デデキント領域

数学 において、リチャード・デデキントにちなんで名付けられたデデキント領域またはデデキント環は、すべての非零の真イデアルが素イデアルの積に因数分解されるような整域である。このような因数分解は、因数の位数を除いて必ず一意であることが示される。デデキント領域には、定義として用いられることもある他の少なくとも3つの特徴付けが存在する（下記参照）。

体とは、非自明な真イデアルが存在しない可換環のことである。したがって、どの体もデデキント整域となるが、それはやや空虚な定義である。一部の著者は、デデキント整域は体であってはならないという条件を付け加えている。さらに多くの著者は、デデキント整域に関する定理を述べる際に、体の場合には自明な修正が必要になる可能性があるという暗黙の了解を付記している。

この定義から直ちに導かれる結論は、すべての主イデアル領域（PID）はデデキント領域であるということである。実際、デデキント領域は、それが主イデアル領域である場合に限り、一意分解領域（UFD）となる。

19世紀には、高次の代数的数の環を用いて多項式方程式の整数解を求める手法が一般的になった。例えば、正の整数を固定する。${\displaystyle m}$どの整数が二次形式で表されるかを決定する試みにおいて${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$二次形式を因数分解するのは自然です${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$二次体の整数環で行われる因数分解$\displaystyle \mathbb {Q} (\sqrt {-m}})}$同様に、正の整数の場合${\displaystyle n}$多項式​${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$（これはフェルマー方程式を解くのに関係がある）${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$) は環上で因数分解できる${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$、 どこ$\displaystyle \zeta _{n}}$は、1の原始的なn乗根です。

いくつかの小さな値の場合${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$これらの代数的整数環は PID であり、これはフェルマーの古典的な成功の説明と見なすことができる(${\displaystyle m=1,n=4}$）とオイラー（${\displaystyle m=2,3,n=3}$この時点で、与えられた二次体のすべての代数的整数の環が$\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$PID は二次形式理論家にはよく知られていた。特にガウスは虚二次体の場合を調べており、正確に9 つの値を見つけた。${\displaystyle D<0}$整数環が主イデアル整域であるような整数環が存在し、それ以上の値は存在しないと予想した。（ガウスの予想は100年以上後にクルト・ヘーグナー、アラン・ベイカー、ハロルド・スタークによって証明された。）しかし、これは（二次形式の同値類の言語でのみ）理解されていたため、特に二次形式とフェルマー方程式の類似性は認識されていなかったようである。1847年、ガブリエル・ラメはすべての整数に対するフェルマーの最終定理の解を発表した。${\displaystyle n>2}$つまり、フェルマー方程式は非ゼロ整数では解を持たないということだが、彼の解は円分環の仮定に基づいていることが判明した。${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$UFD です。 エルンスト・クンマーは、3年前にすでにそうではないことを示していました。${\displaystyle n=23}$（${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$（これは現在ではUFDとして知られている）。同時に、クンマーは、少なくとも多くの素数指数に対してフェルマーの最終定理を証明する強力な新しい方法を開発した。${\displaystyle n}$指輪が${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$これはデデキント領域である。実際、クンマーはイデアルではなく「イデアル数」を用いて研究しており、イデアルの現代的な定義はデデキントによって与えられた。

20世紀までに、代数学者や数論者は、主イデキント整域（PID）であるという条件はかなり微妙であるのに対し、デデキント整域であるという条件は非常に頑健であることを認識するようになった。例えば、通常の整数環はPIDであるが、上記のように、環は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$数体における代数的整数の${\displaystyle K}$PIDである必要はない。実際、ガウスは素数は無限に存在すると推測したが、${\displaystyle p}$整数環$\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$PID ですが、無限に多くの数体が存在するかどうかはまだわかっていません${\displaystyle K}$（任意の次数）${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$は主不確定性原理（PID）である。一方、数体における整数環は常にデデキント整域である。

繊細さと堅牢さという二分法のもう一つの例は、デデキント領域であることは、ネーター領域の中では局所的な性質であるという事実である。${\displaystyle R}$デデキントはあらゆる最大の理想に当てはまるかどうか${\displaystyle M}$の${\displaystyle R}$ローカライズ​${\displaystyle R_{M}}$はデデキント環です。しかし、局所領域がデデキント環であるのは、それが主格不等式（PID）である場合と離散評価環（DVR）である場合と同値であるため、同じ局所的な特徴付けはPIDには当てはまりません。むしろ、デデキント環の概念はDVRの概念のグローバル化であると言えるでしょう。

