pmatrix}}}}$

SL( p + q , C )において、 P ( p , q ) はC ^{p + q}における次元pの部分空間の安定化群である。

他のグループは対合の不動点として現れる。Jを、反対角に 1、それ以外に 0 を持つn × n行列とし、

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

すると Sp( n , C ) はSL(2 n , C )の対合 θ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ^{−1の不動点部分群になります。 SO(} n , C ) はSL( n , C ) の ψ( g ) = B ( g ^t ) ⁻¹ B ⁻¹の不動点として実現できます。ここで B = J です。 これらの対合は、DIII および CI の場合に P ( n , n )を、 BDI の場合に P ( p ,2) を不変に保ちます。対応する放物型部分群Pは、不動点を取ることによって得られます。 コンパクト群H はG / Pに推移的に作用し、 G / P = H / Kとなります。

一般に対称空間と同様に、各コンパクトエルミート対称空間H / Kは、複素リー群Gの閉じた実リー部分群H ^*でH を置き換えることによって得られる非コンパクト双対H ^* / Kを持ち、リー代数は

${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {g}}.}$

H / KからG / Pへの自然な写像は同型写像であるのに対し、H ^* / KからG / Pへの自然な写像は開集合への包含写像にすぎない。この包含写像は、アルマン・ボレルにちなんでボレル埋め込みと呼ばれる。実際、P ∩ H = K = P ∩ H *である。HとH *の像は同じ次元を持つため開集合である。H の像はコンパクトであるため閉集合であり、したがってH / K = G / Pとなる。^{[ 11 ]}

複素線形群Gにおける極分解は、カルタン分解H * = K ⋅ expを意味する。${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$H *において。 ^{[ 12 ]}

さらに、最大アーベル部分代数が与えられた場合${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$t において、A = exp ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$は、 A上でσ( a ) = a ⁻¹となるようなトーラス部分群であり、そのような 2 つの${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$はKの要素によって共役である。同様のことが にも当てはまる。${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}=i{\mathfrak {a}}}$さらに、A * = expの場合${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}}$、 それから

${\displaystyle \displaystyle {H^{*}=KA^{*}K.}}$

これらの結果は、任意のリーマン対称空間とその双対空間におけるカルタン分解の特殊な場合である。同次空間の原点から発する測地線は、生成元を持つ1パラメータ群と同一視できる。 ${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$または${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$同様の結果はコンパクトな場合にも成り立つ：H = K ⋅ exp${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$そしてH = KAK。^{[ 8 ]}

全測地部分空間Aの性質は直接示すことができる。A は閉じている。なぜなら、 Aの閉包はσ( a ) = a ⁻¹を満たすトーラル部分群であり、そのリー代数は にあるからである。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$したがって、${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$最大性により。Aは単一の要素 exp Xによって位相的に生成できるため、 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$Xの中心化器は${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$任意の元素のK軌道において${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$(X,Ad k Y) がk = 1で最小となるような要素Yが存在する。k = exp tTと設定し、 Tは${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$したがって、( X ,[ T , Y ]) = 0となり、したがって [ X , Y ] = 0 となるので、Y はに含まれる必要がある。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$。 したがって${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$は共役の和集合である${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$特に、Xの共役は、他の選択肢の中に含まれています。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$、これはその共役を中央に置きます。したがって、最大性により、可能性は の共役のみです。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$[ ^{13 ]​}

分解

${\displaystyle \displaystyle {H=KAK,\,\,\,H=K\cdot \exp {\mathfrak {m}}}}$

これは、コンパクト変換群のスライス定理をKのH / Kへの作用に適用することで直接証明できる。^{[ 14 ]}実際、空間H / K は以下と同一視できる。

${\displaystyle \displaystyle {M=\{\sigma (g)g^{-1}:g\in H\},}}$

Hの閉部分多様体であり、カルタン分解は、MがKのkに対するkAk ⁻¹の和集合であることを示すことで得られます。この和集合はK × Aの連続像であるため、コンパクトかつ連結です。したがって、和集合がMにおいて開集合であることを示せば十分であり、そのためには、 Aの各a がこの和集合において開近傍を持つことを示すだけで十分です。ここで、0 における導関数を計算すると、和集合は 1 の開近傍を含みます。a が中心である場合、和集合はaによる乗算に対して不変であるため、 aの開近傍を含みます。a が中心でない場合、 a = b 2 と書きます( bは^Aの要素) 。すると、τ = Ad b − Ad b ⁻¹は、上の歪随伴作用素になります。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$σ と反交換関係にあり、これはZ ₂グレーディング演算子 σとみなすことができる。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$オイラー・ポアンカレ特性の議論により、超次元は${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$τの核の超次元と一致する。言い換えれば、

