固定小数点空間

数学において、ハウスドルフ空間 X は、不動点定理に従うとき不動点空間と呼ばれます。不動点定理によれば、すべての連続関数は不動点を持ち、その点に対して となります。^[1] ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x}$

例えば、閉じた単位区間は不動点空間であり、これは中間値定理から証明できる。実数直線は不動点空間ではない。なぜなら、その引数に 1 を加える連続関数は不動点を持たないからである。単位区間を一般化すると、ブラウワーの不動点定理によって、ユークリッド空間内のすべてのコンパクトな有界凸集合は不動点空間となる。^[1]

不動点空間の定義は、位相空間の連続関数から他の種類の空間上の写像の他のクラスに拡張することもできる。^[1]