積分領域の場合${\displaystyle R}$それはフィールドではないので、以下の条件はすべて同等です: ^{[ 1 ]}

（DD1）ゼロでないすべての真のイデアルは素数に因数分解される。

(DD2)${\displaystyle R}$はネーター環であり、各極大イデアルにおける局所化は離散付値環である。

（DD3）すべての非ゼロ分数イデアル${\displaystyle R}$可逆である。

(DD4)${\displaystyle R}$は、クルル次元が 1 の整閉ネーター領域である（つまり、すべての非零素イデアルは極大である）。

（DD5）任意の2つのイデアルについて${\displaystyle I}$そして${\displaystyle J}$で${\displaystyle R}$、${\displaystyle I}$に含まれる${\displaystyle J}$かつその場合に限り${\displaystyle J}$ 分ける${\displaystyle I}$理想として。つまり、理想が存在する。${\displaystyle H}$そのため${\displaystyle I=JH}$この条件を満たす単位元を持つ可換環（必ずしも整域である必要はない）は、包含分割環（CDR）と呼ばれる。^{[ 2 ]}

したがって、デデキント整域とは、体であるか、(DD1)から(DD5)のいずれか1つ、つまり5つすべてを満たす整域である。これらの条件のうちどれを定義とするかは、単に好みの問題である。実際には、(DD4)を検証するのが最も簡単な場合が多い。

デデキント領域の任意のイデアルは、最大で2つの要素によって生成される。^{[ 3 ]} 実際、より強い条件は、デデキント領域の別の特徴付け、すなわち整域を与える。${\displaystyle R}$がデデキント領域であるのは、任意の非零イデアルに対して が成り立つ場合かつその場合に限る。${\displaystyle I\subset R}$非ゼロ${\displaystyle a\in I}$存在する${\displaystyle b\in I}$そのため${\displaystyle I=(a,b)}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

クルル領域は、デデキント領域の高次元版である。すなわち、体ではないデデキント領域は、次元1のクルル領域である。この概念は、デデキント領域の様々な特徴付けを研究するために利用できる。実際、これはブルバキの『可換代数』で用いられているデデキント領域の定義である。

デデキント整域はホモロジー代数の観点からも特徴づけることができる。整域がデデキント整域であるのは、それが遺伝環である場合、すなわち、その上の射影加群のすべての部分加群が射影加群である場合に限る。同様に、整域がデデキント整域であるのは、その上のすべての可除加群が単射である場合に限る。^{[ 6 ]}

すべての主イデアル領域、したがってすべての離散付値環はデデキント領域である。

指輪${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$数体Kの代数的整数の集合は、ネーター的であり、整閉であり、次元が 1 である。最後の性質を確認するには、Rの任意のゼロでない素イデアルIに対して、R / Iが有限集合であることに注目し、有限整域は体であることを思い出せばよい。したがって、(DD4) により、Rはデデキント整域である。上記と同様に、これには Kummer と Dedekind が検討したすべての例が含まれ、一般的な定義の動機となったケースであり、これらは最もよく研​​究されている例の中に残っている。

おそらく同等に重要なもう 1 つのデデキント環のクラスは、幾何学から来ています。Cを体k上の非特異な幾何学的に整なアフィン代数曲線とします。このとき、C上の正則関数の座標環k [ C ]はデデキント領域です。これは、幾何学用語を代数に翻訳するだけでほぼ明らかです。任意のアフィン多様体の座標環は、定義により有限生成k代数であり、したがってネーター環です。さらに、曲線は次元が1 であることを意味し、非特異とは (次元が 1 の場合)正規であることを意味し、これは定義により整閉であることを意味します。

これら二つの構成は、以下の基本結果の特殊な場合とみなすことができる。

定理：R を分数体Kを持つデデキント整域とする。LをKの有限次数体拡大とし、SをLにおけるRの整閉包とする。このとき、Sはそれ自体デデキント整域である。^{[ 7 ]}

Rが主イデアルドリフト (PID) である場合にこの定理を適用すると、PIDからデデキント領域を構築する方法が得られます。R = Zとすると、この構成は、数体の整数環がデデキント領域であることを正確に示しています。R = k [ t ] とすると、上記の非特異アフィン曲線がアフィン直線の分岐被覆として得られるケースが得られます。

