関数の弾力性

数学では、正の変数（正の入力、正の出力）の正の微分可能関数fの点aにおける弾性または点弾性^[1]は次のように定義されます^[2]。

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {f(x)}{f(a)}}-1}{{\frac {x}{a}}-1}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}}$

または同等

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.}$

これは、点からの微小変化に対する関数の出力の相対的（パーセンテージ）変化とその入力の相対的変化の比である。同様に、これは関数の対数の微小変化と引数の対数の微小変化の比である。文献には、多入力多出力の場合への一般化も存在する。^{[3] [4]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (a,f(a))}$

関数の弾性は、関数が定数に対して という形式を持つ場合にのみ定数になります。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f(x)=Cx^{\alpha }}$${\displaystyle C>0}$

ある点における弾性は、2 点間の距離がゼロに近づくにつれて、2 点間の 円弧弾性の限界になります。

弾力性の概念は、経済学や代謝制御分析(MCA)で広く使用されています。詳細については、それぞれ 「弾力性 (経済学)」および「弾性係数」を参照してください。

積と商の弾力性を求める規則は、微分の場合よりも単純である。^[5] f、gを微分可能と する。すると^[2]

${\displaystyle E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)}$

${\displaystyle E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg(x)}$

${\displaystyle E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x)}}}$

${\displaystyle E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)-g(x)}}}$

導関数は弾性の観点から次のように表される。

${\displaystyle Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}}$

aとbを定数とする。すると

${\displaystyle E(a)=0\ }$

${\displaystyle E(a\cdot f(x))=Ef(x)}$、

${\displaystyle E(bx^{a})=a\ }$。

経済学では、需要の価格弾力性は需要関数 Q ( P )の弾力性を指し、(dQ/dP)/(Q(P)/P) または限界関数の値(dQ/dP) と平均関数の値 (Q(P)/P) の比として表すことができます。この関係により、特定のポイントで需要曲線が弾力性があるか非弾力性があるかを簡単に判断できます。まず、数学の通常の慣例に従って、独立変数 (P) を水平に、従属変数 (Q) を垂直にプロットするとします。すると、そのポイントで曲線に接する線の傾きが、そのポイントでの限界関数の値になります。原点からそのポイントを通って引いた直線の傾きが、平均関数の値です。接線の傾きの絶対値が直線の傾きよりも大きい場合、そのポイントで関数は弾力性があります。もし、割線の傾きが接線の傾きの絶対値よりも大きい場合、曲線はその点で非弾性である。^[6]接線を水平軸まで延長すると、問題は単に線と水平軸によって作られる角度を比較するだけになる。限界角が平均角よりも大きい場合、関数はその点で弾性である。限界角が平均角よりも小さい場合、関数はその点で非弾性である。しかし、経済学者が採用している慣例に従い、独立変数Pを垂直軸に、従属変数Qを水平軸にプロットすると、逆のルールが適用される。

同じグラフィカル手順は、供給機能やその他の機能にも適用できます。

半弾性（または半弾性）は、xの変化（パーセント単位ではない）に基づいてf(x)のパーセンテージ変化を表します。代数的には、点xにおける関数fの半弾性 S は^{[7] [8]}です。

${\displaystyle Sf(x)={\frac {1}{f(x)}}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}}$

半弾性は、次の形式の指数関数では一定となる。 ${\displaystyle f(x)=C\alpha ^{x}}$

${\displaystyle \ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}}=\ln {C}+x\ln {\alpha }\implies {\frac {d\ln {f}}{dx}}=\ln {\alpha }.}$

半弾性の一例としては、債券取引における 修正デュレーションが挙げられます。

文献では逆の定義が使われることもある。つまり、「半弾性」という用語は、 f(x)の変化（パーセンテージではない）をxのパーセンテージ変化で表すときに使われることもある ^[9]。

${\displaystyle {\frac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}}x}$

• アーク弾性
• 弾力性（経済学）
• 弾性係数（生化学）
• 同次関数
• 対数微分

• ニーバーゲルト、イヴ（1983）。「経済における弾力性の概念」。SIAMレビュー。25 （2）：261-265。doi ： 10.1137/1025049。