古典的なXYモデル

古典XYモデル（古典回転子モデルまたはO(2)モデルとも呼ばれる）は、統計力学の格子モデルである。一般に、XYモデルは、 n = 2の場合のスタンレーのnベクトルモデル^[1]の特殊化と見なすことができます。

D次元格子 Λが与えられたとき、各格子点j ∈ Λごとに2次元の単位長さベクトル s _j = (cos θ _j , sin θ _j )が存在する。

スピン構成s = ( s _j ) _{j ∈ Λ}は_、各j ∈ Λに対して角度−π < θ j ≤ πを割り当てたものである。

並進不変な相互作用J _ij = J ( i − j )と点依存の外部場が与えられた場合、配置エネルギーは ${\displaystyle \mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)}$

${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}}$

ij番目近傍を除いてJ _ij = 0となるケースを近傍ケースと呼ぶ。

配置確率は、逆温度β ≥ 0のボルツマン分布によって与えられる。

${\displaystyle P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )}.}$

ここでZは正規化関数または分割関数である。^[2]この表記は、周期境界条件が課された 後の無限体積極限におけるランダム変数A ( s )の期待値を示す。${\displaystyle \langle A(\mathbf {s} )\rangle }$

• 自由エネルギーとスピン相関の熱力学的極限の存在は、グリフィスの不等式をこのケースに拡張してジニブレによって証明されました。^[3]
• ジニブレの定式化におけるグリフィスの不等式を用いて、アイゼンマンとサイモン^[4]は、次元Dにおける強磁性XYモデルの2点スピン相関、結合J > 0、温度の逆数βが、次元Dにおける強磁性イジングモデルの2点相関、結合J > 0、温度の逆数βによって支配される（すなわち、上限が与えられる）ことを証明した。 β/2⁠ したがって、XYモデルの臨界βは、イジングモデルの臨界βの2倍よりも小さくなることはできない。$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$$$${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}}$$

自由（非周期）境界条件を持つ任意の 「最近傍」nベクトルモデルと同様に、外部場がゼロの場合、単純な厳密解が存在する。自由境界条件の場合、ハミルトニアンは 、したがって、分割関数は座標変換の下で因数分解される。 これにより、次の式が得られる 。 ここで、は第 1 種の修正ベッセル関数である。分割関数は、いくつかの重要な熱力学的量を求めるために使用できる。たとえば、熱力学的極限（）では、スピンあたりの 自由エネルギーは 、次の式で表される。修正ベッセル関数の特性を使用すると、比熱（スピンあたり）は次のように表される^[5]。 ここで、およびは短距離相関関数である。 $${\displaystyle H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})]}$$$${\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}'+\theta _{j-1}\qquad j\geq 2}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}}$$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle L\to \infty }$$${\displaystyle f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]}$$ $${\displaystyle {\frac {c}{k_{\rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right)}$$${\displaystyle K=J/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}}$$

熱力学的限界においても、比熱の発散はありません。実際、1 次元イジング モデルと同様に、1 次元 XY モデルには有限温度での相転移はありません。

周期境界条件（ h = 0） に対する同じ計算では、結果は同じであるが、転送行列形式が必要となる。 ^[6]

(転送行列形式の詳細を表示するには、右側の「表示」をクリックします。)

分割関数は、 行列のトレース、つまり行列（この場合はスカラー）の積として扱うことができるように評価できます。行列のトレースは単にその固有値の合計であり、熱力学的極限では最大の固有値のみが残るため、分割関数はこの最大固有値の繰り返し積として記述できます。これには、固有値問題を解く必要があります。 展開に注意してください。 $${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}}$$${\displaystyle L\to \infty }$$${\displaystyle \oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta )}$$$${\displaystyle \exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )}$$

これは、平面波固有関数 の基底における対角行列表現を表します。行列 の固有値は、 で評価された修正ベッセル関数、つまり です。 の任意の特定の値に対して、これらの修正ベッセル関数はおよび を満たします。したがって、熱力学的極限では、固有値がトレースを支配するため、 となります。${\displaystyle \psi =\exp(in\theta )}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle \omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle \beta J}$${\displaystyle I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots }$${\displaystyle I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}}$

この転送行列アプローチは、自由境界条件を使用する場合にも必要ですが、ただし、印加磁場 が必要です。印加磁場が十分小さく、ゼロ磁場のシステムに対する摂動として扱うことができる場合は、磁化率を推定できます。これは、転送行列アプローチによって計算された固有状態を使用し、2次摂動法でエネルギーシフトを計算し、自由エネルギー展開 と比較することによって行われます。 ^[7]がキュリー定数(磁性材料の磁化率に通常関連付けられる値) であることがわかります。この式は、 を に置き換えた 1 次元イジングモデルにも当てはまります。 ${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \chi \equiv \partial M/\partial h}$${\displaystyle F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}}$ $${\displaystyle \chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }}}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mu =\tanh K}$

