重み（表現理論）

数学の表現論の分野において、体F上の代数Aの重みは、 AからFへの代数準同型、または同等に、 F上のAの1 次元表現です。これは、群の乗法的特性の代数版です。しかし、この概念の重要性は、リー代数の表現への応用、したがって代数群とリー群の表現への応用に由来しています。この文脈では、表現の重みは固有値の概念の一般化であり、対応する固有空間は重み空間と呼ばれます。

同じ体上の行列の集合Sが与えられ、各行列が対角化可能で、そのうちの任意の 2 つが可換である場合、 Sのすべての要素を同時に対角化することが常に可能である。^{[注 1]同様に、}有限次元ベクトル空間Vの相互可換な半単純線型変換の任意の集合Sに対して、次からなるVの基底が存在する。${\displaystyle n\times n}$ Sのすべての要素の同時固有ベクトル。これらの共通固有ベクトルv ∈ Vのそれぞれは、自己準同型集合Sによって生成されたEnd( V  )の部分代数U上の線型関数を定義します。この関数は、 Uの各要素に固有ベクトルv上の固有値を関連付けるマップとして定義されます。このマップは乗法的でもあり、恒等写像を 1 に送信します。したがって、これはUから基底体への代数準同型です。この「一般化された固有値」は、重みの概念のプロトタイプです。

この概念は群論における乗法的指標の考え方と密接に関連しており、これは群Gから体Fの乗法的群への準同型χである。したがって、χ : G → F ^{× は}χ ( e ) = 1 （ここでeはGの単位元） を満たし、

${\displaystyle \chi (gh)=\chi (g)\chi (h)}$Gのすべてのg、hに対して。

実際、G が F上のベクトル空間Vに作用する場合、 Gのあらゆる要素に対する同時固有空間が存在するならば、それはG上の乗法特性、すなわち群の各要素のこの共通固有空間上の固有値を決定します。

乗法的特性の概念は、χ : G → F ^{× を}線型写像χ : A → Fに置き換えることによって、F上の任意の代数Aに拡張できます。

${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)}$

Aのすべてのa、bに対して。代数A がF上のベクトル空間Vから任意の同時固有空間に作用する場合、これはAの各要素にその固有値を割り当てるAからFへの代数準同型に対応します。

Aがリー代数（一般には結合代数ではない）である場合、指標の乗法性を要求する代わりに、任意のリー括弧を対応する交換子にマッピングする必要があります。しかし、Fは可換であるため、これは単にこのマップがリー括弧上で消えなければならないことを意味します：χ ([ a、b ]) = 0。体F上のリー代数g上の重みは、 g内のすべてのx、yに対して λ([ x、y ]) = 0となる線型マップ λ: g → Fです。リー代数g上の任意の重みは、導出代数[ g、g ]上で消えるため、可換リー代数g /[ g、g ]上の重みになります。したがって、重みは主にアーベル・リー代数にとって興味深いものであり、そこでは重みは可換な線形変換の空間に対する一般化された固有値という単純な概念に還元されます。

Gがリー群または代数群である場合、乗法的指標 θ: G → F ^{× は}微分によってそのリー代数に重みχ = dθ: g → F を誘導します。(リー群の場合、これはGの単位元での微分であり、代数群の場合は微分の概念を使用した抽象化です。)

をの複素半単純リー代数とカルタン部分代数とします。このセクションでは、 の有限次元表現を分類する「最高重みの定理」を定式化するために必要な概念について説明します。特に、「支配的な積分要素」の概念について説明します。表現自体は、上記のリンク先の記事で説明されています。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

を、特性0の体、例えば 上のベクトル空間V上のリー代数の表現とし、を上の線型汎関数とする。ここで はのカルタン部分代数である。すると、${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$重みλ持つ Vの重み空間は、${\displaystyle V_{\lambda}}$

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad (\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$。

