正方形を完成させる

初等代数学において、平方完成とは、およびのある値に対して、⁠ ⁠の形式の2次多項式を${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c}$⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle a(xh)^{2}+k}$の形式に変換する手法です。^{[1]新しい量}⁠ ⁠に関して、この式は線形項のない2次多項式です。続いて⁠ ⁠ を分離して平方根を取ることで、2次問題が線形問題に簡約されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle xh}$${\displaystyle \textstyle (xh)^{2}}$

正方形完成という名前は、 ⁠ ⁠ が${\displaystyle x}$長さが不明である幾何学的図に由来しています。この場合、量⁠ ⁠ は${\displaystyle \textstyle x^{2}}$、辺⁠ ⁠の正方形の面積を表し、量⁠ ⁠ は、辺⁠ ⁠と⁠ ⁠ を持つ一対の同相な長方形の面積を表します。この正方形と一対の長方形に、辺の長さ⁠ ⁠の正方形がもう 1 つ追加されます。この重要なステップにより、辺の長さ⁠ ⁠のより大きな正方形が完成します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}}$${\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}}$${\displaystyle x+{\tfrac {b}{2a}}}$

平方完成法は、紀元前1800年から1600年頃の古代バビロニアの粘土板に記された、一般的な二次方程式を解く最も古い方法であり、今日でも初等代数学の授業で教えられている。また、二次関数のグラフ化や二次方程式の公式の導出、さらに一般的には二次多項式を含む計算、例えば指数に線形項を含むガウス積分を評価する微積分学やラプラス変換を求める計算にも用いられる。^{[ 2] [3]}

正方形を完成させる技術は古代バビロニア帝国で知られていた。^[5]

初期の代数学論文『アル・ジャブル』を著した有名な博学者ムハンマド・イブン・ムーサ・アル・フワーリズミーは、平方完成の技法を使って二次方程式を解いた。^[6]

二項式の平方を計算するための初等代数の公式は次のとおりです。 $${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

例えば： $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

完全な平方数では、xの係数は数値p の2 倍であり、定数項はp ²に等しくなります。

次の二次多項式を考えます。 $${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

この二次方程式は完全な平方数ではありません。28 は 5 の平方ではないからです。 $${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

ただし、元の二次方程式をこの平方と定数の和として表すこともできます。 $${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

これを平方完成といいます。

任意の単項二次方程式 が与えられた場合、 最初の 2 つの項が同じになる平方方程式を形成することが可能です。 $${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$$${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

この平方は、定数項の値のみが元の二次方程式と異なります。したがって、 と書くことができます 。この操作は平方完成と呼ばれます。例: $${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

形式の二次多項式が与えられた場合、 係数aを因数分解し、結果として得られる単項多項式に対して平方完成を行う ことができます。 $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$

例: 係数a を 因数分解するこのプロセスは、最初の 2 つの項のみを因数分解することでさらに簡略化できます。多項式の末尾の整数は含める必要はありません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

例： $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

これにより、任意の2次多項式を次の形式で記述することができる。 $${\displaystyle a(xh)^{2}+k.}$$

平方完成の結果は式として表される。一般的な場合、^[7]は 次 のように 表される。$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(xh)^{2}+k,}$$$${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$$

特に、a = 1 の とき 、 $${\displaystyle x^{2}+bx+c=(xh)^{2}+k,}$$$${\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=ch^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$$

方程式を について解き、得られた式を再構成すると、二次方程式の根を求める二次方程式の公式が得られます。 ${\displaystyle a(xh)^{2}+k=0}$${\displaystyle xh,}$$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

行列の場合も非常に似ています。 ここで、 および です。 は対称 でなければならないことに注意してください。 $${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(xh)^{\mathrm {T} }A(xh)+k}$$${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$${\displaystyle A}$

が対称でない場合、およびの公式は次のように一般化される必要があります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=ch^{\mathrm {T} }Ah=cb^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$$

解析幾何学では、任意の二次関数のグラフはxy平面上の放物線になります。 形式の二次多項式が与えられた場合、数値 h と k は放物線の頂点 (または静止点 ) の直交座標として解釈できます。つまり 、hは対称軸のx座標(つまり、対称軸の方程式はx = hです)、k は 二次関数の 最小値( a < 0の場合は最大値)です。$${\displaystyle a(xh)^{2}+k}$$

これを理解する一つの方法は、関数f ( x ) = x ²のグラフが、頂点が原点 (0, 0) にある放物線であることに注目することです。したがって、関数f ( x − h ) = ( x − h ) ²のグラフは、上の図に示すように、頂点が ( h , 0 ) にある、 hだけ右にシフトした放物線です。対照的に、関数f ( x ) + k = x ² + kのグラフは、中央の図に示すように、頂点が(0, k )にある、 kだけ上にシフトした放物線です。水平シフトと垂直シフトの両方を組み合わせると、f ( x − h ) + k = ( x − h ) ² + kは、下の図に示すように、頂点が( h , k )にある、 hだけ右に、 k だけ上にシフトした放物線になります。

平方完成法は、あらゆる二次方程式を解くために使用できます。例: $${\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}$$

