空間曲線、ベクトルT 、N 、B T N 接触平面 微分幾何学 において、フレネ・セレの公式は 、 3次元ユークリッド空間内の微分可能な 曲線 に沿って運動する粒子の運動学的 性質を記述する。R 3 、 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},} 接線、法線、従法線 単位ベクトルの 導関数を 互いの関係で表している。これらの公式は、それぞれ独立に発見した2人のフランス人数学者、ジャン・フレデリック・フレネ （ 1847年の論文）とジョゼフ・アルフレッド・セレ （1851年）にちなんで名付けられている。これらの公式を記述するために現在用いられているベクトル表記法 や線形代数は、発見当時はまだ存在していなかった。
接線、法線、および従法線の単位ベクトルは、しばしばT N B フレネ・セレ基底 （またはTNB 基底 ）と呼ばれ、一緒に正規直交 基底 を形成し、R 3 、 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
上記の基礎と曲線上の評価点における原点を組み合わせることで、 移動フレーム 、すなわちフレネ・セレフレーム （またはTNBフレーム ）が定義される。
フレネ・セレの公式は以下のとおりです。 d T d s = κ N 、 d N d s = − κ T + τ B 、 d B d s = − τ N 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}} d d s \displaystyle {\tfrac {d}{ds}}} κ は曲率 、τ は空間曲線のねじれ です。（直感的には、曲率は曲線が直線でない度合いを測り、ねじれは曲線が平面でない度合いを測ります。） 2 つのスカラー κとτ を 組み合わせたTNB 基底は、まとめてフレネ・セレ装置 と呼ばれます。
定義 平面曲線上の2点におけるTベクトル Nベクトル
2コマ目の翻訳版。
T ：δT '
δs は点間の距離です。極限ではd T d s {\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}} はN r ( t )ユークリッド空間 内の曲線 とし、粒子の位置ベクトルを時間の関数として表すとする。フレネ・セレの公式は 非退化曲線に適用され、これはおおよそ非ゼロ 曲率 を持つことを意味する。より厳密には、この場合、速度 ベクトルr ′ ( t ) と加速度 ベクトルr ′ ′ ( t ) は比例しないことが求められる。
s ( t )tの間に 曲線に沿って移動した 弧長 を表すものとする。量s は、粒子の軌跡によって描かれる曲線に弧長による自然なパラメータ化（すなわち 弧長パラメータ化 ）を与えるために用いられる。なぜなら、多くの異なる粒子経路が異なる速度で同じ幾何学的曲線をたどることで、同じ曲線を描く可能性があるからである。具体的には、s は次のように与えられる 。s （ t ） = ∫ 0 t ‖ r ′ （ σ ） ‖ d σ 。 {\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .} さらに、 r ′ ≠0s ( t )は厳密に単調増加関数であることがわかります。したがって、 tを s の関数として解くことができ、 r ( s ) = r ( t ( s ))
弧長によってパラメータ化された非退化曲線r ( s )フレネ・セレフレーム （またはTNB フレーム
接線単位ベクトルT T := d r d s 。 {\displaystyle \mathbf {T} :={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}。 法線単位ベクトルN N := d T d s ‖ d T d s ‖ 、 {\displaystyle \mathbf {N} :={{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}} \over \left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|},} T 大きさ を持つので、Tの長さは変化しないので、 N ( T Tに垂直であることがわかります。 曲 κ = ‖ d T d s ‖ {\displaystyle \kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|} 従法線単位ベクトルBは、 T N 外積 として定義される。 B := T × N 、 {\displaystyle \mathbf {B} :=\mathbf {T} \times \mathbf {N} ,} らせん に沿って移動するフレネ・セレフレーム。Tは N B このことから、 Bは T Nの T 、N 、Bは
フレネ・セレの公式は 以下のとおりです。
d T d s = κ N 、 d N d s = − κ T + τ B 、 d B d s = − τ N 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}
ここでκ 曲率 、τ はねじれ である。
フレネ・セレの公式はフレネ・セレの定理 とも呼ばれ、行列表記を用いてより簡潔に表現することができる。[ 1 ] [ T ′ N ′ B ′ ] = [ 0 κ 0 − κ 0 τ 0 − τ 0 ] [ T N B ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
この行列は歪対称行列 です。
フレネ・セレの公式は、1874年にカミーユ・ジョルダン によって高次元ユークリッド空間に一般化された。
