適切な同値関係

数学の一分野である代数幾何学において、適切な同値関係とは、滑らかな射影多様体の代数サイクル上の同値関係であり、そのようなサイクル、特に明確に定義された交差積の適切に機能する理論を得るために使用される。ピエール・サミュエルは1958年に適切な同値関係の概念を定式化した。^[1]それ以来、それは動機の理論の中心となっている。適切な同値関係ごとに、その関係に関する 純粋動機のカテゴリを定義できる。

可能な（そして有用な）適切な同値関係には、有理数、代数、ホモロジー、数値の同値関係が含まれます。これらは、同値関係による除算が関数的であるため、つまり、サイクルのプッシュフォワード（余次元の変更を伴う）とプルバックが明確に定義されているため、「適切」と呼ばれます。余次元 1 のサイクルを法とする有理数同値性は、線型同値性に基づく古典的な因子群を形成します。すべてのサイクルを法とする有理数同値性は、Chow リングを形成します。

Z ^* ( X ) := Z [ X ] をXの代数サイクル上の自由アーベル群とします。適切な同値関係は、各滑らかな射影多様体Xに対して 1 つずつ、次の 3 つの条件を満たす、 Z ^* ( X )上の~ _Xの同値関係族です。

1. (線形性) 同値関係はサイクルの追加と互換性があります。
2. (移動補題) がX上の閉路である場合、 ~ _Xとが適切に交差するような閉路が存在する。${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z^{*}(X)}$${\displaystyle \alpha '\in Z^{*}(X)}$${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle \beta}$
3. (プッシュフォワード)と が適切に交差する閉路とします。~ _X 0 の場合、~ _Y 0 となり、 は射影です。${\displaystyle \alpha \in Z^{*}(X)}$${\displaystyle \beta \in Z^{*}(X\times Y)}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha \times Y}$${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle (\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$ ${\displaystyle \pi _{Y}:X\times Y\to Y}$

最後の公理におけるプッシュフォワードサイクルは、しばしば次のように表される。

${\displaystyle \beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))}$

が関数のグラフである場合、これは関数のプッシュフォワードに簡約されます。X から Y への関数の X × Y 上のサイクルへの一般化は、対応として知られています。最後の公理により、対応によってサイクルをプッシュフォワードできます。 ${\displaystyle \beta}$

最も一般的な同値関係を、最も強いものから最も弱いものの順に並べたものが次の表にまとめられています。

• クライマン、スティーブン L. (1972)、「動機」、オールト、F. (編)、代数幾何学、オスロ 1970 (第 5 回北欧数学夏期講習会議事録、オスロ、1970)、フローニンゲン: ウォルターズ・ノールドホフ、pp. 53–82、MR  0382267
• Jannsen, U. (2000)、「代数サイクルの同値関係」、代数サイクルの算術と幾何学、NATO、200、Kluwer Ac. Publ. Co.：225–260