曲線のアフィン幾何学

微分幾何学の数学分野において、曲線のアフィン幾何学は、アフィン空間内の曲線、特に特殊アフィン群の下で不変であるそのような曲線の性質を研究する分野です。 ${\displaystyle {\mbox{SL}}(n,\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}.}$

曲線の古典的なユークリッド幾何学では、基本的なツールはフレネ・セレフレームです。アフィン幾何学では、フレネ・セレフレームはもはや明確に定義されていませんが、同様の決定的な役割を果たす曲線に沿った別の標準的な移動フレームを定義することは可能です。この理論は、主にヴィルヘルム・ブラシュケとジャン・ファヴァールの努力により、20世紀初頭に発展しました。

x ( t ) を 内の曲線とする。ユークリッドの場合と同様に、x ( t )の最初のn導関数が線形独立であり、特にx ( t ) が のどの低次元アフィン部分空間にも存在しないと仮定する。この場合、曲線パラメータt は行列式を設定することで正規化できる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.}$

このような曲線は、そのアフィン弧長によってパラメータ化されていると言われる。このようなパラメータ化では、

${\displaystyle t\mapsto [\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t),\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}(t)]}$

は、曲線の特殊アフィンフレームとして知られる特殊アフィン群への写像を決定します。つまり、量の各点において、アフィン空間の特殊アフィンフレームを定義します。これは、空間の点xと、点xに付随する特殊線型基底で構成されます。この写像に沿ったマウラー・カルタン形式の引き戻しにより、曲線のアフィン構造不変量の完全なセットが得られます。平面では、これは単一のスカラー不変量、つまり曲線の アフィン曲率を与えます。${\displaystyle \mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}}$

曲線パラメータsの正規化は、上記のように選択された。

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.}$

n ≡0 (mod 4) またはn ≡3 (mod 4)の場合、この行列式の符号は曲線の離散不変量です。曲線は、 +1 の場合はdextrorse (右巻き、ドイツ語ではよくweinwendig ) と呼ばれ、-1 の場合は sinistrorse (左巻き、ドイツ語ではよくhopfenwendig ) と呼ばれます。

3 次元では、右巻きのらせんは右巻き、左巻きのらせんは左巻きです。

曲線xがアフィン弧長によってパラメータ化されていると仮定する。するとxのアフィン曲率、k ₁、…、k _{n −1は}次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(n+1)}=k_{1}{\dot {\mathbf {x} }}+\cdots +k_{n-1}\mathbf {x} ^{( n-1)}.}$

このような表現が可能であることは、行列式の導関数を計算することによって明らかになる。

${\displaystyle 0=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}{\dot {}}\,=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n+1)}\end{bmatrix}}}$

したがって、x ^{( n +1)は}x ′、…、x ^{( n −1)}の線形結合となる。

マトリックスを考える

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}}$

その列はxの最初のn導関数です（特別なアフィン弧長によってパラメータ化されています）。次に、

${\displaystyle {\dot {A}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\cdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\k_{1}&k_{2}&k_{3}&k_{4}&\cdots &k_{n-1}&0\end{bmatrix}}A=CA.}$

具体的には、行列C は、 xの最初のn導関数によって与えられるフレームに沿った特殊線型群のマウラー・カルタン形式の引き戻しです。

• 移動フレーム
• アフィン球

• グッゲンハイマー、ハインリッヒ (1977)。微分幾何学。ドーバー。ISBN 0-486-63433-7。
• スピヴァック、マイケル(1999)。微分幾何学の包括的入門 (第 2 巻)。Publish or Perish。ISBN 0-914098-71-3。