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数学において、ベクトル空間V上の線型作用素 T : V → Vが半単純であるとは、すべてのT不変部分空間に相補的なT不変部分空間があることを意味する。[1] T がV上の半単純線型作用素であれば、V はTの半単純表現である。同様に、線型作用素が半単純であるとは、その最小多項式が異なる既約多項式 の積である場合を意味する。[2]
代数的に閉じた体上の有限次元ベクトル空間上の線型作用素が半単純となるのは、それが対角化可能である場合のみである。[1] [3]
完全体上では、ジョルダン・シュヴァレー分解は、準同型写像sと冪零準同型写像nの和として準同型 写像を表現し、 sとn は両方ともxの多項式となります。
参照
注記
- ^ ab Lam (2001)、39ページ
- ^ Jacobson 1979、第II章の前の段落、§5、定理11。
- ^ これは、極小多項式の定義では自明ですが、次のようにより直接的に見ることができます。このような演算子は常に固有ベクトルを持ちます。さらに半単純である場合、補完的な不変超平面を持ち、それ自体が固有ベクトルを持ち、したがって帰納的に対角化可能です。逆に、対角化可能な演算子は、不変部分空間が固有空間の直和であり、この空間の任意の基底を固有基底に拡張できるため、半単純であることが簡単にわかります。
参考文献
- Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971)。「半単純演算子」。線形代数(第 2 版)。Englewood Cliffs、NJ: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251。
- ジェイコブソン、ネイサン（1979）。リー代数。ニューヨーク。ISBN 0-486-63832-4. OCLC 6499793.
{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 (リンク) - ラム、ツィットユエン (2001)。非可換環の初歩。数学の大学院テキスト。第 131 巻 (第 2 版)。シュプリンガー。ISBN 0-387-95183-0。