スチューデントのt分布

スチューデントのt 分布の確率密度関数（PDF） は次のように表される。$${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$$ どこ${\displaystyle \nu }$は自由度数であり、${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数です。これは次のように書くこともできます。 $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} {\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},}$$ どこ${\displaystyle \mathrm {B} }$はベータ関数である。特に、正の整数値の自由度ν > 1に対しては、次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &\in \mathbb {N} \geq 2\\k&={\begin{cases}2,&\nu {\text{ even}}\\\pi ,&\nu {\text{ odd}}\\\end{cases}}\\{\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}&={\frac {(\nu -1)!!}{k{\sqrt {\nu }}(\nu -2)!!}}\\\end{aligned}}}$$

確率密度関数は対称であり、その全体的な形状は平均0、分散1の正規分布変数のベル型に似ていますが、やや低く幅広くなっています。自由度が増加するにつれて、t 分布は平均0、分散1の正規分布に近づきます。このため、${\displaystyle {\nu }}$正規性パラメータとも呼ばれる。^{[ 2 ]}

以下の画像は、 t分布の密度を 、t の値が増加するにつれて示しています。${\displaystyle \nu .}$比較のために正規分布を青線で示しています。t分布（ 赤線）は、${\displaystyle \nu }$増加する。

自由度1、2、3、5、10、30におけるt分布の密度（赤）を、標準正規分布（青）と比較した図。以前のプロットは緑で示されている。 

1自由度

2つの自由度

3つの自由度

5つの自由度

10自由度

30の自由度

累積分布関数(CDF)は、正則化された 不完全ベータ関数Iを用いて記述できます。t > 0の場合、

$${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}{\left({\frac {\nu }{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)},}$$

どこ

$${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}\,.}$$

対称性により他の値が得られます。次の式が有効です。${\displaystyle t^{2}<\nu \,,}$は

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma \!\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\;{}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};\,{\frac {3}{2}};\,-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right),}$$

どこ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\ ,\$ ;\  ;\ )} は超幾何関数の特殊な例です。

その逆累積分布関数については、分位関数§ スチューデントのt分布を参照してください。

特定の値${\displaystyle \ \nu \ }$スチューデントのt分布の簡単な形式を示してください。

のために${\displaystyle \nu >1}$t分布の生のモーメント は

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,,\\[2ex]{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left[\Gamma \!\left({\frac {k+1}{2}}\right)\,\Gamma \!\left({\frac {\nu -k}{2}}\right)\,\nu ^{\frac {k}{2}}\right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu \,.\end{cases}}}$$

秩序の瞬間${\displaystyle \ \nu \ }$またはそれ以上のものは存在しません。^{[ 3 ]}

用語${\displaystyle 0<k<\nu }$、kが偶数の場合、ガンマ関数の性質を使用して次のように簡略化できます。

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}=\nu ^{\frac {k}{2}}\,\prod _{j=1}^{k/2}{\frac {2j-1}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.}$$

t 分布の場合${\displaystyle \nu }$自由度の場合、期待値は${\displaystyle 0}$もし${\displaystyle \nu >1\,,}$そしてその分散は${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$もし${\displaystyle \nu >2\,.}$歪度が0になるのは${\displaystyle \nu >3}$そして、過剰尖度は${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}}$もし${\displaystyle \nu >4\,.}$

関数A ( t | ν )は、 t ≥ 0の場合の、-tからtまでのスチューデントの確率密度関数f ( t )の積分です。したがって、観測データから計算された値よりも小さいtの値が偶然に発生する確率を示します。そのため、関数A ( t | ν )は、2 つのデータセットの平均値の差が統計的に有意であるかどうかを検定する際に、対応するtの値と、2 つのデータセットが同じ母集団から抽出された場合にその値が発生する確率を計算することによって使用できます。これは、さまざまな状況、特にt検定で使用されます。自由度νの統計量tの場合、A ( t | ν )は、2つの平均値が同じである場合 (小さい方の平均値が大きい方の平均から引かれ、 t ≥ 0 となる場合) に、t が観測値よりも小さくなる確率です。これは、 t分布の累積分布関数F _ν ( t )から簡単に計算できます。   

