弱ハウスドルフ空間

数学において、弱ハウスドルフ空間または弱ハウスドルフ空間とは、コンパクトハウスドルフ空間からその空間への任意の連続写像の像が閉じている位相空間のことである。^{[ 1 ]}この概念は、ハウスドルフ空間の圏を扱う際の不便さを解消するために、 MC McCord ^{[ 2 ]}によって導入された。代数トポロジーでは、コンパクト生成空間と併用されることが多い。そのためには、コンパクト生成弱ハウスドルフ空間の圏を参照のこと。

分離特性としての厳密さは、増加順に^{[ 3 ] [ 4 ]である。}

• T ₁ : すべての一点集合は閉じている。
• Δ-ハウスドルフ：すべての経路の像は閉じている。
• 弱ハウスドルフ：コンパクトハウスドルフ空間の連続写像による像が閉じている。
• KC空間：すべてのコンパクト部分集合は閉じている。
• k-ハウスドルフ空間：すべてのコンパクト部分空間はハウスドルフ空間である。
• ハウスドルフ（T ₂）：異なる点は互いに素な近傍を持つ。

これらについては、以下でさらに詳しく説明します。

Ak-ハウスドルフ空間^{[ 5 ]}は、以下のいずれかの同値条件を満たす位相空間である。

1. 各コンパクト部分空間はハウスドルフ空間である。
2. 対角線${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$k-閉​${\displaystyle X\times X.}$
   • サブセット${\displaystyle A\subseteq Y}$はk-閉、もし${\displaystyle A\cap K}$閉鎖中${\displaystyle K}$各コンパクトについて${\displaystyle K\subseteq Y.}$
3. 各コンパクト部分空間は閉じており、かつ局所的に強コンパクトである。
   • 空間とは各​${\displaystyle x\in X}$そして各（必ずしもオープンではない）近隣${\displaystyle U\subseteq X}$の${\displaystyle x,}$コンパクトな近隣地域が存在する${\displaystyle V\subseteq X}$の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle V\subseteq U.}$

AΔ-ハウスドルフ空間は、すべてのパスの像が閉じている位相空間です。つまり、${\displaystyle f:[0,1]\to X}$連続である場合${\displaystyle f([0,1])}$閉鎖中${\displaystyle X.}$すべての弱いハウスドルフ空間は${\displaystyle \Delta }$-ハウスドルフ、そしてすべての${\displaystyle \Delta }$-ハウスドルフ空間はT ₁空間です。空間はΔ生成とは、そのトポロジーが各マップが${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to X}$位相的${\displaystyle n}$-シンプレックス$\displaystyle \Delta ^{n}}$に${\displaystyle X}$連続的である。${\displaystyle \Delta }$-ハウスドルフ空間は${\displaystyle \Delta }$弱ハウスドルフ空間のような生成空間は、コンパクト生成空間に相当する。

• 不動点空間– すべての関数が不動点を持つ空間、ハウスドルフ空間。この空間から自身へのすべての連続関数が不動点を持つ。 
• ハウスドルフ空間– 位相空間の一種 
• 局所ハウスドルフ空間– すべての点がハウスドルフ近傍を持つような空間 
• 特定点位相– 特定点を含む場合に集合が開いているとみなされる位相 
• 準位相空間– 位相における関数 
• 分離公理– 位相幾何学における「分離」の概念を定義する公理