r ( s )R n 、 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} また、 r n 個の導関数は線形独立である。[ 2 ] ( r ′ ( s ), r ′ ′ ( s ), ..., r ( n ) ( s ))に グラム・シュミット法 を適用して構築された正規直交基底 である。
詳細には、単位接線ベクトルは第1フレネベクトルe 1 ( s )
e 1 （ s ） = e 1 ¯ （ s ） ‖ e 1 ¯ （ s ） ‖ {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}}
どこ
e 1 ¯ （ s ） = r ′ （ s ） {\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)}
法線ベクトル（ 曲率ベクトル とも呼ばれる）は、曲線が直線からどれだけずれているかを示す。それは次のように定義される。 e 2 ¯ （ s ） = r 」 （ s ） − ⟨ r 」 （ s ） 、 e 1 （ s ） ⟩ e 1 （ s ） {\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)}
その正規化された形式である単位法線ベクトル は、第2フレネベクトルe 2 ( s )
e 2 （ s ） = e 2 ¯ （ s ） ‖ e 2 ¯ （ s ） ‖ {\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}}
点s における接線と法線ベクトルは、点r ( s ) における接触面
フレーム内の残りのベクトル（バイノーマル、トライノーマルなど）は、同様に定義される。
e j （ s ） = e j ¯ （ s ） ‖ e j ¯ （ s ） ‖ 、 e j ¯ （ s ） = r （ j ） （ s ） − ∑ 私 = 1 j − 1 ⟨ r （ j ） （ s ） 、 e 私 （ s ） ⟩ e 私 （ s ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}},\\{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)&=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}} フレーム内の最後のベクトルは、最初のn − 1 個e n （ s ） = e 1 （ s ） × e 2 （ s ） × ⋯ × e n − 2 （ s ） × e n − 1 （ s ） {\displaystyle \mathbf {e} _{n}(s)=\mathbf {e} _{1}(s)\times \mathbf {e} _{2}(s)\times \dots \times \mathbf {e} _{n-2}(s)\times \mathbf {e} _{n-1}(s)}
厳密に言えば、ベクトル外積は3次元空間でのみ定義される。その一般化は外積から得られる。 ∧ {\displaystyle \wedge } ホッジのデュアル ⋆ {\displaystyle \star } 外積代数 において。 e n （ s ） {\displaystyle \mathbf {e} _{n}(s)} ホッジ双対で あるe 1 （ s ） ∧ e 2 （ s ） ∧ ... ∧ e n − 2 （ s ） ∧ e n − 1 （ s ） {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)\,\wedge \,\mathbf {e} _{2}(s)\,\wedge \,{\text{...}}\,\wedge \,\mathbf {e} _{n-2}(s)\wedge \mathbf {e} _{n-1}(s)}
もっと簡単に言うと、e n （ s ） {\displaystyle \mathbf {e} _{n}(s)} { e 1 （ s ） 、 e 2 （ s ） 、 ... 、 e n − 1 （ s ） } {\displaystyle \mathbf {\{} e_{1}(s){\text{,}}\,e_{2}(s){\text{,}}\,{\text{...}}\,{\text{,}}\,e_{n-1}(s)\}} { e 1 （ s ） 、 e 2 （ s ） 、 ... 、 e n （ s ） } {\displaystyle \mathbf {\{} e_{1}(s){\text{,}}\,e_{2}(s){\text{,}}\,{\text{...}}\,{\text{,}}\,e_{n}(s)\}}
以下で使用される実数値関数χ i ( s )は一般化曲率 と呼ばれ、次のように定義されます。
χ 私 （ s ） = ⟨ e 私 ′ （ s ） 、 e 私 + 1 （ s ） ⟩ {\displaystyle \chi _{i}(s)=\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle }
行列形式で表したフレネ・セレの公式は以下のとおりである。
[ e 1 ′ （ s ） ⋮ e n ′ （ s ） ] = [ 0 χ 1 （ s ） 0 0 − χ 1 （ s ） ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ ⋱ χ n − 1 （ s ） 0 0 − χ n − 1 （ s ） 0 ] [ e 1 （ s ） ⋮ e n （ s ） ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}}
