超二次曲面

数学において、超二次曲面または超二次曲面（超二次曲線とも）は、楕円体やその他の二次曲面の公式に似た公式で定義される幾何学的形状のグループであるが、二乗演算が任意の累乗に置き換えられている。これらは、超楕円の 3 次元版と見なすことができる。この用語は、文脈に応じて、立体またはその表面を指す場合がある。以下の方程式は表面を指定し、立体は等号を以下記号に置き換えることで指定される。

超二次曲面には、丸い角や鋭い角を持つ、立方体、八面体、円柱、菱形、紡錘形に似た多くの形状が含まれます。 ^[1]柔軟性と比較的単純なため、特にコンピュータグラフィックスでは、人気の高い幾何学的モデリングツールです。コンピュータビジョン、 ^{[2] [3]}ロボット工学、^[4]物理シミュレーションで広く使用されている重要な幾何学的プリミティブになります。^[5]

アラン・バーなどの一部の著者は、「スーパー二次曲面」をスーパー楕円体とスーパートロイドの両方を含むものとして定義しています。^{[1] [6]}現代のコンピュータビジョンの文献では、スーパー楕円体がすべてのスーパー二次曲面の中で最も代表的で広く使用されている形状であるため、スーパー二次曲面とスーパー楕円体は互換的に使用されています。 ^{[2] [3]スーパー二次曲面の幾何学的特性と、}距離画像やポイントクラウドからの回復方法については、いくつかのコンピュータビジョンの文献で包括的に取り上げられています。^{[1] [3] [7] [8]}

基本的な超二次曲面は次のように表される。

${\displaystyle \left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1}$

ここで、r、s、t は、超二次曲面の主な特徴を決定する正の実数です。つまり、

• 1 未満:凹面 と鋭いエッジを持つように修正された尖った八面体。
• 正確に 1: 正八面体。
• 1 と 2 の間: 凸面、鈍い辺、鈍い角を持つように修正された八面体。
• ちょうど2: 球
• 2 より大きい: 角と辺が丸くなるように修正された立方体。
• 無限（極限）：立方体

各指数は独立して変化し、複合形状が得られます。たとえば、r = s =2、t =4 の場合、円形の断面を持ち両端が平らな楕円体に似た回転体が得られます。この式は、 r  =  sの場合に限り、超楕円体の式の特殊なケースです。

指数が負になることを許すと、形状は無限大に拡張されます。このような形状は、超双曲面と呼ばれることもあります。

上記の基本形状は、各座標軸に沿って -1 から +1 まで広がります。一般的な超二次曲面は、この基本形状を各軸に沿って異なる量A、B、Cで拡大縮小した結果です。その一般的な方程式は

${\displaystyle \left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{s}+\left|{\frac {z}{C}}\right|^{t}=1.}$

表面パラメータuとv（mが2の場合は経度と緯度に相当） に関するパラメトリック方程式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ag\left(v,{\frac {2}{r}}\right)g\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bg\left(v,{\frac {2}{s}}\right)f\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cf\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}}$

補助関数 は

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\sin \omega )\left|\sin \omega \right|^{m}\\g(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\cos \omega )\left|\cos \omega \right|^{m}\end{aligned}}}$

そして符号関数sgn( x )は

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}}$

Barr は、与えられた 2 つの平面曲線から 3D サーフェスを生成する 球面積を導入しました。 が 2 つの平面曲線である場合、球面積は、 これは球 の典型的なパラメトリック方程式に似ています。 これが球面積という名前を生み出しています。 $${\displaystyle f(\mu )={\begin{pmatrix}f_{1}(\mu )\\f_{2}(\mu )\end{pmatrix}},\quad g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle h(\mu ,\nu )=f(\mu )\otimes g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\ f_{1}(\mu )\\g_{1}(\nu )\ f_{2}(\mu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \end{aligned}}}$$

バーは球面積を使って楕円体や双曲面などの二次曲面を定義し、またトーラス、 超楕円体、1枚と2枚の超二次双曲面、超トーラスも定義している。^[1]

次のGNU Octaveコードは、スーパー二次曲面のメッシュ近似を生成します。

超二次関数( ε,a ) n = 50 ;エタマックス= pi / 2 ;エタミン= - pi / 2 ; wmax =パイ; wmin = - pi ;デタ= (エタマックス-エタミン) / n ; dw = ( wmax - wmin ) / n ; [ i , j ] =メッシュグリッド( 1 : n + 1 , 1 : n + 1 ) eta = etamin + ( i - 1 ) * deta ; w = wmin + ( j - 1 ) * dw ; x = a ( 1 ) .* sign ( cos ( eta )) .* abs ( cos ( eta )) .^イプシロン( 1 ) .* sign ( cos ( w )) .* abs ( cos ( w )) .^イプシロン( 1 ); y = a ( 2 ) .* sign ( cos (イータ)) .* abs ( cos (イータ)) .^イプシロン( 2 ) .* sign ( sin ( w )) .* abs ( sin ( w )) .^イプシロン( 2 ); z = a ( 3 ) .*符号( sin (イータ)) .*絶対値( sin 
    
    
    
    
    
    
    
    
        
          
            
            
        ( η )) .^イプシロン( 3 );

  メッシュ( x , y , z );
終了

• スーパーエッグ
• 超楕円体
• 楕円

• 参考文献: 超四次表現
• 超二次テンソルグリフ
• スーパー四角形楕円体とトロイド、OpenGL ライティング、タイミング
• Robert Kragler による Superquadrics、Wolfram Demonstrations Project。
• Python のスーパー二次関数
• Python と MATLAB でのスーパー二次関数の回復アルゴリズム