対角化可能な行列

線形代数において、正方行列${\displaystyle A}$対角行列に類似している場合、それは対角化可能または非欠陥である と呼ばれます。つまり、可逆行列が存在する場合です。${\displaystyle P}$ 対角行列${\displaystyle D}$そのため${\displaystyle P^{-1}AP=D}$これは以下と同等です${\displaystyle A=PDP^{-1}}$。（そのような${\displaystyle P}$、${\displaystyle D}$（一意ではない。）この性質は任意の線形写像に対して存在する。有限次元ベクトル空間の場合${\displaystyle V}$線形マップ​${\displaystyle T:V\to V}$の順序付き基底が存在する場合、は対角化可能で あると呼ばれる。${\displaystyle V}$の固有ベクトル から構成される${\displaystyle T}$これらの定義は同等です。${\displaystyle T}$行列表現 を持つ${\displaystyle A=PDP^{-1}}$上記のように、列ベクトルは${\displaystyle P}$ の固有ベクトルからなる基底を形成する${\displaystyle T}$、そして対角線上の${\displaystyle D}$は、対応する固有値 です。${\displaystyle T}$この固有ベクトル基底に関して、${\displaystyle T}$ は${\displaystyle D}$。

対角線法とは、上記のものを見つけるプロセスです。${\displaystyle P}$ そして${\displaystyle D}$そして、その後の多くの計算を容易にします。対角行列を累乗することができます。${\displaystyle D}$ 対角成分をそのべき乗にすることで、べき乗にすることができます。対角行列の行列式は、すべての対角成分の積です。このような計算は簡単に一般化できます。${\displaystyle A=PDP^{-1}}$。

対角化可能な行列で表される幾何学的変換は、不均一な拡大縮小（または異方性スケーリング）です。つまり、空間を異なる方向で異なる量だけ拡大縮小することができます。各固有ベクトルの方向は、対応する固有値によって与えられる係数で拡大縮小されます。

対角化できない正方行列は欠陥行列と呼ばれます。${\displaystyle A}$実数エントリを持つものは実数に対して欠陥がある、つまり${\displaystyle A=PDP^{-1}}$可逆性については不可能${\displaystyle P}$斜め${\displaystyle D}$実数エントリの場合、複素数エントリの場合も可能です。${\displaystyle A}$複素数上で対角化可能である。例えば、一般的な回転行列の場合がこれに該当する。

対角化可能な行列に関する多くの結果は、代数的に閉じた体（複素数など）上でのみ成り立ちます。この場合、対角化可能な行列はすべての行列の空間で稠密であり、これは欠陥のある行列でも小さな摂動によって対角化可能な行列に変形できることを意味します。また、Jordan–Chevalley分解によれば、任意の行列は対角化可能な行列と冪零行列の和として一意に表されます。代数的に閉じた体上では、対角化可能な行列は半単純行列と同値です。

正方形${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$フィールドにエントリがある${\displaystyle F}$が存在する場合、対角化可能または非欠陥であると呼ばれます。${\displaystyle n\times n}$可逆行列（すなわち、一般線形群の要素）${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )}$)${\displaystyle P}$、したがって${\displaystyle P^{-1}AP}$は対角行列です。

対角化可能な写像と行列に関する基本的な事実は、次のように表されます。

• 1${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$野原を越えて${\displaystyle F}$は、その固有空間の次元の合計が等しい場合に限り対角化可能である。${\displaystyle n}$これは、基底が存在する場合に限ります。${\displaystyle F^{n}}$の固有ベクトルから構成される${\displaystyle A}$このような基底が見つかれば、行列を形成できる。${\displaystyle P}$これらの基底ベクトルを列として持ち、${\displaystyle P^{-1}AP}$は、対角成分が の固有値である対角行列になります。${\displaystyle A}$行列${\displaystyle P}$はモーダル行列として知られています${\displaystyle A}$。
• 線形マップ${\displaystyle T:V\to V}$は、その固有空間の次元の合計が等しい場合に限り対角化可能である。${\displaystyle \dim(V)}$これは、基底が存在する場合に限ります。${\displaystyle V}$の固有ベクトルから構成される${\displaystyle T}$このような根拠に関して、${\displaystyle T}$は対角行列で表されます。この行列の対角成分は、の固有値です。${\displaystyle T}$。