表現V (表現は、マップ ではなく、リー代数の要素が作用するベクトル空間Vと略して呼ばれることが多い) の重みは、対応する重み空間が非ゼロであるような線型関数 λ です。重み空間の非ゼロ要素は重みベクトルと呼ばれます。つまり、重みベクトルは の要素の作用に対する同時固有ベクトルであり、対応する固有値は λ で与えられます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Vがその重み空間の直和である 場合

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

Vは​重みモジュール。これは、代数の表現されたすべての要素に対して共通の固有基底対角化可能な行列を参照）。

G がリー代数 を持つ群である場合、 Gのすべての有限次元表現はの表現を誘導します。G の表現の重みは、単に の関連付けられた表現の重みです。群表現の重みとリー代数表現の間には微妙な違いがあり、2 つのケースでは整数条件の概念が異なります。以下を参照してください。(整数条件は群の場合の方が制限が厳しく、リー代数の表現がすべて群の表現から来るわけではないことを反映しています。) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

の 随伴表現 の場合、表現が作用する空間はリー代数そのものである。この場合、非ゼロの重みはルート、重み空間はルート空間、重みベクトル（したがって の要素）はルートベクトルと呼ばれる。明示的には、上の線形関数は、 であり、に非ゼロの が存在して、 ${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

すべて について。根の集合は根系を形成します。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

表現論の観点から、根と根ベクトルの重要性は、次のような基本的だが重要な結果である。 がの表現であり、v が重み を持つ重みベクトルであり、X が根 を持つ根ベクトルである場合、 ${\displaystyle \sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

内のすべてのHに対して が成り立ちます。つまり、 はゼロベクトルか、重み を持つ重みベクトルのいずれかです。したがって、 のアクションは、重み を持つ重み空間を重み を持つ重み空間にマッピングします。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \sigma (X)(v)}$${\displaystyle \lambda +\alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda +\alpha }$

たとえば、または を複素化した場合、ルートベクトルは代数を張り、それぞれ重み 、、 を持ちます。カルタン部分代数は によって張られ、 の作用は重み空間を分類します。 の作用は重み の重み空間を重み の重み空間に写像し、 の作用は重み の重み空間を重み の重み空間に写像し、 の作用は重み空間をそれ自体に写像します。重みと重み空間 を持つ基本表現では、はゼロ、はに写像し、はゼロ、はに写像し、 は各重み空間をそれ自体に写像します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {H,X,Y}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda +1}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda -1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$${\displaystyle H}$

を の根によって生成されるの実部分空間とします。ここで は線型関数の空間、 への双対空間です。計算では、ワイル群、つまり根に直交する超平面に関する反射に対して不変な内積を選択すると便利です。次に、この内積を使用して の部分空間と同一視することができます。この同一視により、根に関連付けられたコルートは次のように与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

ここで、はベクトルの内積を表す。この内積に加えて、ルートシステムの議論では、角括弧表記が一般的に使用され、角括弧は次のように定義される。ここでの角括弧は対称ではなく、最初の引数のみで線形であるため、内積ではない。角括弧表記を内積と混同しないようにする必要がある。${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha ,\beta .}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

ここで、 の元に対して 2 つの異なる整数性の概念を定義します。これらの定義の動機は単純です。 の有限次元表現の重みは最初の整数性条件を満たしますが、G がリー代数 を持つ群である場合、 Gの有限次元表現の重みは2 番目の整数性条件を満たします。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

要素が代数的に整列しているかどうかは、 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

すべての根 に対して成り立つ。この条件の理由は、の -部分代数に対する標準基底のH元とコルートが同一視できることである。^{[1] の}基本的な結果から、任意の有限次元表現における の固有値は整数でなければならない。上で述べたように、 の任意の有限次元表現の重みは代数的に整数であると結論付けられる。^[2]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle {X,Y,H}}$${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

基本重みは、 単純根に関連付けられたコルートの集合の双対の基底を形成するという性質によって定義されます。つまり、基本重みは条件によって定義されます。 ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