ザリスキーとサミュエルはこの構成に非常に感銘を受け、すべてのデデキント領域がそこから生じるのか、つまり、主イデキント領域から始めて有限次数体拡大における積分閉包を取ることによって生じるのかを問いかけた。^{[ 8 ]} 驚くほど単純な否定的な答えがL.クラボーンによって与えられた。^{[ 9 ]}

状況が上記と同じであっても、Kの拡大Lが無限次数の代数的拡大である場合、LにおけるRの整閉包Sがデデキント整域となる可能性は依然としてあるが、保証されるわけではない。例えば、再びR = Z、K = Qとし、今度はLを体とする。${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$すべての代数的数の。その場合、整閉包は環である。${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$すべての代数的整数の平方根は再び代数的整数であるため、ゼロでない非単位代数的整数を既約要素の有限積に因数分解することは不可能であり、これは次のことを意味する。${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ネーター環ですらない。一般に、無限代数拡大におけるデデキント環の整閉包はプリューファー環である。代数的整数環はこれよりも少し特殊で、ベズー環であることが判明している。

R を分数体Kを持つ整域とする。分数イデアルとは、 Kの非零R部分加群Iであって、 Kの非零x が存在し、${\displaystyle xI\subset R.}$

2 つの分数イデアルIとJが与えられたとき、それらの積IJ をすべての有限和の集合として定義する。${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$: 積IJは再び分数イデアルになります。上記の積を備えたすべての分数イデアルの集合 Frac( R ) は可換半群であり、実際にはモノイドです。単位元は分数イデアルRです。

任意の分数イデアルIに対して、分数イデアルを定義することができる。

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

するとトートロジー的に${\displaystyle I^{*}I\subset R}$実際、等号が成立するのは、Frac( R )のモノイドの要素であるIが可逆である場合に限る。言い換えれば、I に逆元が存在する場合、その逆元は でなければならない。${\displaystyle I^{*}}$。

主分数イデアルは次の形式のものです。${\displaystyle xR}$Kの非ゼロのxに対して。各主分数イデアルは可逆であり、その逆は${\displaystyle xR}$単に$\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$主分数イデアルの部分群をPrin( R )と表記します。

領域Rが PID であるのは、すべての分数イデアルが主イデアルである場合に限る。この場合、Frac( R ) = Prin( R ) =$${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$$2 つの主要な分数イデアル${\displaystyle xR}$そして${\displaystyle yR}$等しいのは、${\displaystyle xy^{-1}}$Rにおける単位です。

一般的な定義域Rに対して、すべての分数イデアルのモノイド Frac( R ) を主分数イデアルのサブモノイド Prin( R ) で割った商を取ることは意味があります。しかし、この商自体は一般にモノイドにすぎません。実際、Frac( R )/Prin( R ) における分数イデアル I のクラスが可逆であるのは、I 自体が可逆である場合のみであることが容易にわかります。

ここで、(DD3) を理解できます。デデキント領域では (そしてデデキント領域でのみ) すべての分数イデアルは可逆です。したがって、これらはまさに Frac( R )/Prin( R ) が群を形成する領域のクラスであり、Rのイデアルクラス群Cl( R ) です。この群は、 Rが PID である場合に限り自明であるため、一般的なデデキント領域が PID であることの障害を定量化するものと考えることができます。

任意の領域に対して、ピカール群Pic( R ) を、主分数イデアルの部分群を法とする可逆分数イデアル群 Inv( R ) として定義することができる。デデキント領域の場合、これはもちろんイデアル類群と同じである。しかし、ネーター領域やクルル領域を含むより一般的な領域のクラスでは、イデアル類群は異なる方法で構成され、正準準同型が存在する。

Pic( R ) → Cl( R )

しかしながら、これは一般に単射でも全射でもない。これは、特異代数多様体上のカルティエ因子とワイル因子の区別に対応するアフィン変換上の類似物である。

L. Claborn の定理^{[ 10 ]}は、任意のアーベル群Gに対して、そのイデアル類群がGと同型であるデデキント領域Rが存在すると主張している。後にCR Leedham-Green は、そのようなR は二次体拡大における PID の整閉包として構成できることを示した。^{[ 11 ]} 1976 年、M. Rosen は、任意の可算アーベル群を楕円曲線の有理関数 体の部分環であるデデキント領域の類群として実現する方法を示し、そのような「楕円」構成は一般のアーベル群に対しても可能であるはずだと予想した。^{[ 12 ]} Rosen の予想は 2008 年に PL Clark によって証明された。^{[ 13 ]}