最近接相互作用を伴う2次元XYモデルは、メルミン-ワグナー定理で要求される長距離秩序を持たない連続対称性を持つ2次元システムの例である。同様に、対称性の破れに関連する従来の相転移は存在しない。しかし、後述するように、このシステムは、ある臨界温度以下で、無秩序な高温状態から準秩序状態への転移の兆候を示しており、これをコスターリッツ-サウレス転移と呼ぶ。スピンの離散格子の場合、2次元XYモデルは転送行列アプローチを使用して評価することができ、モデルを固有値問題に簡略化し、転送行列から最大の固有値を利用する。正確な解を求めるのは困難だが、特定の近似値を使用して、低温で発生する臨界温度を推定することは可能である。例えば、Mattis (1984 ^[9] ) はこのモデルの近似値を使用して、システムの臨界温度を と推定しました。2D XY モデルは、モンテ カルロシミュレーション、例えばMetropolis アルゴリズムを 使用して詳細に研究されてきました。これらを使用して、さまざまな温度と時間スケールにわたって、システム エネルギー、比熱、磁化などの熱力学量を計算できます。モンテ カルロ シミュレーションでは、各スピンは連続的に変化する角度に関連付けられています(多くの場合、計算を容易にするために、関連するPotts モデルのように有限個の角度に離散化できます。ただし、これは必須ではありません)。各タイム ステップで、Metropolis アルゴリズムは 1 つのスピンをランダムに選択し、その角度をランダムな増分 だけ回転させます。この角度の変化により、システムのエネルギーが変化します。これは正または負の値になります。負の場合、アルゴリズムは角度の変化を受け入れます。正の場合、構成はエネルギー変化のボルツマン因子 の確率で受け入れられます。モンテカルロ法は、様々な方法でシステムの臨界温度を検証するために使用されており、その値は^[10]と推定されています。モンテカルロ法では、磁化、スピンスピン相関、相関長、比熱などの熱力学的量を計算するために使用される平均値も計算できます。これらは、臨界温度付近でのシステムの挙動を特徴付ける重要な方法です。たとえば、磁化と磁化の2乗は次のように計算できます。 ${\displaystyle T_{c}}$$${\displaystyle (2k_{\rm {B}}T_{c}/J)\ln(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)=1}$$ $${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.8816}$$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )}$${\displaystyle \Delta E_{i}}$${\displaystyle e^{-\beta \Delta E_{i}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J=0.8935(1)}$

$${\displaystyle {\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}\left|\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle \right|}$$ $${\displaystyle {\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle }$$ ここで、 はスピンの数です。平均磁化は、システムの正味の磁気モーメントの大きさを表します。多くの磁気システムでは、これは臨界温度以上ではゼロですが、低温では自発的にゼロ以外になります。同様に、平均二乗磁化は、格子全体のスピンの正味成分の二乗の平均を表します。これらはどちらも、システムの秩序パラメータを表すためによく使用されます。XYモデルの厳密な分析により、熱力学的極限での磁化はゼロであり、二乗磁化はほぼ^[12]に従うことが示され、これは熱力学的極限では消えます。確かに、高温では、スピンの成分がランダム化されて合計がゼロになる傾向があるため、この量はゼロに近づきます。しかし、有限システムの低温では、平均二乗磁化が増加し、ゼロ以外の寄与に寄与するように整列したスピン空間の領域があることを示唆しています。示されている磁化（25x25 格子の場合）は、その一例であり、熱力学的限界ではそのような遷移は存在しないのに、相転移を示唆しているように見えます。 ${\displaystyle N=L\times L}$ ${\displaystyle \langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }}$

さらに、統計力学を使用すると、熱力学的平均を比熱などの量に計算することによって関連付けることができます 。 比熱は、臨界温度 付近の低温で示されます。この予測温度では、臨界挙動（発散など）と一致する比熱の特徴はありません。実際、臨界温度の推定は、ヘリシティ係数や磁化率の発散の温度依存性など、他の方法から行われます。^[13]しかし、 のピークの形で比熱の特徴があります。このピークの位置と高さは、線形サイズが 256 を超える格子に対して、システムのサイズに依存しないことが示されています。実際、比熱異常は、格子サイズの増加に対して丸みを帯びて有限のままであり、発散ピークはありません。 $${\displaystyle c/k_{\rm {B}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}}$$${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.88}$${\displaystyle k_{\rm {B}}T/J\approx 1.043(4)\approx 1.167(1)T_{c}}$

