順序指数

順序付き指数関数は、パス順序付き指数関数とも呼ばれ、非可換代数で定義される数学演算であり、可換代数における積分の指数関数と同等です。実際には、順序付き指数関数は行列代数と作用素代数で使用されます。これは積積分、またはボルテラ積分 の一種です。

A を体K上の代数とし、a ( t )を実数で パラメータ化されたAの要素とする 。

${\displaystyle a:\mathbb {R} \to A.}$

a ( t )のパラメータtは、この文脈では時間パラメータと呼ばれることがよくあります。

aの順序指数は次のように表される 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}dt'_{1}\cdots \int _{0}^{t}dt'_{n}\;{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}dt'_{1}\int _{0}^{t'_{1}}dt'_{2}\int _{0}^{t'_{2}}dt'_{3}\cdots \int _{0}^{t'_{n-1}}dt'_{n}\;a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\end{aligned}}}$

ここで、 n = 0 の項は1 に等しく、 は時間順序付け演算子です。これは、指数が時間順序付けされることを保証する高階演算であり、指数の展開で発生するa ( t )の積は、積の右から左に向かってtの値が増加するように順序付けられます。例: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$

代数における積は必ずしも可換ではないため、時間順序付けが必要です。

この操作は、パラメータ化された要素を別のパラメータ化された要素にマッピングするか、またはシンボリックにマッピングします。

${\displaystyle \operatorname {OE} \mathrel {:} (\mathbb {R} \to A)\to (\mathbb {R} \to A).}$

この積分をより厳密に定義する方法はいくつかあります。

順序付けられた指数関数は、無限小指数関数の左積分として定義できます。または、同様に、項の数が無限大に増える 極限での指数関数の順序付けられた積として定義できます。

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\to \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)}$

ここで、時間モーメント{ t ₀ , ..., t _N }は、 i = 0, ..., Nに対してt _i ≡ i Δ t、およびΔ t ≡ t / Nとして定義されます。

順序付けられた指数関数は、実際には幾何積分である^{[壊れたアンカー]}。^{[1] [2] [3]}

順序指数関数は初期値問題の唯一の解である:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)&=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\\[5pt]\operatorname {OE} [a](0)&=1.\end{aligned}}}$

順序付き指数関数は積分方程式の解である:

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} [a](t')\,dt'.}$

この方程式は、前の初期値問題と同等です。

順序指数は無限和として定義できる。

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\;a(t_{1})a(t_{2})+\cdots .}$

これは、積分方程式をそれ自体に再帰的に代入することによって導くことができます。

群変換を伴う多様体 に対して点 が成り立つ場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle e\in TM}$${\displaystyle g:e\mapsto ge}$${\displaystyle x\in M}$

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}$

ここで、は外微分を表し、は に作用する接続演算子（1形式体）です。上式を積分すると、次が成立します（ここで、は座標基底で表現された接続演算子です） ${\displaystyle d}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle e(x)}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

経路順序付け演算子は、因子を経路の順に順序付けます。 は反対称演算子であり、 は辺の長さと頂点が上の点にある無限小の長方形である特殊なケースでは、式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \operatorname {P} }$${\displaystyle \gamma (t)\in M}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle |u|,|v|}$${\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}}$

したがって、これは群変換恒等式 を保持します。が滑らかな接続である場合、上記の量を無限小量の 2 次まで拡張すると、順序付けられた指数に対して、曲率テンソルに比例する補正項を持つ恒等式が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$${\displaystyle |u|,|v|}$

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