モーダルマトリックス

線型代数学では、様相行列は固有値と固有ベクトルを含む対角化の過程で使われる。^[1]

具体的には、行列のモード行列は、の列としての固有ベクトルで形成されるn × n行列です。これは相似変換で利用されます。${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

ここで、はn × n対角行列で、の固有値が の主対角線上にあり、それ以外の場所ではゼロです。この行列はのスペクトル行列と呼ばれます。固有値は、 で対応する固有ベクトルが左から右に配置されるのと同じ順序で、左から右、上から下に現れなければなりません。^[2]${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

マトリックス

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}$

固有値とそれに対応する固有ベクトルを持つ

${\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}$

対角 行列は、${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}$

逆行列 の可能な選択肢の1つは、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}$^[3]

固有ベクトル自体は一意ではなく、との両方が入れ替わる可能性があるため、との両方が一意ではないことに注意してください。^[4]${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$

をn × n行列とします。の一般化モーダル行列は、列をベクトルとして考えた場合、 の標準基底を形成し、 に次の規則に従って 現れるn × n行列です。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

• 1 つのベクトル (つまり、長さが 1 つのベクトル) で構成されるすべてのジョルダン連鎖は、の最初の列に表示されます。${\displaystyle M}$
• 1 つのチェーンのすべてのベクトルは、 の隣接する列に一緒に表示されます。${\displaystyle M}$
• 各チェーンは昇順で出現する（つまり、ランク1の一般化固有ベクトルは同じチェーンのランク2の一般化固有ベクトルの前に出現し、ランク2の一般化固有ベクトルは同じチェーンのランク3の一般化固有ベクトルの前に出現する、など）。^[5]${\displaystyle M}$

それは、

ここで はジョルダン標準形の行列である。 を前もって掛け合わせると、 ${\displaystyle J}$${\displaystyle M^{-1}}$

これらの行列を計算する場合、式（１ ）は行列の逆行列を必要としないため、２つの式の中で検証するのが最も簡単であることに注意する。 ^[6]

この例は、4つのジョルダン連鎖を持つ一般化されたモーダル行列を示している。残念ながら、低次の興味深い例を構築するのは少し難しい。^[7] 行列

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}$

は代数的重複度の単一の固有値を持ちます。 の標準基底は、階数 3 の線形独立な一般化固有ベクトル 1 つ (一般化固有ベクトルの階数。一般化固有ベクトルを参照)、階数 2 の一般化固有ベクトル 2 つ、および階数 1 の一般化固有ベクトル 4 つで構成されます。 つまり、3 つのベクトルの連鎖 1 つ、2 つのベクトルの連鎖 1 つ、および 1 つのベクトルの連鎖 2 つで構成されます。${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ ${\displaystyle \mu_{1}=7}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}$

ジョルダン正規形の「ほぼ対角」行列は、次のようにして得られます。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2} &\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0 \end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

ここで、 は の一般化モーダル行列であり、 の列は の標準基底であり、 です。^[8] 一般化固有ベクトル自体は一意ではなく、 と の列の一部は交換可能であるため、 と は両方とも一意ではないことに注意してください。[ ^9]${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$

• ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門: 群、環、体へのオプション入門』、ボストン:ホートン ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
• ブロンソン、リチャード（1970）、マトリックス法：入門、ニューヨーク：アカデミックプレス、LCCN  70097490
• ネリング、エヴァー・D.（1970）、線形代数と行列理論（第2版）、ニューヨーク：ワイリー、LCCN  76091646