以下の十分条件（ただし必要条件ではない）は、しばしば有用である。

• 1${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$体上で対角化可能である${\displaystyle F}$もしそれが${\displaystyle n}$異なる固有値${\displaystyle F}$つまり、その特性多項式が${\displaystyle n}$異なるルーツ${\displaystyle F}$しかし、その逆は必ずしも真ではない。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}$$固有値は 1、2、2 (すべて異なるわけではない) であり、対角化可能で対角形式 (に類似) である。${\displaystyle A}$）$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}$$基底変換行列${\displaystyle P}$:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.}$$逆の場合は失敗する${\displaystyle A}$は 1 より大きい次元の固有空間を持つ。この例では、${\displaystyle A}$固有値2に関連付けられた次元は2である。
• 線形マップ${\displaystyle T:V\to V}$と${\displaystyle n=\dim(V)}$対角化可能であるのは、${\displaystyle n}$異なる固有値、つまり特性多項式が${\displaystyle n}$異なるルーツ${\displaystyle F}$。

させて${\displaystyle A}$行列である${\displaystyle F}$。もし${\displaystyle A}$が対角化可能であれば、その任意のべき乗も対角化可能です。逆に、${\displaystyle A}$可逆である、${\displaystyle F}$代数的に閉じており、${\displaystyle A^{n}}$ある場合、対角化可能である${\displaystyle n}$それは特性の整数倍ではない${\displaystyle F}$、それから${\displaystyle A}$は対角化可能である。証明：${\displaystyle A^{n}}$対角化可能であれば、${\displaystyle A}$ある多項式によって消滅する${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$多重根を持たない（なぜなら${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$）を最小多項式で割ったもの${\displaystyle A}$。

複素数全体にわたって${\displaystyle \mathbb {C} }$ほぼすべての行列は対角化可能です。より正確には、複素数の集合は対角化可能です。${\displaystyle n\times n}$対角化できない行列${\displaystyle \mathbb {C} }$のサブセットとして考えられます$\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$はルベーグ測度がゼロである。また、対角化可能な行列はザリスキ位相に関して稠密な部分集合を形成するとも言える。すなわち、非対角化可能な行列は特性多項式の判別式の消滅集合内にあり、これは超曲面である。このことから、ノルムで与えられる通常の（強い）位相における稠密性も導かれる。 上では、同じことは成り立たない。${\displaystyle \mathbb {R} }$。

ジョルダン・シュヴァレー分解は、演算子をその半単純（すなわち対角化可能）部分と冪零部分の和として表します。したがって、行列が対角化可能であるのは、その冪零部分がゼロである場合に限ります。言い換えれば、行列が対角化可能であるのは、ジョルダン形式の各ブロックに冪零部分がない場合、つまり各「ブロック」が1×1行列である場合です。

以下の2つの任意基底を考えてみましょう。${\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$そして${\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$行列で表される線形変換が存在すると仮定します。${\displaystyle A_{E}}$これは基底 E に関して記述されたものです。また、次の固有方程式が存在すると仮定します。

$${\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}$$

α固有ベクトルはE基底に関しても記述される。集合Fは行列Aの固有ベクトルの集合であり、かつ任意のベクトル空間を張るものであるから、行列が存在すると言える。${\displaystyle D_{F}}$これは、${\displaystyle A_{E}}$。 言い換えると、${\displaystyle A_{E}}$行列が基底 F で記述されている場合、 は対角化可能な行列です。遷移行列を使用して基底変換計算を実行します。${\displaystyle S}$これは、以下のように基準をEからFに変更します。

${\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}}$、

どこ${\displaystyle S_{E}^{F}}$はE基底からF基底への遷移行列である。その逆行列は新たな遷移行列と等しくなる。${\displaystyle P}$これにより基底がFからEに変更され、次の関係が得られます 。

