ダルブーベクトル

微分幾何学、特に空間曲線の理論において、ダルブーベクトルは空間曲線のフレネフレームの角速度 ベクトルである。 ^[1]これは発見者であるガストン・ダルブー にちなんで名付けられた。 ^[2]これは角運動量に正比例するため、角運動量ベクトル とも呼ばれる。

フレネ・セレ装置では、ダルブーベクトルωは次のように表される^[3]。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\tau \mathbf {T} +\kappa \mathbf {B} \qquad \qquad (1)}$

そして、次のような対称的な性質を持つ：^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {T} =\mathbf {T'} ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {N} =\mathbf {N'} ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {B} =\mathbf {B'} ,}$

これは式(1)からフレネ・セレの定理を用いて導くことができる（またはその逆）。

剛体がβ ( t )によってパラメトリックに記述される規則的な曲線に沿って動くとします。このオブジェクトには独自の固有座標系があります。オブジェクトが曲線に沿って動くとき、その固有座標系は曲線のフレネ フレームと揃った状態を保ちます。その際、オブジェクトの動きは 2 つのベクトル、つまり並進ベクトルと回転ベクトル ωによって記述されます。回転ベクトルω は面速度ベクトル、つまりダルブー ベクトルです。

この回転は物理的なものではなく、運動学的なものであることに注意してください。これは、通常、剛体が空間内で自由に動く場合、その回転は移動とは無関係だからです。例外は、ジェットコースターのカートの場合のように、物体の回転が物体の移動に合わせて物理的に制約されている場合です。

規則的な曲線に沿って滑らかに移動する剛体オブジェクトを考えてみましょう。変換が「因数分解」されると、オブジェクトはフレネ フレームと同じ方向に回転するように見えます。フレネ フレームの合計回転は、3 つのフレネ ベクトルのそれぞれの回転の組み合わせです。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }.}$

各フレネ ベクトルは、剛体の中心である「原点」の周りを動きます (オブジェクト内の任意の点を選択し、それをその中心と呼びます)。接線ベクトルの面積速度は次のとおりです。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T} (t+\Delta t) \over 2\,\Delta t}}$

${\displaystyle ={\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T'} (t) \over 2}.}$

同じく、

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\ \mathbf {N} (t)\times \mathbf {N'} (t),}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\ \mathbf {B} (t)\times \mathbf {B'} (t).}$

ここで、フレネ・セレの定理を適用して面速度成分を見つけます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }={1 \over 2}\mathbf {T} \times \mathbf {T'} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {T} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\mathbf {N} \times \mathbf {N'} ={1 \over 2}(-\kappa \mathbf {N} \times \mathbf {T} +\tau \mathbf {N} \times \mathbf {B} )={1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\mathbf {B} \times \mathbf {B'} =-{1 \over 2}\tau \mathbf {B} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\tau \mathbf {T} }$

となることによって

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} +{1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )+ {1 \over 2}\tau \mathbf {T} =\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} ,}$

主張通り。

ダルブーベクトルは、曲率 κとねじれ τを幾何学的に解釈する簡潔な方法を提供します。曲率は、フレネフレームの従法線単位ベクトルを中心とした回転の尺度であり、ねじれは、フレネフレームの接線単位ベクトルを中心とした回転の尺度です。^[2]