構成シリーズ

抽象代数学において、合成級数は、群や加群などの代数構造を単純な部分に分解する方法を提供する。加群の文脈で合成級数を考慮する必要性は、自然界に存在する多くの加群が半単純ではないため、単純加群の直和に分解できないという事実から生じる。加群Mの合成級数とは、部分加群によるMの有限増加フィルターであり、連続する商が単純であり、 Mをその単純構成要素に直和分解する代わりとなる。

合成系列は存在しない場合もあり、存在する場合でも一意であるとは限りません。しかしながら、ジョルダン・ヘルダーの定理として知られる一連の結果は、合成系列が存在する場合には、単純要素の同型類（ただし、問題の合成系列における位置は必ずしも同型類ではない）とその重複度が一意に決定されると主張しています。したがって、合成系列は有限群やアルティン加群の不変量を定義するために使用できます。

関連するが、異なる概念として主級数がある。合成級数は最大劣正規級数であり、主級数は最大正規級数である。

群Gが正規部分群Nを持つ場合、因子群G / Nを形成でき、 Gの構造の研究のいくつかの側面は、 「より小さな」群G/NとNを研究することによって分解できる。GがGおよび自明群とは異なる正規部分群を持たない場合、 Gは単純群である。そうでない場合、 G を単純な「部分」に還元できるかどうか、そして還元できるとしたら、その方法に何か特有の特徴があるかどうかという疑問が自然に生じる。

より厳密に言えば、群Gの合成級数は有限長の準正規級数である。

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

厳密な包含関係を持ち、各H _iはH _{i +1の}極大真正規部分群である。言い換えれば、合成系列は、各因子群H _{i +1} / H _iが単純であるような準正規系列である。因子群は合成因子と呼ばれる。

劣正規級数が合成級数であるのは、それが最大長である場合に限る。つまり、合成級数に「挿入」できる追加の部分群は存在しない。級数の長さnを合成長と呼ぶ。

群Gに合成系列が存在する場合、 Gの任意の準正規系列は、最大化まで部分群を系列に挿入することによって、非公式に合成系列に細分化できます。すべての有限群は合成系列を持ちますが、すべての無限群は持っていません。たとえば、${\displaystyle \mathbb {Z} }$構成シリーズはありません。

加群の構成系列の定義では、部分加群のみに注目し、部分加群ではない加法部分群はすべて無視します。環RとR加群Mが与えられたとき、 Mの構成系列は部分加群の系列です。

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

ここで、すべての包含関係は厳密であり、J _{k は}各kに対してJ _{k +1}の極大部分加群である。群に関しては、M が構成系列を持つ場合、 Mの部分加群の任意の有限の厳密に増加する系列は構成系列に細分化でき、Mの任意の 2 つの構成系列は同値である。この場合、(単純な) 商加群J _{k +1} / J _kはMの構成因子として知られており、ジョルダン・ヘルダーの定理が成り立ち、単純なR加群の各同型タイプの構成因子の出現回数は構成系列の選択に依存しないことが保証される。

よく知られているように^{[ 1 ]}、モジュールが有限合成系列を持つのは、それがアルティンモジュールかつネーターモジュールである場合に限る。Rがアルティン環である場合、すべての有限生成Rモジュールはアルティンかつネーターであり、したがって有限合成系列を持つ。特に、任意の体Kに対して、 K上の有限次元代数の任意の有限次元モジュールは、同値を除いて一意な合成系列を持つ。

演算子の集合を持つ群は、群に対する群作用と環作用を一般化したものです。群と加群の両方に対する統一的なアプローチは、( Bourbaki 1974 、第1章)または( Isaacs 1994 、第10章)のように、説明の一部を簡略化して適用できます。群Gは、集合 Ω からの要素 (演算子) によって作用を受けるものとみなされます。Ω からの要素の作用に対して不変な部分群、すなわち Ω-部分群にのみ注意が向けられます。したがって、Ω-合成系列は Ω-部分群のみを使用しなければならず、Ω-合成因子は Ω-単純であればよいのです。上記の標準的な結果、例えばジョルダン-ヘルダーの定理などは、ほぼ同じ証明で確立されます。

復元される特殊なケースには、Ω = Gの場合があり、その場合、Gは自身に作用します。この重要な例として、Gの要素が共役によって作用する場合があり、その場合、演算子の集合は内部自己同型から構成されます。この作用による合成系列は、まさに主系列です。モジュール構造は、Ω が環であり、いくつかの追加の公理が満たされる Ω 作用のケースです。

アーベル圏における対象Aの構成列は、部分対象の列である。

${\displaystyle A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0}$

各商オブジェクトX _i  / X _{i  +  1が}単純である( 0 ≤ i < nの場合)。Aが合成数列を持つ場合、整数nはAのみに依存し、 Aの長さと呼ばれる。^{[ 2 ]}

• クローン・ローズ理論、半群の類似物
• シュライアー細分化定理、任意の2つの劣正規級数は同等の合成級数細分を持つ
• ザッセンハウスの補題は、シュライアーの精緻化定理を証明するために用いられる。

• Birkhoff, Garrett (1934)、「超限部分群級数」、アメリカ数学会紀要、40 (12): 847–850、doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
• Baumslag, Benjamin (2006)、「ジョルダン＝ヘルダー＝シュライアーの定理を証明する簡単な方法」、American Mathematical Monthly、113 (10): 933–935、doi : 10.2307/27642092
• Bourbaki, N. (1974), Algebra , Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
• アイザックス、I.マーティン（1994）、『代数学：大学院コース』、ブルックス/コール、ISBN 978-0-534-19002-6
• 柏原正樹、ピエール・シャピラ（2006）『カテゴリーと層』