ローウェナー秩序

数学において、ローナー順序は、半正定値行列の凸錐によって定義される部分順序です。この順序は通常、単調および凹/凸スカラー関数の定義を単調および凹/凸エルミート値関数に一般化するために使用されます。これらの関数は、行列理論と演算子理論で自然に発生し、物理学と工学の多くの分野で応用されています。

AとB をn次エルミート行列とします。A  −  Bが半正定値である場合、A ≥ B であるといいます。同様に、 A  −  Bが正定値である場合、A > B であるといいます。

AとBが実スカラー (つまりn = 1) の場合、Loewner 順序はRの通常の順序に簡約されます。 Rの通常の順序のいくつかのよく知られた特性はn ≥ 2の場合でも有効ですが、いくつかの特性は有効ではなくなります。たとえば、 2 つの行列の比較可能性は有効ではなくなる可能性があります。実際、およびの場合、 A ≥ BもB ≥ Aも成り立ちません。 ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\ }$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\ }$

さらに、AとBはエルミート行列なので、その固有値はすべて実数です。λ ₁ ( B )がBの最大固有値でλ _n ( A ) がAの最小固有値である場合、A ≥ Bとなるための十分な基準はλ _n ( A ) ≥ λ ₁ ( B )です。AまたはB が単位行列の倍数である場合も、この基準が必要です。

ローナー順序は最小上限特性を持たないため、格子を形成しません。

• トレース不等式

• Pukelsheim, Friedrich (2006).実験の最適設計. 工業応用数学協会. pp. 11–12. ISBN 9780898716047。
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