最初のステップは正方形を完成させることです。 $${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$$

次に、二乗項を解きます。 $${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$$

すると、どちらかであり 、したがって $${\displaystyle x+3=-2\quad {\text{または}}\quad x+3=2,}$$$${\displaystyle x=-5\quad {\text{または}}\quad x=-1.}$$

これは、あらゆる二次方程式に適用できます。x ²に1 以外の係数がある場合、最初のステップは、この係数で方程式を割ることです。例として、以下の非モニック ケースを参照してください。

方程式を因数分解する方法は根が有理数である場合にのみ信頼できますが、平方完成法では、根が無理数または複素数であっても二次方程式の根を見つけることができます。たとえば、次の方程式を考えてみましょう。 $${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

平方完成すると 次のよう に なる。$${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$$${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$$${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{または}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

もっと 簡潔に言うと、 $${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$$${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

複素根を持つ方程式も同様に扱うことができます。例: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

非単調な二次方程式を含む方程式を解くための最初のステップは、 x ²の係数で割ることです。例:

$${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}$$

この手順を二次方程式の一般形に適用すると、二次方程式の公式が得られます。

平方完成法は、 基本積分を使用して 形式の任意の積分を評価するために使用できます。$${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

例えば、積分 $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

分母の平方完成は次のようになります。 $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

これをu  =  x  + 3 の代入 を使って評価すると、次の式が得られます。$${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

zとbが複素数、z ^*とb ^*がそれぞれzとbの複素共役、c が実数である式 を考えてみましょう 。恒等式 | u | ² = uu ^{* を}使ってこれを書き直すと、 明らかに実数になります。これは 、$${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$$${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

別の例として、 a、b、c、x、yが実数で、 a > 0 かつ b > 0 の場合 、複素数 の絶対値 の 2乗で表すことができます。定義$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$$${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

それで ​ $${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

行列Mは、 M ² = M のとき冪等です。冪等行列は、0 と 1 の冪等性を一般化します。方程式を平方法で処理すると 、冪等な 2×2 行列の一部が( a , b ) 平面の​​円 でパラメータ化されることがわかります。 $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$

行列は、平方完成すると となるという 条件でべき等行列 になります。 ( a , b ) 平面では、これは中心が (1/2, 0)、半径が 1/2 の円の方程式です。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$

方程式の平方完成を考える $${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$$

x ^{2 は長さ}xの辺を持つ正方形の面積を表し、bx は辺がbとxの長方形の面積を表すため、正方形を完成するプロセスは長方形の視覚的な操作として考えることができます。

x ²とbx の長方形を単純に組み合わせて大きな正方形を作ろうとすると、角が欠けてしまいます。上の式の各辺に加算される項 ( b /2) ²は、欠けている角の面積そのものであり、そこから「正方形を完成する」という用語が生まれます。^[8]

従来教えられているように、平方完成とは、3 番目の項v ²を に加えて平方数を得ること です。中間の項 2 uvまたは −2 uvを に加えて平方数を 得る 場合もあります 。 $${\displaystyle u^{2}+2uv}$$$${\displaystyle u^{2}+v^{2}}$$

と書くことで 、正の数xとその逆数の合計は常に 2 以上であることがわかります。実数の平方は常に 0 以上であり、これによって前述の境界が得られます。ここでは、xが 1 のときに 2 になり、平方が消えます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$

多項式を因数分解する問題を考えてみましょう $${\displaystyle x^{4}+324.}$$

こうする と、中間の項は 2( x ² )(18) = 36 x ²になります。したがって、次の式が得られます (最後の行は、項の次数が減少するという慣例に従うためだけに追加されています)。 $${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$

同じ議論から、 は常に として因数分解可能である ことが分かります (ソフィー・ジェルマンの恒等 式 とも呼ばれます)。 ${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$$${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$

「平方完成」とは、2次多項式の最初の2つの項が1次多項式の平方の最初の項でもあることに気づき、これを利用して2次多項式を平方と定数の和として表すことです。

立方完成法は、3 次多項式を2 次項のない 3 次多項式に 変換できる同様の手法です。

もっと正確に言えば、

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

はxの多項式であり、その最初の2つの項は、 ${\displaystyle a\neq 0,}$

${\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}=ax^{3}+bx^{2}+x\,{\frac {b^{2}}{3a}}+{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}.}$

つまり、変数の変更

${\displaystyle t=x+{\frac {b}{3a}}}$

は、2次項のない3 次多項式を提供します。これは、元の多項式の 押下形と呼ばれます。${\displaystyle t}$

この変換は、一般的に、一般三次方程式を解く方法の最初のステップです。

より一般的には、同様の変換は次数 の多項式から次数 の項を削除するために使用でき、これはチルンハウス変換と呼ばれます。 ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

• 代数 1、Glencoe、ISBN 0-07-825083-8、539～544ページ 
• 代数 2、サクソン、ISBN 0-939798-62-X、214–214、241–242、256–257、398–401 ページ 

ウィキメディア・コモンズには、平方完成に関連するメディアがあります。

• PlanetMathで平方完成をします。