ヒルベルト空間上のコンパクトエルミート作用素の固有値の変分的特徴づけ
線型代数学 と 関数解析 において 、 最小-最大定理 、 変分定理 、または クーラン・フィッシャー・ワイルの最小-最大原理は、 ヒルベルト空間上の コンパクト エルミート作用素 の 固有値 の変分特性を与える結果である 。これは、同様の性質を持つ多くの結果の出発点と見なすことができる。
この記事では、まず有限次元の場合とその応用について説明し、その後無限次元ヒルベルト空間上のコンパクト演算子を検討します。コンパクト演算子の場合、主定理の証明は、有限次元の議論と基本的に同じ考え方を使用していることがわかります。
演算子が非エルミートである場合、定理は関連する 特異値 の同等の特徴付けを提供します。最小最大定理は、 以下に制限される
自己随伴演算子に拡張できます。
マトリックス Aを n × n エルミート行列 と する 。固有値に関する他の多くの変分法の結果と同様に、 レイリー・リッツ商 R A : C n \ {0} → Rは 次のように定義される。
R
あ
（ x ） =
（ あ x 、 x ）
（ x 、 x ）
{\displaystyle R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}
ここで (⋅, ⋅)は C n 上の ユークリッド内積 を表す 。明らかに、固有ベクトルのレイリー商はその固有値である。同様に、レイリー・リッツ商は次のように置き換えることができる。
ふ （ x ） = （ あ x 、 x ） 、 ‖ x ‖ = 1.
{\displaystyle f(x)=(Ax,x),\;\|x\|=1.}
エルミート行列 Aの場合、連続関数 R A ( x ) または f ( x )の値域は、 実数直線の コンパクトな区間 [ a , b ] です。最大値 b と最小値 aは、それぞれ A の最大固有値と最小固有値です 。最小最大定理はこの事実を改良したものです。
最小最大定理 を、スペクトル が降順 に並べられた 次元 の内積空間上のエルミート とし ます 。
あ
{\textstyle A}
五
{\textstyle V}
ん
{\textstyle n}
λ
1
≥ 。 。 。 ≥
λ
ん
{\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}
対応する単位長さの直交固有ベクトルを と
します。
ヴ
1
、 。 。 。 、
ヴ
ん
{\textstyle v_{1},...,v_{n}}
スペクトルの順序を逆にして、 となる 。
ξ
1
=
λ
ん
、 。 。 。 、
ξ
ん
=
λ
1
{\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}
最小最大定理 —
λ
け
=
最大
ま
⊂ 五
薄暗い （
ま
） = け
分
x ∈
ま
‖ x ‖ = 1
⟨ x 、 あ x ⟩
=
分
ま
⊂ 五
薄暗い （
ま
） = ん − け + 1
最大
x ∈
ま
‖ x ‖ = 1
⟨ x 、 あ x ⟩
。
{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}}
証拠 パート 2 は、 を使用してパート 1 の帰結となります 。
− あ
{\textstyle -A}
ポアンカレの不等式により、 右側の上限は です。
λ
け
{\textstyle \lambda _{k}}
を設定すると 、上限が達成されます。
ま
= s p 1つの ん （
ヴ
1
、 。 。 。
ヴ
け
）
{\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}
非エルミートの場合の反例 Nを べき零行列と
する
[
0
1
0
0
]
。
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}
エルミートの場合に、レイリー商を上記とまったく同じように定義します。すると、 N の唯一の固有値はゼロであり、レイリー商の最大値は であることが簡単にわかります。
R
N
(
x
)
{\displaystyle R_{N}(x)}
1 / 2 つまり 、レイリー商の最大値は最大固有値よりも大きくなります。
アプリケーション
特異値に対する最小最大原理 正方行列 Mの 特異値 { σ k } は、 M * M ( MM* と同等)の固有値の平方根です。 最小最大定理の最初の等式から
直接得られる結果 [ 引用が必要 ]は次のようになります。
σ
k
↓
=
max
S
:
dim
(
S
)
=
k
min
x
∈
S
,
‖
x
‖
=
1
(
M
∗
M
x
,
x
)
1
2
=
max
S
:
dim
(
S
)
=
k
min
x
∈
S
,
‖
x
‖
=
1
‖
M
x
‖
.
{\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\max _{S:\dim(S)=k}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}
同様に、
σ
k
↓
=
min
S
:
dim
(
S
)
=
n
−
k
+
1
max
x
∈
S
,
‖
x
‖
=
1
‖
M
x
‖
.