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}_{a}=\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}_{a},}}$

どこ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$Ad aによって固定された部分空間は です。 の直交補空間を とします。 ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$で${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$なれ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$導関数を計算すると、Ad e ^X ( a e ^Y )が成り立つ。ここでXは${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$そしてYは${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$は、和集合内のaの開いた近傍です。ここで、項a ∈ ^Yは、中心aの議論により和集合内に存在します。実際、a は、σ の下で不変であり、 Aを含むaの中心化子の恒等成分の中心にあります。

次元${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$これはエルミート対称空間のランクと呼ばれます。

エルミート対称空間の場合、Harish-Chandra は、${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$この選択は${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$は、リー代数を持つK内のHの最大トーラスT を取ることによって決定されます。${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$対称性 σ はHの中心にあるTの要素によって実現されるため、ルート空間は${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$で ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$σ によって不変に保たれる。σ は、に含まれるものに対して恒等式として作用する。${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$そして、${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$。

根の空間を持つ根${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$コンパクト根 と呼ばれるものと、根の空間が${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$これらは非コンパクト根と呼ばれます。（この用語は非コンパクト型の対称空間に由来します。）Hが単純な場合、 Kの中心の生成元Zを使用して、α( Z )の符号に従って正の根の集合を定義できます。この根の選択により、 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$ルート空間の直和${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$正および負の非コンパクト根αについて。根ベクトルEα_は次のように選択できます。

${\displaystyle \displaystyle {X_{\alpha }=E_{\alpha }+E_{-\alpha },\,\,\,Y_{\alpha }=i(E_{\alpha }-E_{-\alpha })}}$

寝そべる${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$単純根 α ₁、 ...、 α _{nは分解不可能な正の根です。これらは、 α i が}中心でゼロになるように番号付けできます。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$iの場合、α _{1 は}そうではない。したがって、α ₁は唯一の非コンパクト単純根であり、他の単純根はコンパクトである。任意の正の非コンパクト根は、β = α ₁ + c ₂ α ₂ + ⋅⋅⋅ + c _n α _nの形になり、係数c _iは非負である。これらの係数は、正の根の辞書式順序につながる。α ₁の係数は常に 1 である。${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$Kに対して既約であるため、単純コンパクト根 α に対して降下演算子E _{–αを順次適用することによって得られるベクトルによって張られる。}

2 つの根 α と β は、±α ±β が根でもゼロでもない場合に強直交であると言われ、α ≐ β と表記されます。最大の正の根 ψ ₁は非コンパクトです。ψ _{2 を、ψ 1}に強直交する最大の非コンパクト正の根とします(辞書式順序の場合)。次に、この手順を続けて、ψ _{i + 1を ψ 1}に強直交する最大の非コンパクト正の根とします。...、ψ _iまでこの手順を続けます。対応するベクトルは

${\displaystyle \displaystyle {X_{i}=E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}}}$

寝そべる${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$そして強い直交性によって通勤する。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$は、Harish-Chandra の標準的な最大アーベル部分代数である。^{[ 15 ]} (杉浦が後に示したように、Tを固定すると、 Kの Weyl 群の要素を適用することを除いて、強直交根の集合は一意に決定される。^{[ 16 ]} )

最大性は、次のことを示すことで確認できます。

${\displaystyle \displaystyle {[\sum c_{\alpha }E_{\alpha }+{\overline {c_{\alpha }}}E_{-\alpha },E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}]=0}}$

すべてのiに対して、ψ _jとは異なるすべての正の非コンパクト根 α に対してc _α = 0 となります。これは、 c _{α ≠ 0 の場合、α が ψ 1}、 ψ ₂ 、 ...と強く直交し、矛盾が生じることを帰納的に示すことによって導かれます。実際、上記の関係は、ψ _i + α が根になり得ないこと、そして ψ _{i – α が根である場合、必然的に β – ψ i}の形になることを示しています。ψ _{i – α が負の場合、α は ψ i}よりも高い正の根となり、 j < iのψ _jと強く直交しますが、これは不可能です。同様に、β – ψ _{i が}正の場合も同様です。

ハリシュ・チャンドラの正統的な選択${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$これは、 H */ KおよびH / Kにおける多円盤と多球の定理につながる。この結果により、幾何学は SL(2, C )、SU(1,1) および SU(2) を含む典型的な例の積、すなわちリーマン球面内の単位円盤に還元される。

H = SU(2)の場合、対称性 σ は、要素が ± iである対角行列による共役によって与えられ、

${\displaystyle \displaystyle {\sigma {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &-\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}}$