ここで定義されている一般化曲率とフレームは、他の資料で見られる慣例とは若干異なる場合があることに注意してください。上部曲率χ n −1e n 向き によって決まります) だけ異なります。r （ 1 ） 、 … 、 r （ n ） {\displaystyle \mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}} ) 通常のねじれとは異なります。フレネ・セレの公式は、 χ n −1e n r
第一のフレネ・セレの公式は、法線ベクトルN κ の定義により成り立ち、第三のフレネ・セレの公式は、ねじれ角τ の定義により成り立つ。したがって、必要なのは第二のフレネ・セレの公式を示すことである。
T 、N 、B B = T × N T = N × B N = B × T s で微分すると、
∂ N ∂ s = （ ∂ B ∂ s ） × T + B × （ ∂ T ∂ s ） {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}=\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}\right)\times \mathbf {T} +\mathbf {B} \times \left({\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}\right)}
それを使って∂ B ∂ s = − τ N {\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}=-\tau \mathbf {N} } ∂ T ∂ s = κ N 、 {\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}=\kappa \mathbf {N} ,}
∂ N ∂ s = − τ （ N × T ） + κ （ B × N ） = τ B − κ T {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}&=-\tau (\mathbf {N} \times \mathbf {T} )+\kappa (\mathbf {B} \times \mathbf {N} )\\&=\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} \end{aligned}}}
これはまさにフレネ・セレの2番目の公式である。
別の証明 定義するd T d s = κ N {\displaystyle {\frac {d\,\mathbf {T} }{d\,s}}=\kappa \,\mathbf {N} } N {\displaystyle \mathbf {N} } T {\displaystyle \mathbf {T} } d d s （ T ⋅ T ） = 0 {\displaystyle {\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )\,=\,0} T {\displaystyle \mathbf {T} }
以来T 、 N 、 B {\displaystyle \mathbf {T} {\text{,}}\,\mathbf {N} {\text{,}}\,\mathbf {B} } d d s （ T ⋅ N ） = 0 d d s （ N ⋅ N ） = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {N} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\end{aligned}}} d N d s = 1 T + b N + c B {\displaystyle {\frac {d\,\mathbf {N} }{d\,s}}=a\,\mathbf {T} +b\,\mathbf {N} +c\,\mathbf {B} } 1 + κ = 0 b = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}a+\kappa \,&=\,0\\b\,&=\,0\end{aligned}}} d N d s = − κ T + c B {\displaystyle {\frac {d\,\mathbf {N} }{d\,s}}=-\kappa \,\mathbf {T} +c\,\mathbf {B} }
同様に、d B d s = d T + e N + f B {\displaystyle {\frac {d\,\mathbf {B} }{d\,s}}=d\,\mathbf {T} +e\,\mathbf {N} +f\,\mathbf {B} } T 、 N 、 B {\displaystyle \mathbf {T} {\text{,}}\,\mathbf {N} {\text{,}}\,\mathbf {B} } d d s （ B ⋅ T ） = 0 d d s （ B ⋅ N ） = 0 d d s （ B ⋅ B ） = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {T} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )\,&=\,0\end{aligned}}}
