オイラー演算子（デジタル幾何学）

ソリッドモデリングとコンピュータ支援設計において、オイラー演算子は接続グラフを変更して、メッシュのトポロジーを維持しながらメッシュの詳細を追加または削除します。これらは、オイラー・ポアンカレ特性にちなんで、 Baumgart ^[1]によって命名されました。彼は、有用なメッシュを作成するのに十分な演算子のセットを選択しましたが、一部の演算子は情報を失うため、逆変換できません。

固体オブジェクトの境界表現、つまりその表面は、頂点、エッジ、面のポリゴン メッシュです。そのトポロジは、面間の接続のグラフによって表現されます。特定のメッシュには、実際には複数の接続されていないシェル (またはボディ) が含まれている場合があります。各ボディは、エッジ ループ境界によって定義される複数の接続されたコンポーネントに分割される場合があります。中空のオブジェクトを表現するには、内側と外側の表面を別々のシェルにします。

頂点の数をV、辺の数をE、面の数をF、成分の数をH、シェルの数をSとし、種数をGとする（SとG はそれぞれb ₀とb _{2 の} ベッティ数に対応する）。すると、意味のある幾何学的オブジェクトを表すために、メッシュは一般化されたオイラー・ポアンカレの公式を満たす必要がある。

V – E + F = H + 2 * ( S – G )

オイラー演算子はこの特性を保持します。Eastman の論文では、次の基本演算子と、さまざまな項に対するその効果を列挙しています。

オイラー演算子は、メッシュのグラフを変更し、単純なルールに従って面、エッジ、頂点を作成または削除しながら、全体的なトポロジを維持し、有効な境界を維持します (つまり、穴を開けません)。演算子自体は、位置、勾配、UV テクスチャ座標などの幾何学的またはグラフィック属性が新しいグラフにどのようにマップされるかを定義しません。これらは特定の実装によって異なります。

• 境界表現
• AML710 コンピュータ支援設計の講義 31 – インド工科大学デリー校の S. ヘグデ博士 [1]

• （ウィングドエッジ#外部リンクも参照）
• Eastman, Charles M. および Weiler, Kevin J.、「オイラー演算子を使用した幾何学的モデリング」(1979)。コンピュータ サイエンス部門。論文 1587。http://repository.cmu.edu/compsci/1587。残念ながら、この論文はタイプミスだらけ (OCR 処理済み?) で、非常に読みにくい場合があります。
• NTUのソリッドモデリング コースからの、より読みやすい参考資料^{[ permanent dead link ‍ ]}。
• 用語の定義が少し異なる別の参考資料。
• Sven Havemann、ジェネレーティブメッシュモデリング^{[ permanent dead link ‍ ]}、博士論文、ブラウンシュヴァイク大学、ドイツ、2005 年。
• Martti Mäntylä、『ソリッド モデリングの概要』、Computer Science Press、メリーランド州ロックビル、1988 年。ISBN 0-88175-108-1 。