$${\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

ここで、I _x ( a , b )は正則化された不完全ベータ関数です。

統計的仮説検定では、この関数を使用してp値を構築します。

• 非心t分布は、 t 分布に非心度パラメータを組み込んだ一般化分布です。非標準化t 分布とは異なり、非心分布は対称ではありません（中央値と最頻値は一致しません）。
• 離散スチューデントのt 分布は、 rにおける確率質量関数が次の式に比例することで定義されます。^{[ 10 ]}$${\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.}$$ここで、 a、b、kはパラメータです。この分布は、連続分布のピアソン分布と同様の離散分布のシステムの構築から生じます。^{[ 11 ]}
• 正規分布の変数とχ²分布の平方根の比率を取ることで、Student A ( t | ν ) のサンプルを生成できます。正規分布の代わりに、例えばIrwin–Hall分布を使用すると、全体として、正規分布、一様分布、三角分布、Student t分布、およびCauchy分布を含む対称な4パラメータ分布が得られます。これは、正規分布の他のいくつかの対称的な一般化よりも柔軟性があります。  
• t分布は比率分布 の一例です。
• t _n分布に従う確率変数の二乗は 、スネデカーの F 分布F _{1, n}に従って分布します。

スチューデントのt分布は、加法誤差 を伴うデータが観測される状況において、平均値などの未知のパラメータを推定することを目的とする、さまざまな統計的推定問題で用いられます。実際的な統計作業のほぼすべてにおいて、これらの誤差の母集団標準偏差が未知であり、データから推定する必要がある場合、t分布は、この推定によって生じる追加の不確実性を考慮するためによく用いられます。このような問題のほとんどにおいて、誤差の標準偏差が既知であれば、 t分布の代わりに正規分布が用いられます。  

信頼区間と仮説検定は、特定の統計量（例えば標準得点）の標本分布の分位数を必要とする2つの統計的手法です。この統計量がデータの線形関数であり、標準偏差の通常の推定値で割ったものである場合、得られた量をスチューデントのt分布に従うように再スケーリングおよび中心化することができます。平均値、加重平均、回帰係数を含む統計分析はすべて、この形式の統計量につながります。 

教科書の問題では、母集団の標準偏差が既知であるかのように扱われることが多く、それによってスチューデントのt 分布を使用する必要がなくなります。これらの問題は一般的に2種類あります。(1) サンプルサイズが非常に大きいため、分散のデータに基づく推定値を確実なものとして扱うことができる問題、(2) 数学的推論を説明する問題で、標準偏差の推定の問題は、著者や教師が説明しようとしているポイントではないため、一時的に無視される問題。

スチューデントのt 分布、特に3パラメータ（位置尺度）版は、正規分布との関連性から、ベイズ統計学において頻繁に登場します。正規分布に従う確率変数の分散が未知であり、その分散に対して逆ガンマ分布に従う共役事前分布が設定されている場合、結果として得られる変数の周辺分布はスチューデントのt分布に従います。同様の結果をもたらす同等の構成としては、分散に対する共役スケーリング逆カイ二乗分布、または精度に対する共役ガンマ分布があります。分散に対して⁠ 1 / σ ² ⁠に比例する不適切な事前分布が設定されている場合も、 t分布が現れます。これは、正規分布に従う変数の平均が既知であるか、共役正規分布に従う事前分布に従って未知に分布しているか、または不適切な定数事前分布に従って未知に分布しているかに関係なく当てはまります。  

t 分布を生み出す関連状況は以下のとおりです。

• 正規分布に従う変数の未知の平均値の周辺事後分布。ただし、事前平均と分散は上記モデルに従う。
• 一連の独立した同一分布の正規分布データ点が観測された場合における、新しい正規分布データ点の事前予測分布と事後予測分布。事前平均と分散は上記のモデルと同様。

t分布 は、正規分布で許容されるよりも裾が重いデータの場合、正規分布の代替としてよく使用されます。たとえば、Lange et al. ^{[ 13 ]}を参照してください。従来のアプローチは、外れ値を特定し（たとえば、Grubbsの検定を使用）、何らかの方法でそれらを除外または重みを下げることでした。しかし、外れ値を特定することは必ずしも容易ではなく（特に高次元の場合）、t分布はそのようなデータの自然なモデルの選択であり、頑健な統計 に対するパラメトリックなアプローチを提供します。