{\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }=\min _{S:\dim(S)=n-k+1}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.}
ここで は 特異値の減少シーケンスの k 番目の エントリを表します 。
σ
k
↓
{\displaystyle \sigma _{k}^{\downarrow }}
σ
1
↓
≥
σ
2
↓
≥
⋯
{\displaystyle \sigma _{1}^{\downarrow }\geq \sigma _{2}^{\downarrow }\geq \cdots }
コーシーのインターレース定理 A を 対称 n × n 行列とします 。m × m 行列 B （ m ≤ n ）は、 PAP* = Bとなる m 次元の部分空間への 直交射影 P が存在する場合、 A の 圧縮 と呼ばれ ます 。コーシーのインターレース定理は次のように述べます
。
定理。A の固有値 が α 1 ≤ ... ≤ α n であり、Bの固有値が β 1 ≤ ... ≤ β j ≤ ... ≤ β m である場合、すべての j ≤ m に対して 、
α
j
≤
β
j
≤
α
n
−
m
+
j
.
{\displaystyle \alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.}
これは最小最大原理を使って証明できる。β i が 対応する固有ベクトル b i を持ち、 S j が j 次元部分空間 S j = span{ b 1 , ..., b j } である と すると
、
β
j
=
max
x
∈
S
j
,
‖
x
‖
=
1
(
B
x
,
x
)
=
max
x
∈
S
j
,
‖
x
‖
=
1
(
P
A
P
∗
x
,
x
)
≥
min
S
j
max
x
∈
S
j
,
‖
x
‖
=
1
(
A
(
P
∗
x
)
,
P
∗
x
)
=
α
j
.
{\displaystyle \beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.}
min-maxの最初の部分によれば、 α j ≤ β j である。 一方、 S m − j +1 = span{ b j , ..., b m } と定義すると、
β
j
=
min
x
∈
S
m
−
j
+
1
,
‖
x
‖
=
1
(
B
x
,
x
)
=
min
x
∈
S
m
−
j
+
1
,
‖
x
‖
=
1
(
P
A
P
∗
x
,
x
)
=
min
x
∈
S
m
−
j
+
1
,
‖
x
‖
=
1
(
A
(
P
∗
x
)
,
P
∗
x
)
≤
α
n
−
m
+
j
,
{\displaystyle \beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},}
ここで、最後の不等式は min-max の 2 番目の部分によって与えられます。
n − m = 1 のとき、 α j ≤ β j ≤ α j +1 となり 、これが インターレース 定理と呼ばれる理由です。
コンパクト演算子 A を ヒルベルト空間 H上の コンパクトな エルミート 作用素 と する 。このような作用素の スペクトル （固有値の集合）は、唯一の可能な クラスター点がゼロである実数の集合であることを思い出す。したがって、 A の正の固有値を次のように
列挙すると便利である。
⋯
≤
λ
k
≤
⋯
≤
λ
1
,
{\displaystyle \cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},}
ここで、行列の場合と同様に、要素は 重複度 で繰り返されます。(シーケンスが減少することを強調するために、 と書く場合があります 。) H が無限次元の場合、上記の固有値シーケンスは必然的に無限です。ここで、行列の場合と同じ推論を適用します。S k ⊂ H を k 次元の部分空間とすると 、 次 の 定理 が 得 られます。
λ
k
=
λ
k
↓
{\displaystyle \lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }}
定理（最小最大）。 A をヒルベルト空間 H 上のコンパクトな自己随伴作用素とし 、その正の固有値が降順で並べられ、 ... ≤ λ k ≤ ... ≤ λ 1 であるとし ます。すると、次のようになります。
max
S
k
min
x
∈
S
k
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
=
λ
k
↓
,
min
S
k
−
1
max
x
∈
S
k
−
1
⊥
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
=
λ
k
↓
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}}
負の固有値についても同様の等式が成り立ちます。
証拠 S' を 線型領域 の閉包とする 。 部分空間 S' の 余次元は k − 1 である。行列の場合と同じ次元数の議論により、 S' ∩ S k は 正の次元を持つ。したがって、となる x ∈ S' ∩ S k が存在する。これは S' の元であるため 、そのような x は 必ず次を満たす。
S
′
=
span
{
u
k
,
u
k
+
1
,
…
}
{\displaystyle S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}}
‖
x
‖
=
1
{\displaystyle \|x\|=1}
(
A
x
,
x
)
≤
λ
k
.
{\displaystyle (Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
したがって、すべての S k
inf
x
∈
S
k
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
≤
λ
k
{\displaystyle \inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}}
しかし、 A はコンパクトなので、関数 f ( x ) = ( Ax , x ) は弱連続です。さらに、 H の任意の有界集合は 弱コンパクトです。これにより、最小値を最小値に置き換えることができます。
min
x
∈
S
k
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
≤
λ
k
.
{\displaystyle \min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
それで
sup
S
k
min
x
∈
S
k
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
≤
λ
k
.
{\displaystyle \sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.}
平等は 、
S
k
=
span
{
u
1
,
…
,
u
k
}
{\displaystyle S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}}
max
S
k
min
x
∈
S
k
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
=
λ
k
.