固定点部分群は最大トーラスTであり、対角行列の要素はe ^{± it}である。SU(2) はリーマン球面に作用する。${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$メビウス変換によって推移的に作用し、Tは 0 の安定化群である。SU (2) の複素化であるSL(2, C ) もメビウス変換によって作用し、0 の安定化群は下三角行列の部分群Bである。非コンパクト部分群 SU(1,1) は、正確に 3 つの軌道、すなわち開いた単位円盤 | z | < 1、単位円z = 1、およびその外部 | z | > 1 で作用する。したがって

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {SU} (1,1)/\mathbf {T} =\{z:|z|<1\}\,\,\,\subset \,\,\,B_{+}/\mathbf {T} _{\mathbb {C} }=\mathbb {C} \,\,\,\subset \,\,\,\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )/B=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}}$

ここで、B ₊ とT _{C は}SL(2, C )における上三角行列と対角行列の部分群を表す。中間項は上一角行列による 0 の軌道である。

${\displaystyle \displaystyle {{\begin{pmatrix}1&z\\0&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&z\\0&0\end{pmatrix}}.}}$

さて、各ルート ψ _iに対して、対称性と両立するSU(2) のπ _iからHへの準同型が存在します。これは SL(2, C )からGへの準同型に一意的に拡張されます。異なる ψ _iのリー代数の像は、強直交であるため可換です。したがって、対称性と両立する直積 SU(2) ^rからHへの準同型 π が存在します。これは SL(2, C ) ^rからGへの準同型に拡張されます。π の核は、対称性によって点ごとに固定されるSU(2) r の^中心(±1) ^rに含まれています。したがって、π による中心の像はKにあります。したがって、多球面 (SU(2)/T) ^rのH / K = G / Pへの埋め込みがあり、多球面は多円盤 (SU(1,1)/T) ^rを含みます。多球面と多円盤は、リーマン球面と単位円盤のr個のコピーの直積です。SU(2) と SU(1,1) のカルタン分解により、多球面はH / KにおけるT _r Aの軌道であり、多円盤はT _r A *の軌道です。ここで、 T _r = π( T ^r ) ⊆ Kです。一方、H = KAKおよびH * = K A * K です。

したがって、コンパクトエルミート対称空間H / Kのすべての要素は、多球面内の点のK軌道内にあり、非コンパクトエルミート対称空間H * / Kのボレル埋め込みによる像のすべての要素は、多円盤内の点のK軌道内にある。 ^{[ 17 ]}

H * / Kは、非コンパクト型のエルミート対称空間であり、${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$H / Kの双正則な稠密な開部分集合 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$対応するドメインは${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$は有界である。これは、Harish-Chandraにちなんで名付けられたHarish-Chandra 埋め込みである。

実際、ハリシュ・チャンドラは空間の以下の特性を示した。${\displaystyle \mathbf {X} =\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot K_{\mathbb {C} }\cdot \exp({\mathfrak {m}}_{-})=\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot P}$:

1. 空間としてのXは、 3つの要素の直接積である。
2. XはGにおいて開いている。
3. XはGにおいて稠密である。
4. XにはH *が含まれる。
5. X / PにおけるH * / Kの閉包=${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$コンパクトです。

実際には${\displaystyle M_{\pm }=\exp {\mathfrak {m}}_{\pm }}$はK _Cで正規化された複素アーベル群である。さらに、${\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{+},{\mathfrak {m}}_{-}]\subset {\mathfrak {k}}_{\mathfrak {C}}}$以来${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {k}}}$。

これはP ∩ M ₊ = {1} を意味します。なぜなら、x = e ^Xの場合、 Xは ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$Pに含まれるので、M ₋を正規化する必要があります。${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$しかし、Yが ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$、 それから

${\displaystyle \displaystyle {Y=\mathrm {Ad} (X)\cdot Y=Y+[X,Y]+{1 \over 2}[X,[X,Y]]\in {\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}_{-},}}$

X は以下と可換である${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$しかし、X がすべての非コンパクト根空間と可換であれば、それは 0 でなければならないので、x = 1 となります。したがって、 M ₊ × P上の乗法写像 μ は単射であるため、(1) が成り立ちます。同様に、( x , p )における μ の導関数は次のようになります。

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(X,Y)=\mathrm {Ad} (p^{-1})X+Y=\mathrm {Ad} (p^{-1})(X\oplus \mathrm {Ad} (p)Y),}}$

これは単射なので、（2）が成り立つ。特別な場合H = SU(2)、H * = SU(1,1) およびG = SL(2, C ) については、残りの主張はリーマン球面Cおよび単位円盤との同一視の結果である。これらは各根 ψ _iに対して定義された群に適用できる。多球面および多円盤定理により、 H */ K、X / PおよびH / Kは多円盤C ^rおよび多球面のK平行移動の和集合である。したがって、 H * はXに含まれ、 H */ Kの閉包はX / Pでコンパクトであり、X / P はH / Kで稠密である。