臨界遷移と渦形成の性質は、XYモデルの連続バージョンを考えることで解明できる。ここでは、離散スピンは、空間内の任意の点におけるスピンの角度を表す場に置き換えられる。この場合、スピンの角度は位置の変化に対して滑らかに変化する必要がある。元のコサインをテイラー級数として展開すると、ハミルトニアンは連続体近似で次のように表すことができる。 ${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$${\displaystyle \theta ({\textbf {x}})}$$${\displaystyle E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}\mathbf {x} }$$

XY モデルの連続バージョンは、超流動ヘリウムやヘキサチック液晶など、同じ種類の対称性を持つ秩序パラメータを持つシステムをモデル化するためによく使用されます。これが、常に対称性の破れを伴う他の相転移とは異なる点です。 XY モデルの位相欠陥により、低温相から高温無秩序相への渦結合解除遷移が発生します。実際、高温では相関が指数関数的に急速に減少するのに対し、低温では両方の領域でM ( β ) = 0であるにもかかわらず、相関が指数関数的に減少するという事実は、コスターリッツ-サウレス転移と呼ばれています。コスターリッツとサウレスは、なぜそうなるのかについて簡単な議論を示しました。これは、すべてのスピンが同じ方向にある基底状態と、それに単一の渦が追加された状態を考慮します。これらの存在により、およそ のエントロピーが加わります。ここで は有効な長さのスケールです (たとえば、離散格子の格子サイズ)。一方、システムのエネルギーは、渦のために量 だけ増加します。これらをまとめると、システムの自由エネルギーは、渦の自発的な形成により量 だけ変化します。 熱力学的極限では、システムは低温では渦の形成に有利ではありませんが、臨界温度 を超える高温では有利になります。これは、低温では、発生した渦が反渦と消滅してシステムエネルギーを下げようとすることを示しています。実際、低温でのスピン システムの「スナップショット」を見ると、渦と反渦が徐々に集まって消滅していく様子が定性的にわかります。したがって、低温状態は、結合した渦と反渦のペアで構成されます。一方、高温になると、平面上を自由に移動する束縛されていない渦と反渦の集合体が発生します。 ${\displaystyle \Delta S=k_{\rm {B}}\ln(L^{2}/a^{2})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Delta E=\pi J\ln(L/a)}$$${\displaystyle \Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{\rm {B}}T)\ln(L/a)}$$${\displaystyle T_{c}=\pi J/2k_{\rm {B}}}$

イジングモデルを視覚化するには、上向きまたは下向きの矢印を使用するか、状態を示すために黒/白の点として表すことができます。XY スピン システムを視覚化するには、スピンをある方向を指す矢印として表すか、またはある色の点として表すことができます。ここでは、可能な連続変数のそれぞれによる色のスペクトルでスピンを表す必要があります。これは、たとえば、連続的で周期的な赤、緑、青のスペクトルを使用して行うことができます。図に示すように、シアンはゼロ角度 (右向き) に対応し、赤は 180 度の角度 (左向き) に対応します。次に、さまざまな温度でのスピン構成のスナップショットを調べて、XY モデルの臨界温度の上下で何が起こるかを解明できます。高温では、スピンには優先方向がなく、エネルギー的に好ましい優先構成がないため、隣接するスピン間の角度の予測できない変化があります。この場合、カラー マップは高度にピクセル化されて見えます。一方、低温では、すべてのスピンが同じ方向（同じ角度）を向いている基底状態構成が考えられます。これは、すべてのスピンがほぼ同じ色になるカラーマップの領域（ドメイン）に対応します。

コステリッツ・サウレス転移の結果として存在する渦（または反渦）を識別するには、格子点の円を反時計回りに横断して角度の符号付き変化を判定します。角度の合計変化が 0 の場合、これは渦が存在しないことに相当します。一方、角度の合計変化は渦（または反渦）に相当します。これらの渦は、渦と反渦のペアで存在する位相的に自明ではないオブジェクトであり、分離したりペア消滅したりできます。カラーマップでは、これらの欠陥は、スペクトルのすべての色が 1 つの点の周りで出会う大きな色のグラデーションがある領域で識別できます。定性的には、これらの欠陥は、内向きまたは外向きの流れ源、集合的に時計回りまたは反時計回りのスピンの渦巻き、または一部のスピンが欠陥に向かい、一部のスピンが欠陥から離れる双曲面のような特徴のように見えます。長時間スケールと低温で構成を研究すると、これらの渦-反渦のペアの多くが互いに接近し、最終的にペア消滅することが観察されます。これらの渦と反渦が解放され、互いに束縛されなくなるのは、高温の場合のみです。 ${\displaystyle \pm 2\pi }$