${\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}$

両方${\displaystyle S}$そして${\displaystyle P}$遷移行列は可逆行列です。したがって、行列は次のように操作できます。$${\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}}$$マトリックス${\displaystyle A_{E}}$は次のように表記されます${\displaystyle A}$これは依然としてE基底にある。同様に、対角行列はF基底にある。

行列の場合${\displaystyle A}$対角化できる、つまり、

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,}$

それから：

${\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

遷移行列 S は、基底 F で記述された E 基底ベクトルを列として持ちます。逆に、逆遷移行列 P は F 基底ベクトルを持ちます。${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{i}}$Eを基底として記述することで、Pをブロック行列形式で次のように表現できます。

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},}$

その結果、次のように書くことができます。$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}$$

ブロック行列形式では、A行列は1×1次元の行列、Pは1×n次元の行列と考えることができます。D行列は、すべての対角要素を含む完全な形式でn×n次元の行列として記述できます。

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

上記の行列乗算を実行すると、次の結果が得られます。$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ブロック行列の各要素を両側から個別に見ていくと、次のようになります。

${\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).}$

したがって、列ベクトルは${\displaystyle P}$は右固有ベクトルである${\displaystyle A}$、そして対応する対角成分は対応する固有値である。 の可逆性${\displaystyle P}$また、固有ベクトルは線形独立であり、基底を形成することを示唆している。${\displaystyle F^{n}}$これは対角化可能性と対角化の標準的なアプローチの必要十分条件です。${\displaystyle P^{-1}}$は、の左固有ベクトルです。${\displaystyle A}$。

複雑な行列の場合${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$はエルミート行列（またはより一般的には正規行列）であり、 の固有ベクトルは${\displaystyle A}$は、正規直交基底を形成するように選択できます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$、そして${\displaystyle P}$はユニタリ行列として選択できます。さらに、${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$が実対称行列である場合、その固有ベクトルは の正規直交基底として選択できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle P}$直交行列として選択することができる。

実際の作業では、ほとんどの場合、行列はコンピュータソフトウェアを用いて数値的に対角化されます。これを行うためのアルゴリズムは数多く存在します。

行列の集合は、単一の可逆行列が存在する場合に同時対角化可能であると言われる。${\displaystyle P}$そのため${\displaystyle P^{-1}AP}$はすべての対角行列です${\displaystyle A}$集合内において、次の定理は同時対角化可能な行列を特徴づける。対角化可能な行列の集合が可換であるのは、その集合が同時対角化可能である場合に限る。^{[ 1 ]： p.64}

すべてのセット${\displaystyle n\times n}$対角化可能な行列（${\displaystyle \mathbb {C} }$）と${\displaystyle n>1}$は同時に対角化可能ではありません。たとえば、行列

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

これらは対角化可能であるが、可換ではないため同時に対角化可能ではない。

集合が可換な正規行列から構成されるのは、それが同時にユニタリ行列によって対角化可能である場合、すなわち、ユニタリ行列が存在する場合に限る。${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle U^{*}AU}$すべての${\displaystyle A}$セットの中に。

リー理論の言葉で言えば、同時に対角化可能な行列の集合はトーラルリー代数を生成する。

対角化は、行列のべき乗を効率的に計算するために使用できる。${\displaystyle A=PDP^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}$

後者は対角行列のべき乗のみを含むため、計算が容易です。例えば、行列の場合${\displaystyle A}$固有値を持つ${\displaystyle \lambda =1,1,2}$上記の例では、以下を計算します。

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

このアプローチは、行列指数関数や、べき級数として定義できる他の行列関数にも一般化できます。たとえば、${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$、我々は持っています：

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

これは、フィボナッチ数列のような線形漸化式における項の閉形式表現を求める際に特に役立ちます。

量子力学および量子化学計算において、行列の対角化は最も頻繁に適用される数値処理の 1 つです。その基本的な理由は、時間独立シュレーディンガー方程式が、無限次元ヒルベルト空間上のほとんどの物理的状況では固有値方程式であるということです。