なお、（2）と（3）は、 G / PにおけるXの像が、 Gのガウス分解における大きなセルB ₊ Bの像であるという事実の結果でもある。^{[ 18 ]}

ヘルマンは、 対称空間H / KおよびH */ Kの制限されたルートシステムに関する結果を用いて、 H */ Kの像が${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$は一般化された単位円盤である。実際には、ad Im Xの作用素ノルムが1 未満となるXの凸集合である。 ^{[ 19 ]}

複素ベクトル空間における有界領域Ωは、 Ω内のすべてのxに対して、 xが孤立不動点となるようなΩの対合的双正則写像σx_が存在する場合、有界対称領域と呼ばれる。Harish-Chandra埋め込みは、非コンパクト型H */ Kのすべてのエルミート対称空間を有界対称領域として示す。H * / Kの双正則群は、^{その等長変換群}H ^*に等しい。

逆に、すべての有界対称領域はこのようにして生じる。実際、有界対称領域Ωが与えられると、ベルグマン核はΩ上の計量、ベルグマン計量を定義し、そのすべての双正則写像は等長写像となる。これにより、Ωは非コンパクト型のエルミート対称空間として実現される。^{[ 20 ]}

既約な有界対称領域はカルタン領域と呼ばれ、以下のように分類される。

古典的なケース（I～IV）では、非コンパクト群は2×2ブロック行列によって実現できる^{[ 21 ]}

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}}$

一般化されたメビウス変換によって作用する

${\displaystyle \displaystyle {g(Z)=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}.}}$

多円盤定理は、古典的なケースでは次の具体的な形をとる。^{[ 22 ]}

• タイプ I _pq ( p ≤ q ): 任意のp × q行列Mに対して、 UMVが対角行列となるようなユニタリ行列が存在する。実際、これはp × p行列の極分解から導かれる。
• タイプ III _n : すべての複素対称n × n行列Mに対して、 UMU ^tが対角となるようなユニタリ行列Uが存在する。これは、シーゲルの古典的な議論によって証明される。Vをユニタリ行列にして、 V * M * MV が対角となるようにする。すると、V ^t MVは対称行列であり、その実部と虚部は可換である。これらは実対称行列であるため、実直交行列Wによって同時に対角化できる。したがって、U = WV ^tであればUMU ^tは対角となる。
• タイプII _n：すべての複素歪対称n × n行列Mに対して、対角ブロックで構成されるユニタリ行列UMU ^{tが存在する。}${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$nが奇数の場合はゼロが1つ存在する。シーゲルの議論と同様に、これはMの実部と虚部が可換な場合に帰着させることができる。任意の実数歪対称行列は直交行列によって与えられた標準形に還元でき、可換行列の場合は同時にこの操作を行うことができる。
• タイプ IV _n : SO( n ) × SO(2)の変換により、任意のベクトルを変換して、最初の 2 つの座標を除くすべての座標が非ゼロになるようにすることができます。

非コンパクト群H * は、有限個の軌道のみを持つ複素エルミート対称空間H / K = G / Pに作用します。軌道構造はWolf (1972)で詳細に説明されています。特に、有界領域H */ Kの閉包は、領域のShilov 境界である一意の閉軌道を持ちます。一般に、軌道はより低次元のエルミート対称空間の和集合です。領域の複素関数論、特にCauchy 積分公式の類似物は、 Hua (1979)で Cartan 領域について説明されています。有界領域の閉包は、H */ KのBaily–Borel コンパクト化です。^{[ 23 ]}

境界構造はケイリー変換を用いて記述できる。非コンパクト根 ψ _iのいずれかで定義される SU(2) の各コピーに対して、単位円盤を上半平面に写像するメビウス変換であるケイリー変換c _iが存在する。強直交族 ψ ₁ , ..., ψ _rのインデックスの部分集合Iが与えられたとき、部分ケイリー変換c _{I は}、群 π _iの積におけるiがIに含まれるc _iの積として定義される。G ( I )をGにおけるこの積の中心化とし、H *( I ) = H * ∩ G ( I ) とする。σ はH *( I ) を不変に保つので、対応するエルミート対称空間M _I H *( I )/ H *( I )∩ K ⊂ H */ K = Mが存在する。部分集合Iの境界成分は、c _I M _IのK変換の和集合です。Iがすべてのインデックスの集合である場合、M I_は単一の点であり、境界成分は Shilov 境界です。さらに、M _IがM _Jの閉包に含まれるのは、 I ⊇ Jの場合のみです。^{[ 24 ]}