T1スペース

位相幾何学および関連する数学の分野において、T ₁空間は、異なる点のすべてのペアに対して、それぞれがもう一方の点を含まない近傍を持つ位相空間 です。 ^[1] R ₀ 空間は、位相的に区別できる点のすべてのペアに対してこれが成り立つ空間です。T ₁および R _{0 の}特性は分離公理の例です。

X を位相空間とし、x と y を X 内の点とします。 xとyが互いに分離しているとは、それぞれの点が他方の点を含まない 近傍にあることを意味します。

• X内の任意の 2 つの異なる点が離れている場合、XはT ₁空間と呼ばれます。
• X内の位相的に区別可能な任意の2 つの点が離れている場合、XはR ₀空間と呼ばれます。

AT _1空間はアクセス可能空間またはフレシェ位相を持つ空間とも呼ばれ、R ₀空間は対称空間とも呼ばれます。(フレシェ空間という用語は、関数解析ではまったく異なる意味を持ちます。このため、 T ₁空間という用語が好まれます。また、シーケンシャル空間の一種としてフレシェ-ウリゾーン空間という概念もあります。対称空間という用語には別の意味もあります。)

位相空間が T ₁空間となるのは、それが R ₀空間かつコルモゴロフ (または T ₀ ) 空間(つまり、異なる点が位相的に区別可能な空間) である場合に限ります。位相空間が R ₀空間となるのは、そのコルモゴロフ商がT ₁空間である場合に限ります。

が位相空間である 場合、次の条件は同値です。${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$T ₁空間です。
2. ${\displaystyle X}$T ₀空間と R ₀空間です。
3. 点は で閉じている。つまり、すべての点に対して、単集合はの閉じた部分集合である。${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle X.}$
4. のすべての部分集合は、それを含むすべての開集合の共通集合です。${\displaystyle X}$
5. すべての有限集合は閉じている。^[2]
6. のすべての余弦集合は開集合である。${\displaystyle X}$
7. 固定された超フィルターは、${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
8. の任意の部分集合に対して、かつ の任意の点がの極限点である場合、かつ の任意の開近傍にはの無限個の点が含まれる場合のみである。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$
9. シェルピンスキー空間からへの各写像は自明である。${\displaystyle X}$
10. シェルピンスキー空間から単一点への写像は、から単一点への写像に関して持ち上げ特性を持ちます。${\displaystyle X}$

が位相空間である場合、以下の条件は同値である: ^[3] (ここで はの閉包を表す) ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$${\displaystyle \{x\}}$

1. ${\displaystyle X}$R ₀空間です。
2. の閉包は位相的に区別できない点のみを含む。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle x.}$
3. のコルモゴロフ商はT ₁です。${\displaystyle X}$
4. 任意の がの閉包内にある場合、かつ がの閉包内にある場合のみ、${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{x\}.}$
5. 上の特殊化の順序は対称的である（したがって同値関係）。${\displaystyle X}$
6. の集合はの分割を形成します(つまり、任意の 2 つの集合は同一であるか、または互いに素です)。${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$
7. が閉集合であり、が に含まれない点である場合、${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\cap \operatorname {cl} \{x\}=\emptyset .}$
8. 点の近傍には${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}.}$
9. すべての開集合は閉集合の和集合である。
10. 任意の固定された超フィルタは、位相的に区別できない点にのみ収束する。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

任意の位相空間において、任意の2点の性質として、以下の意味がある。

分離された 位相的に区別可能な明確な${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

最初の矢印を反転できる場合、空間は R ₀です。2 番目の矢印を反転できる場合、空間はT ₀です。合成矢印を反転できる場合、空間は T ₁です。空間が T _{1になるのは、 R 0}かつ T ₀である場合のみです。

有限の T ₁空間は必然的に離散的である(すべての集合が閉じているため)。

_{各点が T 1}近傍を持つという意味で局所的に T ₁である空間も（部分空間位相が与えられた場合）、 T ₁である。^{[4]同様に、局所的に R} ₀ である空間も R _{0である。対照的に、対応するステートメントは T 2}空間には当てはまらない。たとえば、2つの原点を持つ直線はハウスドルフ空間ではないが、局所的にハウスドルフである。

• シェルピンスキー空間は、 T _{0だが T 1}ではなく、したがって R ₀でもない位相の簡単な例です。
• 重複区間トポロジーは、 T ₀だが T ₁ではないトポロジーの簡単な例です。
• すべての弱ハウスドルフ空間はT ₁ですが、その逆は一般には当てはまりません。
• 無限集合上のコ有限位相は、T _1だがハウスドルフ(T ₂ )ではない位相の簡単な例です。これは、コ有限位相の 2 つの空でない開集合が互いに素ではないことから生じます。具体的には、を整数の集合とし、開集合を の有限部分集合を除くすべてを含むの部分集合として定義します。次に、異なる整数と が与えられます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• 開集合には が含まれますが は含まれません。また、開集合には が含まれますが は含まれません。${\displaystyle O_{\{x\}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle O_{\{y\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• 同様に、すべてのシングルトン集合は開集合の補集合なので閉集合になります。${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle O_{\{x\}},}$