対照的に、代数的整数論の基本定理の一つは、数体の整数環の類群は有限であると主張している。その濃度は類数と呼ばれる。

主イデアル領域（PID）上の有限生成加群に関するよく知られた非常に有用な構造定理を考慮すると、デデキント領域上の有限生成加群に対応する理論を求めるのは自然なことである。

有限生成加群の場合の構造理論を簡単に振り返ってみましょう。${\displaystyle M}$PID を介して${\displaystyle R}$ねじれ部分モジュールを定義します${\displaystyle T}$要素の集合である${\displaystyle m}$の${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle rm=0}$ゼロでないいくつかの${\displaystyle r}$で${\displaystyle R}$。 それから：

(M1)${\displaystyle T}$は、次の形式の周期的ねじれモジュールの直接和に分解できます。${\displaystyle R/I}$ある非ゼロのイデアルに対して${\displaystyle I}$の${\displaystyle R}$中国剰余定理により、各${\displaystyle R/I}$さらに、次の形式のサブモジュールの直和に分解することができる。${\displaystyle R/P^{i}}$、 どこ${\displaystyle P^{i}}$素イデアルのべき乗です。この分解は一意である必要はなく、任意の 2 つの分解が

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

異なるのは、要因の順序のみである。

（M2）ねじれ部分加群は直和因子である。すなわち、相補部分加群が存在する。${\displaystyle P}$の${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle M=T\oplus P}$。

(M3PID)${\displaystyle P}$同型${\displaystyle R^{n}}$一意に決定される非負整数に対して${\displaystyle n}$。 特に、${\displaystyle P}$は有限生成自由加群である。

さあ${\displaystyle M}$任意のデデキント領域上の有限生成加群である。${\displaystyle R}$すると、(M1)と(M2)はそのまま成り立つ。しかし、(M3PID)から、有限生成ねじれのないモジュールが${\displaystyle P}$PID 上では自由です。特に、すべての分数イデアルが主イデアルであると主張していますが、これは、次の場合に偽となります。${\displaystyle R}$PIDではない。言い換えれば、クラス群の非自明性${\displaystyle Cl(R)}$（M3PID）が失敗する原因となる。驚くべきことに、任意のデデキント領域上のねじれのない有限生成モジュールの追加構造は、これから説明するように、クラス群によって正確に制御される。任意のデデキント領域上では、

(M3DD)${\displaystyle P}$階数1の射影加群の直和と同型である。${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$さらに、任意のランク1射影加群に対して${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$1つは

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

かつその場合に限り

${\displaystyle r=s}$

そして

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

ランク1の射影加群は分数イデアルと同一視でき、最後の条件は次のように言い換えることができる。

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

したがって、ランクが有限生成のねじれのないモジュール${\displaystyle n>0}$次のように表現できます${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$、 どこ${\displaystyle I}$はランク 1 の射影加群です。${\displaystyle P}$以上${\displaystyle R}$クラスは${\displaystyle [I]}$の${\displaystyle I}$で${\displaystyle Cl(R)}$: それは一意に決定される。^{[ 14 ]} このことから、次のことが導かれる。

定理:${\displaystyle R}$デデキント領域である。${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$、 どこ${\displaystyle K_{0}(R)}$は、有限生成射影の可換モノイドのグロタンディーク群である。${\displaystyle R}$モジュール。

これらの結果は、1912年にエルンスト・シュタイニッツによって確立された。

この構造のもう一つの帰結として、前述の定理には明示されていないが、デデキント整域上の2つの射影加群がグロタンディーク群において同じ類を持つ場合、それらは実際には抽象的に同型であるということが挙げられる。

整数領域が存在する${\displaystyle R}$局所的だがグローバルではないデデキント：局所化${\displaystyle R}$各極大イデアルにはデデキント環（同等にDVR）があるが、${\displaystyle R}$それ自体はデデキント環ではない。前述のように、そのような環はネーター環にはなり得ない。このような環の最初の例は、1953年に中野信夫によって構築されたようだ。文献では、このような環は「真の準デデキント環」と呼ばれることもある。

• ダベンポート定数

• エドワーズ、ハロルド M. (1990)、除数理論、ボストン：ビルクハウザー出版、ISBN 0-8176-3448-7、Zbl 0689.12001 

• 「デデキント環」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]