{\displaystyle \max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}
これは、コンパクトな自己随伴演算子の最小最大定理の最初の部分です。
同様に、 ( k −1) 次元部分空間 Sk − 1 を 考えます。その直交補空間はSk−1⊥で表されます 。S ' = span { u1 ... uk } の 場合 、
S
′
∩
S
k
−
1
⊥
≠
0
.
{\displaystyle S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.}
それで
∃
x
∈
S
k
−
1
⊥
‖
x
‖
=
1
,
(
A
x
,
x
)
≥
λ
k
.
{\displaystyle \exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}
これは、
max
x
∈
S
k
−
1
⊥
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
≥
λ
k
{\displaystyle \max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}
ここで、 A のコンパクト性が適用されている。上記を k-1 次元部分空間
の集合で添字づけすると、
inf
S
k
−
1
max
x
∈
S
k
−
1
⊥
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
≥
λ
k
.
{\displaystyle \inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.}
S k −1 = span{ u 1 , ..., u k −1 }
を選ぶと、
min
S
k
−
1
max
x
∈
S
k
−
1
⊥
,
‖
x
‖
=
1
(
A
x
,
x
)
=
λ
k
.
{\displaystyle \min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.}
自己随伴演算子 最小最大定理は、（おそらくは無限の）自己随伴演算子にも適用されます。 [1] [2] 本質的なスペクトル は、有限の多重度の孤立した固有値のないスペクトルであることを思い出してください 。本質的なスペクトルより下の固有値がある場合があり、その場合、固有値と固有関数を近似したいことがあります。
定理（最小最大）。A を 自己随伴と し、 A の本質スペクトル以下 の固有値をとします。すると、
E
1
≤
E
2
≤
E
3
≤
⋯
{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }
E
n
=
min
ψ
1
,
…
,
ψ
n
max
{
⟨
ψ
,
A
ψ
⟩
:
ψ
∈
span
(
ψ
1
,
…
,
ψ
n
)
,
‖
ψ
‖
=
1
}
{\displaystyle E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}}
。
固有値がN 個 しかない場合 、つまり固有値が不足している場合は、 (本質的なスペクトルの底) を n>N とすると、 min-max を inf-sup に置き換えた後に上記のステートメントが成立します。
E
n
:=
inf
σ
e
s
s
(
A
)
{\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}
定理（最大最小）。A を 自己随伴と し、 A の本質スペクトル以下 の固有値をとします。すると、
E
1
≤
E
2
≤
E
3
≤
⋯
{\displaystyle E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots }
E
n
=
max
ψ
1
,
…
,
ψ
n
−
1
min
{
⟨
ψ
,
A
ψ
⟩
:
ψ
⊥
ψ
1
,
…
,
ψ
n
−
1
,
‖
ψ
‖
=
1
}
{\displaystyle E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}}
。
固有値がN 個 しかない場合 、つまり固有値が不足している場合は、 (本質的なスペクトルの底) を n > N とすると、max-min を sup-inf に置き換えた後に上記のステートメントが成立します。
E
n
:=
inf
σ
e
s
s
(
A
)
{\displaystyle E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)}
証明 [1] [2] では自己随伴作用素に関する以下の結果を用いる。
定理。A を 自己随伴と する。すると、に対して、かつその場合 に 限り、となる 。 [1] : 77
(
A
−
E
)
≥
0
{\displaystyle (A-E)\geq 0}
E
∈
R
{\displaystyle E\in \mathbb {R} }
σ
(
A
)
⊆
[
E
,
∞
)
{\displaystyle \sigma (A)\subseteq [E,\infty )}
定理。A が 自己随伴である 場合、
inf
σ
(
A
)
=
inf
ψ
∈
D
(
A
)
,
‖
ψ
‖
=
1
⟨
ψ
,
A
ψ
⟩
{\displaystyle \inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }
そして
sup
σ
(
A
)
=
sup
ψ
∈
D
(
A
)
,
‖
ψ
‖
=
1
⟨
ψ
,
A
ψ
⟩
{\displaystyle \sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle }
. [1] : 77
参照
参考文献
^ abcd G. テシュル、量子力学における数学的手法 (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf ^ ab Lieb; Loss (2001). Analysis . GSM. Vol. 14 (第2版). プロビデンス: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-2783-9 。
Fisk, Steve (2005). 「エルミート行列の固有値に対するコーシーのインターレース定理の非常に短い証明」. arXiv : math/0502408 . Hwang, Suk-Geun (2004). 「エルミート行列の固有値に対するコーシーのインターレース定理」. アメリカ数学月刊誌 . 111 (2): 157–159. doi :10.2307/4145217. JSTOR 4145217. Kline, Jeffery (2020). 「境界付きエルミート行列とメビウス関数の和」. 線形代数とその応用 . 588 : 224–237. doi : 10.1016/j.laa.2019.12.004 . リード、マイケル、サイモン、バリー（1978）。現代数理物理学の方法IV：演算子の解析。アカデミックプレス 。ISBN 978-0-08-057045-7 。