これらの式から、次のことが導かれる。 d = 0 e + c = 0 f = 0 ⇒ d B d s = − c N {\displaystyle {\begin{aligned}d\,&=\,0\\e+c\,&=\,0\\f\,&=\,0\;\Rightarrow \\\mathbf {\frac {d\,\mathbf {B} }{d\,s}} \,&=\,-c\,\mathbf {N} \end{aligned}}} c → τ {\displaystyle c\rightarrow \tau }
応用と解釈
フレームの運動学 空間内の螺旋 に沿って移動するフレネ・セレフレーム 接線T N B 正規直交基底 を形成します。曲線の各点において、このフレームは基準フレーム 、すなわち直交 座標系 を付与します （図を参照）。
フレネ・セレの公式は運動学的 解釈が可能である。観測者が曲線に沿って時間とともに移動し、各点に固定された座標系を自身の座標系として使用すると想像してみよう。フレネ・セレの公式によれば、観測者が曲線に沿って移動するにつれて、この座標系は常に回転している。したがって、この座標系は常に非慣性系 である。観測者の座標系の角運動量は、その座標系の ダルブーベクトル に比例する。
軸が従法線に沿っているコマは角速度κ τ 具体的に、観測者が曲線に沿って（慣性）コマ （またはジャイロスコープ）を携えていると仮定します。コマの軸が曲線の接線方向を向いている場合、観測者の非慣性座標系に対して、コマは軸を中心に 角速度 −τ で回転しているように見えます。一方、コマの軸が従法線方向を向いている場合、コマは角速度 −κ で回転しているように見えます。これは、曲率が正の定数でねじれがゼロの場合に容易に視覚化できます。この場合、観測者は等速円運動 をしています。コマが従法線方向を向いている場合、角運動量保存則 により、コマは円運動とは逆 方向に回転しなければなりません。曲率がゼロになる極限の場合、観測者の法線は 接線ベクトルを中心に歳差運動し、同様にコマはこの歳差運動とは逆方向に回転します。
一般的な例を以下に示します。ウィキメディアにはさらに多くの 図解があります。
アプリケーション フレームの運動学は、科学分野において多くの応用例がある。
生命科学 、特に微生物の運動モデルでは、粘性媒体中を移動する生物が方向を変えるメカニズムを説明するためにフレネ・セレの枠組みが用いられてきた。[ 3 ] 物理学では、フレネ・セレ座標系は、軌道に自然な座標系を割り当てることが不可能または不便な場合に有用です。これは、例えば相対性理論 においてよく見られるケースです。この枠組みの中で、フレネ・セレ座標系は、重力井戸内のジャイロスコープの歳差運動をモデル化するために使用されてきました。[ 4 ]
フレネ・セレの公式は、多変数微積分学の講義で 、 らせん などの空間曲線の研究の補助として頻繁に紹介されます。らせんは、1回転の高さ2πh と半径r で特徴付けられます。一定半径のらせんの曲率とねじれは、次の式で与えられます。 κ = r r 2 + h 2 τ = ± h r 2 + h 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}}
空間内の2つのらせん（スリンキー）。(a) 曲率が高くねじれが低い、よりコンパクトならせん。(b) ねじれはやや高いが曲率は低い、引き伸ばされたらせん。 ねじれの符号は、らせんが中心軸を中心に回転する右巻きか左巻きかによって決まります。具体的には、高さ 2π h 、半径r の右巻きらせんの 1 回転のパラメータ化は次のようになります 。x = r コス t y = r 罪 t z = h t （ 0 ≤ t ≤ 2 π ） {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi )\end{aligned}}} x = r コス t y = − r 罪 t z = h t （ 0 ≤ t ≤ 2 π ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=-r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi ).\end{aligned}}} x 、y 、z h 2 + r 2 {\displaystyle {\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}
ルディ・ラッカー [ 5 ] スリンキー のモデルを用いている。彼によれば、スリンキーは、その量が A 2 = h 2 + r 2 {\displaystyle A^{2}=h^{2}+r^{2}} 2πhは スリンキーの 1 回のねじれの高さ、r は 半径です。）特に、曲率とねじれは相補的であり、スリンキーを伸ばすことで曲率を犠牲にしてねじれを増やすことができます。
テイラー展開 曲線を繰り返し微分し、フレネ・セレの公式を適用すると、曲線が弧長でパラメータ化されている場合、s = 0 付近の曲線に対して次のテイラー近似が得られます。 [ 6 ] r （ s ） = r （ 0 ） + （ s − s 3 κ 2 （ 0 ） 6 ） T （ 0 ） + （ s 2 κ （ 0 ） 2 + s 3 κ ′ （ 0 ） 6 ） N （ 0 ） + （ s 3 κ （ 0 ） τ （ 0 ） 6 ） B （ 0 ） + o （ s 3 ） 。 {\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).}
非零のねじれを持つ一般的な曲線の場合、 s = 0における T 、N 、B
