位相的区別不可能性

位相幾何学では、位相空間 Xの 2 つの点は、それらの近傍がまったく同じである場合に位相的に区別できません。つまり、xとy がX内の点であり、N _xがx を含むすべての近傍の集合であり、N _yがy を含むすべての近傍の集合である場合、xとy が「位相的に区別できない」のは、 N _x  =  N _yの場合のみです。(ハウスドルフの公理的近傍システムを参照してください。)  

直感的には、 Xのトポロジーが 2 つの点を区別できない場合、それらの 2 つの点はトポロジ的に区別できません。

Xの 2 つの点は、位相的に区別できない場合でなければ、位相的に区別可能です。つまり、2 つの点のうち 1 つだけを含む開集合が存在する(つまり_、 2 つの点のうち 1 つだけを含む閉集合が存在する)ということです。この開集合を使用して、2 つの点を区別できます。T 0空間は、異なる点のすべてのペアが位相的に区別可能な位相空間です。これは分離公理の中で最も弱いものです。

位相的区別不能性は、任意の位相空間X上の同値関係を定義します。xとyがXの点である場合、 「xとy は位相的に区別不能である」という意味でx ≡ yと書きます。xの同値類は [ x ]で表されます。

定義により、 T ₀空間内の任意の 2 つの異なる点は位相的に区別可能です。一方、正則性と正規性はT _{0 を}意味するものではないため、正則または正規位相空間内に位相的に区別できない点の重要な例を見つけることができます。実際、以下に示す例のほとんどすべては完全に正則です。

• 非離散空間では、任意の 2 つの点は位相的に区別できません。
• 擬似距離空間では、2 つの点間の距離が 0 である場合に限り、2 つの点は位相的に区別できません。
• 半ノルムベクトル空間において、x ≡ yであるためには、‖ x − y ‖ = 0 が成立する必要がある。
  • たとえば、L ² ( R ) をRからRへの平方積分可能なすべての測定可能な関数の空間とします( L ^p空間を参照)。このとき、L ² ( R )内の2 つの関数fとg は、ほぼすべての点で等しい場合に限り、位相的に区別できません。
• 位相群において、x ≡ yである場合と、x ⁻¹ y ∈ cl{ e } である場合に限ります。ここで、 cl{ e } は自明な部分群の閉包です。同値類はcl{ e } (これは常に正規部分群です)の剰余類です。
• 一様空間は擬距離空間と位相群の両方を一般化します。一様空間では、ペア ( x , y ) がすべての側近に属する場合のみ、x ≡ y となります。すべての側近の共通部分はX上の同値関係であり、これはまさに位相的な区別不可能性の同値関係です。
• X が関数の族に関して初期位相を持つものとします。すると、族がそれらを分離していない場合 (つまり、すべての に対して)、 X内の2 つの点xとy は位相的に区別できなくなります。${\displaystyle \{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}}$${\displaystyle f_{\alpha }}$${\displaystyle f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)}$${\displaystyle \alpha }$
• 集合X上の任意の同値関係が与えられた場合、位相的区別不可能性の概念が与えられた同値関係と一致するX上の位相が存在します。同値類を位相のベースとして簡単に取ることができます。これはX上の分割位相と呼ばれます。

空間X上の位相的区別不可能関係は、特殊化前順序と呼ばれるX上の自然な前順序から復元できる。X内の点xとyに対して、この前順序は次のように定義される。

x ≤ yであるのは、 x ∈ cl{ y }の場合のみである。

ここで cl{ y } は{ y } の閉包を表します。同様に、xの近傍システムN _xがyの近傍システムに含まれる場合、x ≤ yとなります。

N _x ⊂ N _yのときのみ、x ≤ yとなる。

X上のこの関係が反射的かつ推移的であり、したがって前順序を定義することは容易にわかります。ただし、一般に、この前順序は反対称ではありません。実際、≤ によって決定される同値関係は、まさに位相的区別不可能性の関係です。

x ≡ y である場合、かつその場合のみx ≤ yかつy ≤ x である。

位相空間は、特殊化順序が対称的である場合（つまり、x ≤ yならばy ≤ x ）、対称的（または R ₀）であると言われます。この場合、関係 ≤ と ≡ は同一です。位相的な区別不能性はこれらの空間でより適切に動作し、理解しやすくなります。このクラスの空間には、すべての正則空間と完全正則空間が含まれることに注意してください。