^{ベイズ的な説明は Gelman ら[ 14 ]}に見られます。自由度パラメータは分布の尖度を制御し、尺度パラメータと相関があります。尤度には複数の局所最大値が存在する可能性があり、そのため、自由度をかなり低い値に固定し、これを所与として他のパラメータを推定する必要がある場合がよくあります。一部の著者は、3 ～ 9 の値がしばしば良い選択肢であると報告しています。Venables と Ripley は、5 の値がしばしば良い選択肢であると示唆しています。

実用的な回帰と予測のニーズのために、関数のスチューデントt分布の一般化であるスチューデントtプロセスが導入されました。スチューデントtプロセスは、ガウス過程がガウス分布から構築されるのと同様に、スチューデントt分布から構築されます。ガウス過程の場合、すべての値の集合は多次元ガウス分布を持ちます。同様に、    ${\displaystyle X(t)}$区間上のスチューデントt過程である ${\displaystyle I=[a,b]}$プロセスの対応する値が${\displaystyle \ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\ }$（${\displaystyle t_{i}\in I}$) は、多変量スチューデントt 分布を併せ持つ。^{[ 15 ]}これらのプロセスは、回帰、予測、ベイズ最適化、および関連する問題に使用される。多変量回帰および多出力予測には、多変量スチューデントt プロセスが導入され、使用される。^{[ 16 ]}

以下の表は、片側または両側のさまざまな臨界領域における自由度νのt 分布の値を示しています。最初の列はν、上部のパーセンテージは信頼水準です。${\displaystyle \ \alpha \ ,}$表本体の数字は${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$信頼区間のセクションで説明されている要因。

νが無限大となる最後の行は、正規分布の臨界点を示しています。なぜなら、自由度が無限大のt 分布は正規分布だからです。（上記の「関連分布」を参照）。

信頼区間の計算

 サンプルサイズが11、サンプル平均が 10、サンプル分散が2 のサンプルがあるとします。自由度 10 で 90% の信頼度の場合、表から得られる 片側t値は 1.372 です。次に、信頼区間は次のように計算されます。  

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\,{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\,,}$$

90%の信頼度で、真の平均値が以下にあると判断します。

$${\displaystyle 10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585\,.}$$

言い換えれば、この方法で特定のサンプルから上限値が算出された場合、90%の確率でこの上限値は真の平均値を超える。

そして、90%の信頼度で、真の平均値は上方にある

$${\displaystyle \ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.}$$

言い換えれば、この方法で特定のサンプルから下限値が算出された場合、90%の確率でその下限値は真の平均値を下回る。

つまり、80%の信頼度（100%  −  2  ×  (1  −  90%) = 80%で計算）で、真の平均値は区間内に含まれるということになります。

$${\displaystyle \left(10-1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},\,10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,\,10.585)\,.}$$

与えられたサンプルからこの方法で上限値と下限値を計算した場合、80%の確率で真の平均値が上限値より低く、かつ下限値より高くなると言うことは、この方法で計算された特定の上限値と下限値の間に真の平均値が存在する確率が80%であると言うこととは異なります。信頼区間と検察官の誤謬を参照してください。

今日では、 Rプログラミング言語などの統計ソフトウェアや、多くの表計算ソフトで利用できる関数によって、表を使わずにt分布とその逆分布の値を計算できる 。

スチューデントのt 分布からランダムサンプルを構築するにはさまざまなアプローチがあります。問題は、サンプルが単独で必要とされるか、または、例えばコピュラ依存性の多次元アプリケーションのように、均一サンプルに分位関数を適用して構築されるかによって異なります。単独サンプリングの場合、Box–Muller 法の拡張とその極形式が容易に適用できます。^{[ 17 ]}この方法は、すべての実数の正の自由度νに等しく適用できるという利点がありますが、他の多くの候補方法はνがゼロに近い場合に失敗します。^{[ 17 ]}