接触面 T N を含む 平面のことである。この平面への曲線の投影は次のようになる。r （ 0 ） + s T （ 0 ） + s 2 κ （ 0 ） 2 N （ 0 ） + o （ s 2 ） 。 {\displaystyle \mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).} O ( s² ) 放物線 であり、0 における曲率はκ (0)に等しい。接触面は 、 曲線から接触面までの距離がO ( s³ ) であるのに対し、曲線から他のどの平面までの距離もO ( s² )より小さくならないという特別な性質を持つ。これは上記のテイラー展開からわかる。したがって 、ある意味で接触面は 、 法線平面とは、 N B r （ 0 ） + （ s 2 κ （ 0 ） 2 + s 3 κ ′ （ 0 ） 6 ） N （ 0 ） + （ s 3 κ （ 0 ） τ （ 0 ） 6 ） B （ 0 ） + o （ s 3 ） {\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})} o ( s 3 )の 尖点三次関数 です。 整流平面 とは、 T B r （ 0 ） + （ s − s 3 κ 2 （ 0 ） 6 ） T （ 0 ） + （ s 3 κ （ 0 ） τ （ 0 ） 6 ） B （ 0 ） + o （ s 3 ） {\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})} o ( s 3 )までの 三次多項式 のグラフをトレースします。
リボンとチューブ 一定のねじれ角と大きく振動する曲率を持つ曲線によって定義されるリボン。曲線の弧長パラメータ化は、フレネ・セレ方程式の積分によって定義された。 フレネ・セレ装置を用いると、曲線を中心とした特定の最適なリボン やチューブを定義することができる。これらは 材料科学 や弾性理論 [ 7 ] コンピュータグラフィックス [ 8 ]
曲線C に沿ったフレネリボン [ 9 ] [ − N , N ]を曲線に沿って掃引することによって描かれる曲面です。この曲面は、 C の接触面の包絡線 E である接線展開可能面 と混同されることがあります。これはおそらく、フレネ リボンとEの両方が C に沿って同様の性質を示すためです。すなわち、 E の両シートの接平面は、これらのシートが交差する特異点Cの近くで、 Cの接触面に近づきます 。C に沿ったフレネ リボンの接平面は、これらの接触面に等しくなります。一般に、フレネ リボンは展開可能ではありません。
曲線の合同性 古典的なユークリッド幾何学 では、平面上の図形のうち、合同条件の下で不変な 性質を持つもの、つまり、2つの図形が合同であれば同じ性質を持つものとなる性質を研究することが重要である。フレネ・セレの装置は、曲率と捩率を空間曲線の数値的な不変量として提示する。
大まかに言うと、空間内の2つの曲線C とC' は、一方を他方に剛体的に移動できる場合に合同である。剛体運動は、並進と回転の組み合わせから構成される。並進によって、 Cの1点が C' の1点に移動される。次に、回転によって、曲線Cの向きが C' の向きと一致するように調整される。このような並進と回転の組み合わせは、ユークリッド運動 と呼ばれる。最初の曲線Cを定義するパラメータ化 r ( t )C の一般的なユークリッド運動は、次の操作の組み合わせである。
(翻訳 ) r ( t ) → r ( t ) + v v (回転 ) r ( t ) + v → M ( r ( t ) + v )M は回転行列です。 フレネ・セレのフレームは、ユークリッド運動に関して特に良好な性質を示します。まず、T N Bは r ( t )r ( t ) に付随するTNB r ( t )+ vに付随する TNB
これにより、考慮すべきは回転のみとなります。直感的には、曲線に回転Mを適用すると、 TNBフレームも回転します。より正確には、フレネ・セレフレームの TNB Qは 、回転行列によって変化します。
Q → Q M 。 {\displaystyle Q\rightarrow QM.}
ましてや 、マトリックスd Q d s Q T {\displaystyle {\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }}
d （ Q M ） d s （ Q M ） ⊤ = d Q d s M M ⊤ Q ⊤ = d Q d s Q ⊤ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }}
回転行列の場合、 MM T = I
したがって、 κ とτ のエントリはd Q d s Q T {\displaystyle {\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }} 不変量 です。つまり、曲線にユークリッド運動を適用すると、結果として得られる曲線は同じ 曲率とねじれを持ちます。
さらに、フレネ・セレのフレームを用いると、その逆も証明できます。すなわち、曲率関数と捩率関数が同じ2つの曲線は、ユークリッド運動によって合同でなければなりません。大まかに言えば、フレネ・セレの公式はTNB ダルブー微分を表しています。2つのフレームのダルブー微分が等しい場合、 微積分学の基本定理の 変形によって、曲線は合同であることが証明されます。特に、曲率と捩率は、3次元曲線の完全な不変量セットです。
フレームのその他の表現 上記のT N B ユークリッド幾何学 においては自然な仮定です。なぜなら、弧長は曲線のユークリッド不変量だからです。物理学の用語で言えば、弧長パラメータ化はゲージ の自然な選択です。しかし、実際には扱いにくい場合があります。他にも同等の表現がいくつか存在します。
曲線がr ( t )t は弧長である必要はありません。このとき、単位接線ベクトルT は