非常に一般的な近似法は、ヒルベルト空間を有限次元に切り詰める（または射影する）ことで、その後、シュレーディンガー方程式を実対称行列または複素エルミート行列の固有値問題として定式化できる。形式的には、この近似法は、下限を持つハミルトニアンに対して有効な変分原理に基づいている。

一次摂動論は、縮退状態に対する行列固有値問題にもつながる。

行列は線形作用素に一般化できる。対角行列はヒルベルト空間上の対角作用素に一般化できる。

させて${\displaystyle H}$ヒルベルト空間である。演算子${\displaystyle D:H\to H}$は、正規直交基底が存在する場合に限り、対角演算子である。${\displaystyle (e_{n})_{n}}$の${\displaystyle H}$、したがって${\displaystyle De_{n}=\lambda _{n}e_{n}}$一部の人にとって${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} }$。

いかなる場合でも${\displaystyle p\geq 1}$、p-Schattenノルムを次のように定義する。${\displaystyle T:H\to H}$オペレーターである場合、${\displaystyle \|T\|_{p}:=\operatorname {Tr} (|T|^{p})^{1/p}}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$はトレースです。p-シャッテンクラスは、p-シャッテンノルムが有限であるすべての演算子の集合です。

ワイル^{[ 3 ]} 、フォン・ノイマン^{[ 4 ]}、黒田^{[ 5 ]}は、以下のことを示した。

いかなる場合でも${\displaystyle p>1}$任意の自己共役演算子${\displaystyle T}$ヒルベルト空間上${\displaystyle H}$、そしてどんな${\displaystyle \epsilon >0}$対角演算子が存在する${\displaystyle D}$、したがって${\displaystyle \|T-D\|_{p}\leq \epsilon }$。

言い換えれば、任意の自己共役作用素は対角作用素からの無限小摂動であり、ここで「無限小」とはp-シャッテンノルムの意味での意味である。特に、ヒルベルト-シュミット作用素クラスは2-シャッテンクラスであるため、これは任意の自己共役作用素が無限小ヒルベルト-シュミット作用素による摂動の後、対角化可能であることを意味する。実際、上記の結果はさらに一般化できる。

トレースクラスではない任意のノルムイデアルに対して、ノルム${\displaystyle \|\cdot \|_{J}}$任意の自己共役演算子${\displaystyle T}$ヒルベルト空間上${\displaystyle H}$、そしてどんな${\displaystyle \epsilon >0}$対角演算子が存在する${\displaystyle D}$、したがって${\displaystyle \|T-D\|_{J}\leq \epsilon }$。

結果は偽です${\displaystyle p=1}$（トレースクラス）。これは、加藤^{[ 6 ]} -ローゼンブラム^{[ 7 ] [ 8 ]定理XI.8}の単純な系であり、もし${\displaystyle T}$は自己共役であり、${\displaystyle A}$トレースクラスの場合、${\displaystyle T,T+A}$スペクトルの同じ絶対連続部分を持つ。ただし、結果は、もし${\displaystyle T}$絶対的に連続な部分を持たない場合、無限小トレースクラス演算子による摂動の後、対角化することができる。 ^{[ 9 ]}

同時対角化については、有限リストが与えられた場合、${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}}$互いに可換な自己共役演算子、任意の${\displaystyle \epsilon >0}$対角演算子の列が存在する${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$、したがって${\displaystyle \|T_{1}-D_{1}\|_{n}\leq \epsilon ,\dots ,\|T_{n}-D_{n}\|_{n}\leq \epsilon }$、 どこ${\displaystyle \|\cdot \|_{n}}$は n-シャッテンノルムです。${\displaystyle n\geq 2}$^{[ 10 ]}

• 欠陥マトリックス
• スケーリング（ジオメトリ）
• 三角行列
• 半単純演算子
• 対角化可能な群
• ジョーダンの通常フォーム
• 重みモジュール– 結合代数の一般化
• 直交対角化