Zグループ

数学、特に群論として知られる代数学の分野では、Z 群という用語は、いくつかの異なるタイプの群を指します。

• 有限群の研究において、Z 群とは、シロー部分群がすべて巡回する有限群のことである。
• 無限群の研究において、Z 群は中心級数の非常に一般的な形式を持つ群です。
• 順序群の研究において、Z 群または-群は、その最小凸部分群上の商が割り切れる離散的に順序付けられたアーベル群である。このような群は、整数と本質的に同値である。Z 群は、プレスブルガー算術の別の表現である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,<)}$
• 時々、(Z)-群は、特殊なタイプの置換群であるザッセンハウス群を意味するために使用されます。

使用法: (Suzuki 1955)、(Bender & Glauberman 1994、p. 2)、MR 0409648、(Wonenburger 1976)、(Çelik 1976)

有限群の研究において、Z 群は、そのシロー部分群がすべて巡回する有限群です。Z は、ドイツの Zyklische と (Zassenhaus 1935) の分類の両方に由来しています。多くの標準的な教科書では、これらの群にはメタ巡回群以外の特別な名前はありませんが、この用語は現在ではより一般的によく使用されています。非巡回p群を含む一般的な現代的な定義については、メタ巡回群を参照してください。Z 群に密接に関連するより厳密で古典的な定義については、(Hall 1959、Th. 9.4.3) を参照してください。

シロー部分群が巡回であるすべての群は、それ自身がメタ巡回であるため、超可解です。実際、そのような群には巡回最大アーベル商を持つ巡回導来部分群があります。そのような群は次のように表されます (Hall 1959、Th. 9.4.3)。

${\displaystyle G(m,n,r)=\langle a,b|a^{m}=b^{n}=1,bab^{-1}=a^{r}\rangle }$ここで、mnは^G ( m , n , r )の位数、最大公約数、gcd(( r -1) n , m )=1、rn≡1 (modm )です。

Z 群は単項式群であるため、その特性理論はよく理解されています (Çelik 1976) 。

Z 群の導来長は最大でも 2 なので、用途によっては Z 群では不十分な場合があります。ホールによる一般化はA 群、つまり可換シロー部分群を持つ群です。これらの群は Z 群と同様に動作しますが、導来長を任意に大きくすることができます (ホール 1940)。(スズキ 1955) による別の一般化では、シロー 2 部分群に、二面体群や一般化四元数群など、より柔軟な適用が可能になっています。

使用法: (Robinson 1996)、(Kurosh 1960)

Z 群に使用される中心級数の定義は、いくぶん技術的である。Gの級数は、包含によって線形順序付けられたGの部分群の集合Sであり、 Gのすべてのgに対して、部分群A _g = ∩ { N in S  : g in N } とB _g = ∪ { N in S  : g not in N } は両方ともSに含まれる。 Gの(一般化)中心級数は、 SのすべてのNがGに正規であり、 Gのすべてのgに対して、商A _g / B _gがG / B _gの中心に含まれるような級数である。Z群は、このような (一般化) 中心級数を持つ群である。例としては、超限上部中心級数がこのような中心級数を形成する超中心群や、超限下部中心級数がこのような中心級数を形成する低中心群などがある(Robinson 1996)。

使用法: (スズキ 1961)

( Z )-群は、非単位元が2点以上を固定しない二重推移的置換群として忠実に表現される群である。 (ZT)-群は、奇数次でフロベニウス群ではない(Z)-群であり、奇数次ザッセンハウス群であり、 kが任意の正の整数である群PSL(2,2 ^{k +1} )またはSz(2 ^{2 k +1} )のいずれかとしても知られる(Suzuki 1961)。

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• Çelik、Özdem (1976)、「Z 群の文字表について」、Mittailungen aus dem Mathematischen セミナー Giessen : 75–77、ISSN  0373-8221、MR  0470050
• ホール、マーシャル・ジュニア（1959）、群論、ニューヨーク：マクミラン、MR  0103215
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