半単純代数

数学の一分野である環論において、半単純代数は、自明なヤコブソン根号（代数の零元のみがヤコブソン根号に含まれる）を持つ体上の結合 アルティニアン代数である。代数が有限次元である場合、これは、代数が単純部分代数の直積として表現できると言うことと同等である。

体上の代数のヤコブソン根基は、すべての単純な左加群を消滅させるすべての元からなるイデアルです。根基にはすべての冪零イデアルが含まれ、代数が有限次元の場合、根基自体も冪零イデアルです。有限次元代数は、その根基にゼロ元のみが含まれる場合、半単純であると言われます。

代数Aは、適切なイデアルを持たず、A ² = { ab | a , b ∈ A } ≠ {0} である場合に単純であると呼ばれます。用語が示すように、単純な代数は半単純です。単純な代数Aの唯一の可能なイデアルは、 Aと {0}です。したがって、 Aが単純であれば、Aは冪零ではありません。 A ^{2 は}Aのイデアルであり、A は単純であるため、A ² = Aです。帰納法により、すべての正の整数nに対してA ⁿ = Aであり、つまりAは冪零ではありません。

複素要素を持つn × n行列の任意の自己随伴部分代数Aは半単純です。 Rad( A )をAの根号とします。行列Mが Rad( A ) に含まれるとします。すると、M*M はAの何らかの冪零イデアルに含まれるため、何らかの正の整数kに対して ( M*M ) ^k = 0 となります。 M*Mの半正定値性により、これはM*M = 0 を意味します。したがって、M x はすべてのxに対してゼロベクトル、つまりM = 0 です。

{ A _i } が単純代数の有限集合である場合、それらの直積 A=Π A _iは半単純です。 ( a _i ) が Rad( A )の元であり、 e _1がA ₁内の乗法単位元である場合(すべての単純代数は乗法単位元を持ちます)、 ( a ₁ , a ₂ , ...) · ( e ₁ , 0, ...) = ( a _{1 , 0..., 0) は Π} A _iの何らかの冪零イデアルに存在します。これは、A ₁内のすべてのbに対して、a ₁ bはA ₁内で冪零である、つまりa ₁ ∈ Rad( A ₁ ) であることを意味します。したがって、 a ₁ = 0 です。同様に、他のすべてのiに対してa _i = 0 です。

定義からはあまり明らかではありませんが、上記の逆も真です。つまり、任意の有限次元半単純代数は、有限個の単純代数の直積に同型です。

Aを有限次元半単純代数とし 、

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}\subset A}$

がAの合成系列である場合、A は次の直積と同型である:

${\displaystyle A\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}\times ...\times J_{n}/J_{n-1}\times A/J_{n}}$

それぞれの

${\displaystyle J_{i+1}/J_{i}\,}$

単純な代数です。

証明は次のように概略できる。まず、 Aが半単純であるという仮定を前提として、 J ₁が単純代数（したがって単位代数）であることを示すことができる。したがって、 J _{1 は単位部分代数であり、} J ₂のイデアルである。したがって、分解できる。

${\displaystyle J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}.}$

J ₁がJ ₂のイデアルとして最大であることと、 Aが半単純であることから、代数

${\displaystyle J_{2}/J_{1}\,}$

は単純である。同様の方法で帰納法を進めると、主張が証明される。例えば、J _{3 は}単純な代数の直積である 。

${\displaystyle J_{3}\simeq J_{2}\times J_{3}/J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}.}$

上記の結果は、別の方法で言い換えることができます。半単純代数A = A ₁ ×...× A _nをその単純因数で表す場合、単位e _i ∈ A _iを考えます。要素E _i = (0,..., e _i ,...,0) はAのべき等元であり、 Aの中心にあります。さらに、E _i A = A _i、i ≠ jに対してE _i E _j = 0 、および Σ E _i = 1 であり、 Aの乗法単位元です。

したがって、任意の半単純代数Aに対して、 Aの中心に冪等元 { E _i }が存在し、

1. E _i E _j = 0 for i ≠ j（このような冪等集合は中心直交集合と呼ばれる）
2. ΣE _i = 1,
3. A は単純代数E ₁ A ×...× E _n Aの直積に同型です。

ジョセフ・ウェダーバーンの定理は、体 上の有限次元半単純代数を完全に分類します。そのような代数はいずれも有限積に同型で、 は自然数、 は上の除算代数、 は上の行列の代数です。この積は因数の順列を除いて一意です。^[1]${\displaystyle k}$${\displaystyle \prod M_{n_{i}}(D_{i})}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$${\displaystyle D_{i}}$

この定理は後にエミール・アルティンによって半単純環に一般化されました。このより一般的な結果はウェダーバーン・アルティンの定理と呼ばれます。

シュプリンガー数学百科事典