連続XYモデルでは、高温での自発磁化は消失する。 また、クラスター展開から、スピン相関が指数関数的に速くクラスター化することが分かる。例えば、 低温、すなわちβ ≫ 1では、自発磁化はゼロのままである（メルミン・ワグナー定理を参照） が、相関の減衰はべき乗法則のみである。フレーリッヒとスペンサー^[14]は、下限値を発見した。 $${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$$$${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\geq {\frac {C(\beta )}{1+|i-j|^{\eta (\beta )}}}}$

一方、マクブライアンとスペンサーは、${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq {\frac {C(\beta ,\epsilon )}{1+|i-j|^{\eta (\beta ,\epsilon )}}}}$

相互作用の範囲とは無関係に、十分に低い温度では磁化は正になります。

• 高温では、自発磁化は消失します: 。また、クラスター展開により、スピン相関が指数関数的に速くクラスター化することが示されています: たとえば。${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |=0}$${\displaystyle |\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle |\leq C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|}}$
• 低温では、赤外線境界は自発磁化が厳密に正であることを示しています: 。さらに、 となる 1 パラメータの極値状態族が存在しますが、推測では、これらの各極値状態では、切断された相関は代数的に減衰します。${\displaystyle M(\beta ):=|\langle \mathbf {s} _{i}\rangle |>0}$${\displaystyle \langle \;\cdot \;\rangle ^{\theta }}$${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\rangle ^{\theta }=M(\beta )(\cos \theta ,\sin \theta )}$

前述のように、1 次元では XY モデルに相転移はありませんが、2 次元では指数関数的およびべき乗関数的に減少する相関関数を持つ相間の Berezinski-Kosterlitz-Thouless 転移があります。

3 次元以上では、XY モデルは強磁性体 - 常磁性体の相転移を起こします。低温では、自発磁化はゼロではありません。これが強磁性相です。温度が上昇するにつれて、自発磁化は徐々に減少し、臨界温度で消えます。それ以上の温度では、自発磁化はゼロのままです。これが常磁性相です。

4 次元以上では、相転移は平均場理論の臨界指数を持ちます (4 次元では対数補正されます)。

3 次元の場合、相転移における臨界指数が重要となるため興味深い。多くの 3 次元物理システムは、3 次元 XY モデルと同じ普遍性クラスに属し、同じ臨界指数を共有している。最も有名なのは、容易平面磁石と液体ヘリウム 4である。これらの臨界指数の値は、実験やモンテカルロ シミュレーションによって測定されるほか、くりこみ群や共形ブートストラップなどの量子場の理論の理論的手法によって計算することもできる。くりこみ群法は、XY モデルの臨界点がくりこみ群の固定点によって記述されると考えられるため適用可能である。共形ブートストラップ法は、3 次元のユニタリ共形場理論でもあると考えられるため適用可能である。

3次元XYモデルの最も重要な臨界指数は です。これらはすべて、複素秩序パラメータ場のスケーリング次元と、および主要なシングレット演算子のスケーリング次元 （ギンツブルグ・ランダウ記述と同じ）という2つの数値だけで表現できます。もう1つの重要な場は（ と同じ）で、その次元によってスケーリング補正指数 が決まります。共形ブートストラップ計算によると、^[15]これら3つの次元は次のように与えられます。 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\nu ,\eta }$${\displaystyle \Delta _{\phi }}$${\displaystyle \Delta _{s}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle |\phi |^{2}}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle |\phi |^{4}}$${\displaystyle \Delta _{s'}}$${\displaystyle \omega }$

これにより、臨界指数の値が次のように得られます。

モンテカルロ法は互換性のある決定を与える：^[16] 。 ${\displaystyle \eta =0.03810(8),\nu =0.67169(7),\omega =0.789(4)}$

• 古典ハイゼンベルクモデル
• クーロンガス
• ゴールドストーンボソン
• イジングモデル
• ポッツモデル
• nベクトルモデル
• コスターリッツ・サウレス転移
• トポロジカル欠陥
• 超流動フィルム
• シグマモデル
• サイン・ゴードンモデル

• エフゲニー・デミドフ「XY モデルにおける渦」 (2004)

• HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena（オックスフォード大学出版局、オックスフォードおよびニューヨーク、1971年）
• H. Kleinert、 「凝縮物質のゲージ場」、第 1 巻、「スーパーフローと渦線」、pp. 1–742、第 2 巻、「応力と欠陥」、pp. 743–1456、World Scientific (シンガポール、1989 年)、ペーパーバックISBN 9971-5-0210-0 (オンラインでも入手可能: 第 1 巻と第 2 巻) 

• リアルタイムXYモデルWebGLシミュレーション
• 3D グラフィックスを使用したイジング、XY、ハイゼンベルグ モデルのインタラクティブなモンテ カルロ シミュレーション (WebGL 対応ブラウザが必要)