T （ t ） = r ′ （ t ） ‖ r ′ （ t ） ‖ {\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}}
法線ベクトルN
N （ t ） = T ′ （ t ） ‖ T ′ （ t ） ‖ {\displaystyle \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}}
それを使ってr ′ （ t ） = ‖ r ′ （ t ） ‖ T （ t ） {\displaystyle \mathbf {r} '(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|\mathbf {T} (t)} r 」 （ t ） = ‖ r ′ （ t ） ‖ ′ T + κ ‖ r ′ （ t ） ‖ 2 N {\displaystyle \mathbf {r} ''(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|'\mathbf {T} +\kappa \|\mathbf {r} '(t)\|^{2}\mathbf {N} } B
B （ t ） = T （ t ） × N （ t ） = r ′ （ t ） × r 」 （ t ） ‖ r ′ （ t ） × r 」 （ t ） ‖ {\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}}
同じ式を得る別の方法として、曲線r ′ ( t ) 、r ′ ′ ( t ) 、r ′ ′ ′ ( t )の最初の 3 つの導関数を取り、グラム・シュミット法 を適用する方法があります。結果として得られる順序付き正規直交基底 は、まさにTNB
パラメータt に関して、フレネ・セレの公式は連鎖律 により、|| r ′ ( t )|| という追加の因子を取り込む。
d d t [ T N B ] = ‖ r ′ （ t ） ‖ [ 0 κ 0 − κ 0 τ 0 − τ 0 ] [ T N B ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}}
曲率とねじれの明示的な式を計算することができます。例えば、
κ = ‖ r ′ （ t ） × r 」 （ t ） ‖ ‖ r ′ （ t ） ‖ 3 {\displaystyle \kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}}
ねじれは、スカラー三重積 を用いて次のように表すことができる。
τ = [ r ′ （ t ） 、 r 」 （ t ） 、 r ‴ （ t ） ] ‖ r ′ （ t ） × r 」 （ t ） ‖ 2 {\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}}
特別なケース 曲率が常にゼロであれば、曲線は直線になります。ここでは、ベクトルN 、B
ねじれが常にゼロであれば、曲線は平面上に位置する。
曲線は、曲率がゼロでなくても、ねじれがゼロである場合があります。例えば、z = 0 平面上の半径R の円 r ( t ) = ( R cos t , R sin t , 0) は、ねじれがゼロで、曲率は1/ R
らせんは 一定の曲率 と一定のねじれ角を持つ。
平面曲線 曲線の場合r （ t ） = ⟨ x （ t ） 、 y （ t ） 、 0 ⟩ {\displaystyle {\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle } xy 平面内に含まれる場合、その接線ベクトルはT = r ′ （ t ） | | r ′ （ t ） | | {\displaystyle \mathbf {T} ={\tfrac {\mathbf {r} '(t)}{||\mathbf {r} '(t)||}}} N = T ′ （ t ） | | T ′ （ t ） | | {\displaystyle \mathbf {N} ={\tfrac {\mathbf {T} '(t)}{||\mathbf {T} '(t)||}}} もxy 平面上に位置する。結果として、単位従法線ベクトルはB = T × N {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} } xy 平面に垂直であるため、以下のいずれかでなければならない。⟨ 0 、 0 、 1 ⟩ {\displaystyle \langle 0,0,1\rangle } ⟨ 0 、 0 、 − 1 ⟩ {\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle } B ⟨ 0 、 0 、 1 ⟩ {\displaystyle \langle 0,0,1\rangle } ⟨ 0 、 0 、 − 1 ⟩ {\displaystyle \langle 0,0,-1\rangle } τ | | r ′ （ t ） × r 」 （ t ） | | | | r ′ （ t ） | | 3 {\displaystyle {\tfrac {||\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)||}{||\mathbf {r} '(t)||^{3}}}} κ κ = | x ′ （ t ） y 」 （ t ） − y ′ （ t ） x 」 （ t ） | [ （ x ′ （ t ） ） 2 + （ y ′ （ t ） ） 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}}