ここで、 は 単純根です。要素が代数的に整列している場合、かつそれが基本重みの整列結合である場合に限ります。^[3]すべての-整列重みの集合はにおける格子であり、に対する重み格子と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$

この図は、ルート系がルート系であるリー代数 の例を示しています。2 つの単純ルート、および があります。最初の基本ウェイト はに直交し、 の半分に直交して投影される必要があり、 についても同様です。ウェイト格子は三角格子です。 ${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

リー代数がリー群Gのリー代数であると仮定する。すると、 の各t に対して が成り立つとき、 は解析的に整列 (G 積分 )であるという。この定義を行う理由は、 の表現がGの表現から生じる場合、表現の重みはG積分となるためである。^[4] G が半単純である場合、すべてのG積分重みの集合は部分格子P ( G ) ⊂ P ( ) である。G が単連結である場合、P ( G ) = P ( )である。G が単連結でない場合、格子P ( G ) はP ( )よりも小さく、それらの商はGの基本群と同型である。[ ^5]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ここで、重みの集合に半順序を導入します。これは、 の表現を記述する最高重みの定理を定式化するために使用されます。R は根の集合であることを思い出してください。ここで、正の根の集合を固定します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R^{+}}$

の 2つの要素とを考えます。主に、およびが整数である場合に関心がありますが、この仮定はこれから紹介する定義には必須ではありません。が非負の実数係数を持つ正根の線形結合として表現できる場合、 は よりも高いと言い、と書きます。^[6]これは、大まかに言えば、「高い」とは正根の方向であることを意味します。 同様に、 はよりも「低い」と言い、 と書きます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$${\displaystyle \mu -\lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$

これは単なる部分的な順序付けです。が より大きくも小さくもないということは簡単に起こり得ます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

積分元 λ は、各正の根γに対して である場合に優勢です。同様に、 λ が基本重みの非負の整数の組み合わせである場合、 λ は優勢です。この場合、優勢な積分元は 60 度のセクターに存在します。優勢であるという概念は、ゼロより大きいという概念と同じではありません。右側の図の灰色の領域は 120 度のセクターであり、優勢な積分元に対応する 60 度のセクターを厳密に含んでいることに注意してください。 ${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$${\displaystyle A_{2}}$

λ 全体（必ずしも整数ではない）の集合は、与えられた正根の集合に関連付けられた 基本ワイル チェンバーとして知られています。${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$

の表現の重みは、 の他のすべての重みがより低い場合、最高重みと呼ばれます。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda }$

の有限次元既約表現を分類する理論は「最高重みの定理」によっている。その定理は^[7]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

（１）すべての既約（有限次元）表現は最高の重みを持ち、

（２）最も高い重みは常に支配的な代数的整数要素である。

（３）同じ最高重みを持つ２つの既約表現は同型であり、

（４）すべての主要な代数的整数要素は、既約表現の最高の重みである。

最後の点は最も難しい点です。表現はVerma モジュールを使用して構築できます。

の表現（必ずしも有限次元ではない）Vは、のすべての正のルート空間の作用によって消滅する重みベクトルv ∈ Vによって生成される場合、最高重みモジュールと呼ばれます。最高重みを持つすべての既約 - モジュールは、必ず最高重みモジュールになりますが、無限次元の場合、最高重みモジュールは既約である必要はありません。各— 必ずしも支配的または整数的ではない — に対して、最高重み λ を持つ唯一の（同型を除いて）単純な最高重み- モジュールが存在し、L (λ) と表記されますが、このモジュールは、λ が支配整数でない限り無限次元です。最高重み λ を持つ各最高重みモジュールは、Verma モジュールM (λ)の商であることが示されます。これは、Verma モジュールの定義における 普遍性プロパティの単なる言い換えです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

全ての有限次元最高重みモジュールは既約である。^[8]

• リー代数の有限次元表現の分類
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