したがって、結果として得られる空間は、上記の各定義によりT _{1です。この空間は T 2}ではありません。なぜなら、任意の2 つの開集合との交差は空にならないからです。あるいは、偶数集合 はコンパクトですが閉じていません。これは、ハウスドルフ空間では不可能です。${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle O_{B}}$${\displaystyle O_{A}\cap O_{B}=O_{A\cup B},}$

• 上記の例を少し変更して、二点共有限位相を作成することができます。これは、T ₁でも R ₁でもないR ₀空間の例です。を再び整数の集合とし、前の例の定義を使用して、が偶数 の場合、任意の整数の開集合の部分基数を、が奇数 の場合に と定義します。すると、位相の基数は、部分基数集合の有限交差によって与えられます。有限集合が与えられた場合、 の開集合は${\displaystyle X}$${\displaystyle O_{A}}$${\displaystyle G_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x,x+1\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G_{x}=O_{\{x-1,x\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}.}$

結果として得られる空間は T ₀ではありません(したがって T ₁でもありません)。これは、点と(偶数の場合) が位相的に区別できないためです。ただし、それ以外は本質的に前の例と同等です。${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle x}$

• 代数多様体（代数的に閉じた体上）上のザリスキ位相は T _{1です。これを確認するには、}局所座標を持つ点を含む単一体が多項式の零点集合であることに注目してください。したがって、その点は閉じています。ただし、この例はハウスドルフ（T ₂ ） ではない空間としてよく知られています。ザリスキ位相は本質的にはコ有限位相の例です。 ${\displaystyle \left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}-c_{1},\ldots ,x_{n}-c_{n}.}$
• 可換環上のザリスキ位相（つまり、環の素スペクトル）は T ₀であるが、一般に T ₁ではない。^[5] これを理解するには、一点集合の閉包がその点を含むすべての素イデアルの集合である（したがって位相は T ₀である）ことに注目する。しかし、この閉包は最大イデアルであり、唯一の閉点は最大イデアルであり、したがって位相のどの開集合にも含まれず、したがって空間は公理 T ₁を満たさない。この例を明確にすると、可換環のザリスキ位相は次のように与えられます。位相空間はのすべての素イデアルの集合です。位相の基底はを含まない素イデアルの開集合によって与えられます。これが実際に基底を形成することは簡単に検証できます。したがって、および です。ザリスキ位相の閉集合はを含む素イデアルの集合です。この例が上記のコ有限位相の例と微妙に異なる点に注意してください。一般に、位相内の点は閉じていませんが、T ₁空間では点は常に閉じています。${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle O_{a}}$${\displaystyle a\in A.}$${\displaystyle O_{a}\cap O_{b}=O_{ab}}$${\displaystyle O_{0}=\varnothing }$${\displaystyle O_{1}=X.}$${\displaystyle a.}$
• すべての完全に切断された空間は T ₁です。これは、すべての点が連結成分であり、したがって閉じているためです。

_{「T 1}」、「R ₀」、およびそれらの同義語という用語は、一様空間、コーシー空間、収束空間などの位相空間のバリエーションにも適用できます。これらすべての例の概念を統一する特徴は、固定された超フィルタ（または定数ネット）の限界が一意である（T ₁空間の場合）か、位相的な区別不能性まで一意である（R ₀空間の場合）ことです。

結局のところ、一様空間、そしてより一般的にはコーシー空間は常に R ₀なので、これらの場合の T ₁条件は T ₀条件に簡約されます。しかし、 R _{0だけが、}プレトポロジカル空間などの他の種類の収束空間に対する興味深い条件になることがあります。

• 位相的性質 – 空間の数学的性質

• AV Arkhangel'skii、LS Pontryagin (編) General Topology I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4。 
• フォランド、ジェラルド (1999)。実分析: 最新技術とその応用(第 2 版)。John Wiley & Sons, Inc. p. 116。ISBN 0-471-31716-0。
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Lynn Arthur Steen および J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, New York, 1978. Dover Publications, New York, 1995 により再版。ISBN 0-486-68735 -X (Dover 版)。 
• ウィラード、スティーブン（1998年）。一般位相幾何学。ニューヨーク：ドーバー。pp.86-90。ISBN 0-486-43479-6。