2 つの点が位相的に区別できないかどうかを判断する同等の方法がいくつかあります。X を位相空間とし、xとy をXの点とします。xとyのそれぞれの閉包をcl{ x } と cl{ y } で表し、それぞれの近傍系をN _xとN _yで表します。このとき、次のステートメントは同等です。

• x ≡ y
• X内の各開集合Uに対して、U にはxとy の両方が含まれるか、どちらも含まれないかのいずれかである。
• Nx = Ny_​​
• x ∈ cl{ y } かつy ∈ cl{ x }
• cl{ x } = cl{ y }です。
• x ∈ ∩ N _yかつy ∈ ∩ N _x
• ∩Nx = ∩Ny_です​_​​
• x ∈ cl{ y } かつx ∈ ∩ N _y
• xはyを含むすべての開集合とすべての閉集合に属する
• ネットまたはフィルタがxに収束するのは、 yに収束する場合のみである

これらの条件は、 X が対称空間である場合に簡略化できます。これらの空間 (特に、正則空間) の場合、次のステートメントは同等です。

• x ≡ y
• 各開集合Uに対して、x ∈ Uならばy ∈ U
• Nx ⊂ Ny_​​
• x ∈ yである。
• x ∈ ∩ N _y
• xはyを含むすべての閉集合に属する
• xはyを含むすべての開集合に属する
• xに収束するすべてのネットまたはフィルタはyに収束する

xの同値類について議論するには、まずxの上限集合と下限集合を定義すると便利です。これらは両方とも、上で説明した特殊化の順序に従って定義されます。

xの下の集合は、{ x } の閉包です。

${\displaystyle \mathop {\downarrow } x=\{y\in X:y\leq x\}={\textrm {cl}}\{x\}}$

一方、 xの上側の集合はxにおける近傍システムの交点です。

${\displaystyle \mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.}$

xの同値類は、次の共通部分で与えられる。

${\displaystyle [x]={\mathop {\downarrow } x}\cap {\mathop {\uparrow } x}.}$

↓ x はx を含むすべての閉集合の積集合であり、↑ x はx を含むすべての開集合の積集合であるため、同値類 [ x ] はx を含むすべての開集合と閉集合の積集合です。

cl{ x } と∩ N _xはどちらも同値類 [ x ] を含みます。一般に、両方の集合には追加の点も含まれます。ただし、対称空間(特に正則空間) では、3 つの集合は一致します。

${\displaystyle [x]={\textrm {cl}}\{x\}=\bigcap {\mathcal {N}}_{x}.}$

一般に、同値類[ x ]は空間が対称である場合にのみ閉じます。

f  : X → Yを連続関数とする。するとXの任意のxとyに対して

x ≡ y はf ( x ) ≡ f ( y )を意味します。

逆は一般には偽である（T ₀空間の商が自明である）。逆は、X がfによって誘導される初期位相を持つ場合に成立する。より一般的には、 X が写像の族によって誘導される初期位相を持つ場合、 ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }}$

_{すべてのαに対して}fα ( x )≡fα ( y )が成立_する場合に限り、x≡yとなる。

したがって、積空間内の 2 つの要素は、その各コンポーネントが位相的に区別できない場合に限り、位相的に区別できません。

位相的区別不能性は任意の位相空間X上の同値関係であるため、商空間 KX = X /≡ を形成できます。空間KXは、コルモゴロフ商またはXのT ₀同一視と呼ばれます。空間KXは、実際には T ₀です(つまり、すべての点は位相的に区別可能です)。さらに、商写像の特性により、XからT _{0空間への任意の連続写像}f  : X → Y は、商写像q  : X → KXを介して因数分解されます。

商写像qは一般に同相写像ではないが（一般に単射ではないため）、 X上の位相とKX上の位相の間には一対一の関係を誘導する。直感的には、コルモゴロフ商は空間の位相を変えない。点が位相的に区別できるようになるまで点集合を減らすだけである。

• ハウスドルフ空間 – 位相空間の種類
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