トーラル部分代数

数学において、トーラル部分代数とは、すべての要素が半単純（または代数的に閉じた体上で対角化可能）である一般線形リー代数のリー部分代数のことである。^[¹^] 代数的に閉じた体上では、すべてのトーラルリー代数はアーベルである。^[¹^]^[²^]したがって、その要素は同時に対角化可能である。

半単純リー代数および還元リー代数において

部分代数 ${\mathfrak {h}}$ 半単純リー代数の ${\mathfrak {g}}$ の随伴表現がトーラルである場合、トーラルと呼ばれます。 ${\mathfrak {h}}$ の上 ${\mathfrak {g}}$ 、 $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ はトーラル部分代数である。標数 0 の代数的に閉じた体上の有限次元半単純リー代数、あるいはより一般的には有限次元還元リー代数の極大トーラルリー部分代数はカルタン部分代数であり、その逆もまた然りである。^[³^]特に、この設定における極大トーラルリー部分代数は自己正規化であり、その中心化群と一致し、キリング形式は ${\mathfrak {g}}$ 制限される ${\mathfrak {h}}$ 非退化である。

より一般的なリー代数では、カルタン部分代数は最大トーラス部分代数とは異なる場合がある。

有限次元半単純リー代数において ${\mathfrak {g}}$ 標数ゼロの代数的に閉じた体上には、トーラス部分代数が存在する。^{[ 1 ]}実際、 ${\mathfrak {g}}$ 冪零元のみを持つ場合、それは冪零である（エンゲルの定理）が、そのキリング形式は恒等的にゼロとなり、半単純性と矛盾する。したがって、 ${\mathfrak {g}}$ 非零の半単純元、例えばxを持たなければならない。その場合、 xの線形スパンはトーラス部分代数となる。

参考文献

1 2 3 Humphreys 1972 、第 II 章、§ 8.1。
↑証明（ハンフリーズより）： $x\in {\mathfrak {h}}$ 。以来 $\operatorname {ad} (x)$ が対角化可能であれば、の固有値を示すだけで十分である。 $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ すべてゼロです。 $y\in {\mathfrak {h}}$ の固有ベクトルである $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ 固有値を持つ $\lambda$ 。それから $x$ は、の固有ベクトルの合計です。 $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ その後 $-\lambda y=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)x$ は、の固有ベクトルの線形結合である。 $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ 非ゼロの固有値を持つ。しかし、 $\lambda =0$ 我々はそれを持っている $-\lambda y$ はの固有ベクトルである $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ 固有値がゼロであるため、矛盾が生じる。したがって、 $\lambda =0$ 。 $\square$
↑ハンフリーズ 1972 、第 IV 章、§ 15.3. 系

ボレル、アルマン（1991）「線形代数群」、大学院数学テキスト、第 126巻（第2 版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-97370-8MR 1102012
ハンフリーズ、ジェームズ・E. (1972) 『リー代数と表現論入門』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90053-7

[Hum-1] 1 2 3 Humphreys 1972 、第 II 章、§ 8.1。

[2] 証明（ハンフリーズより）： $x\in {\mathfrak {h}}$ 。以来 $\operatorname {ad} (x)$ が対角化可能であれば、の固有値を示すだけで十分である。 $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ すべてゼロです。 $y\in {\mathfrak {h}}$ の固有ベクトルである $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(x)$ 固有値を持つ $\lambda$ 。それから $x$ は、の固有ベクトルの合計です。 $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ その後 $-\lambda y=\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)x$ は、の固有ベクトルの線形結合である。 $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ 非ゼロの固有値を持つ。しかし、 $\lambda =0$ 我々はそれを持っている $-\lambda y$ はの固有ベクトルである $\operatorname {ad} _{\mathfrak {h}}(y)$ 固有値がゼロであるため、矛盾が生じる。したがって、 $\lambda =0$ 。 $\square$

[3] ハンフリーズ 1972 、第 IV 章、§ 15.3. 系

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関連項目

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