注記 ↑ キューネル 2002 、§1.9 ↑ 実際には最初のn − 1e n は ↑ クレンショー（1993）。 ↑ アイヤーとヴィシュヴェシュワラ (1993)。 ↑ Rucker, Rudy (1999). "ハエの飛行を観察する：カッパタウ空間曲線" . サンノゼ州立大学。2004年10月15日にオリジナルからアーカイブ済み。 ↑ キューネル 2002 、p. 19 ↑ ゴリエリーら （2006）。 ↑ ハンソン。 ↑ 用語については、 Sternberg (1964) 『微分幾何学講義 』、Englewood Cliffs, NJ、Prentice-Hall、p. 252 -254を参照 。ISBN 9780135271506 。
参考文献 Crenshaw, HC; Edelstein-Keshet, L. (1993)、「らせん運動による方向付け II. 運動軸の方向の変更」、Bulletin of Mathematical Biology 、55 (1): 213–230 、doi : 10.1016/s0092-8240(05)80070-9、S2CID 50734771 エトゲン、ギャレット；ヒル、エイナー；サラス、サトゥルニーノ（1995）『サラスとヒルの微積分― 一変数と多変数』 （第7版）、ジョン・ワイリー＆サンズ、 896 ページ Frenet, F. (1847)、Sur les courbes à double courbure (PDF) 、テーズ、トゥールーズ Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 の要約、1852 年。Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006)、「弾性成長モデル」、BIOMAT-2006 (PDF) 、Springer-Verlag、2006年12月29日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み グリフィス、フィリップ （1974）、「微分幾何学における一意性と存在の問題へのカルタンのリー群と移動フレームの方法の適用について」、デューク数学ジャーナル 41 （4）：775–814 、doi ：10.1215/S0012-7094-74-04180-5、S2CID 12966544 グッゲンハイマー、ハインリッヒ（1977）、『微分幾何学』 、ドーバー出版、ISBN 0-486-63433-7 Hanson, AJ (2007)、「四元数フレネフレーム：曲線から最適なチューブとリボンを作成する」（PDF） 、インディアナ大学技術報告書 Iyer, BR; Vishveshwara, CV (1993)、「ジャイロスコープ歳差運動のフレネ・セレ記述」、Phys. Rev. 、D、48 (12): 5706–5720 、arXiv : gr-qc/9310019 、Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I、doi : 10.1103/physrevd.48.5706、PMID 10016237、S2CID 119458843 ジョーダン、カミーユ (1874)、「次元の空間と空間」、CR Acad。科学。パリ 、79 : 795–797 キューネル、ヴォルフガング（2002）、『微分幾何学』 、学生数学ライブラリー、第 16巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会 、ISBN 978-0-8218-2656-0 MR 1882174 Serret、JA (1851)、「Sur quelques 公式関係 à la théorie des courbes à double courbure」(PDF) 、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 、16 Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two) , Publish or Perish, Inc.シュテルンベルク、シュロモ（1964）、『微分幾何学講義』 、プレンティス・ホール ストライク、ダーク・J. (1961) 『古典微分幾何学講義』 、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー
外部リンク フレネ・セレフレーム、曲率関数、ねじれ関数の動きをアニメーション化したイラストを自分で作成しましょう（Maple ワークシート）。 ルディ・ラッカーのKappaTau論文。 三面体の非常に優れた視覚的表現
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24223bb31c70e4fbbc153723ec6b0a4426c9f61)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ca6dc1d224f97e784e23ea17456d126a535dea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af071782cf53d9b25d77cdac6aa05957bb35b750)
![{\displaystyle \tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6c72460a68ff77535c83f91d4197a09488d0d1)
![{\displaystyle \kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbd78d0dd11b7517e21181c535483a92d478804)