シュール積定理

させて${\displaystyle X}$になる${\displaystyle n}$共分散を持つ次元中心化ガウス確率変数${\displaystyle \langle X_{i}X_{j}\rangle =M_{ij}}$すると、共分散行列は${\displaystyle X_{i}^{2}}$そして${\displaystyle X_{j}^{2}}$は

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}^{2},X_{j}^{2}\right)=\left\langle X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right\rangle -\left\langle X_{i}^{2}\right\rangle \left\langle X_{j}^{2}\right\rangle }$

ウィックの定理を用いて展開する${\displaystyle \left\langle X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right\rangle =2\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle ^{2}+\left\langle X_{i}^{2}\right\rangle \left\langle X_{j}^{2}\right\rangle }$我々は持っています

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}^{2},X_{j}^{2}\right)=2\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle ^{2}=2M_{ij}^{2}}$

共分散行列は正定値行列であるため、要素を持つ行列は${\displaystyle M_{ij}^{2}}$これは正定値行列です。

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$なれ${\displaystyle n}$共分散を持つ次元中心化ガウス型確率変数${\displaystyle \left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle =M_{ij}}$、${\displaystyle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle =N_{ij}}$そして互いに独立しているので、

${\displaystyle \left\langle X_{i}Y_{j}\right\rangle =0}$いかなる場合でも${\displaystyle i,j}$

次に、共分散行列は${\displaystyle X_{i}Y_{i}}$そして${\displaystyle X_{j}Y_{j}}$は

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}Y_{i},X_{j}Y_{j}\right)=\left\langle X_{i}Y_{i}X_{j}Y_{j}\right\rangle -\left\langle X_{i}Y_{i}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{j}\right\rangle }$

ウィックの定理を用いて展開する

${\displaystyle \left\langle X_{i}Y_{i}X_{j}Y_{j}\right\rangle =\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle +\left\langle X_{i}Y_{i}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{j}\right\rangle +\left\langle X_{i}Y_{j}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{i}\right\rangle }$

また、独立性を利用して${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、 我々は持っています

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}Y_{i},X_{j}Y_{j}\right)=\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle =M_{ij}N_{ij}}$

共分散行列は正定値行列であるため、要素を持つ行列は${\displaystyle M_{ij}N_{ij}}$これは正定値行列です。

させて${\displaystyle M=\sum \mu _{i}m_{i}m_{i}^{\textsf {T}}}$そして${\displaystyle N=\sum \nu _{i}n_{i}n_{i}^{\textsf {T}}}$。 それから

${\displaystyle M\circ N=\sum _{ij}\mu _{i}\nu _{j}\left(m_{i}m_{i}^{\textsf {T}}\right)\circ \left(n_{j}n_{j}^{\textsf {T}}\right)=\sum _{ij}\mu _{i}\nu _{j}\left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}}$

それぞれ${\displaystyle \left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}}$は半正定値行列です（ただし、1次元の場合を除いて、ランク1行列であるため正定値行列ではありません）。また、${\displaystyle \mu _{i}\nu _{j}>0}$したがって合計${\displaystyle M\circ N}$また、半正定値である。

結果が正定値であることを示すには、さらに証明が必要です。任意のベクトルに対して、次のことを示します。${\displaystyle a\neq 0}$、 我々は持っています${\displaystyle a^{\textsf {T}}(M\circ N)a>0}$上記と同様に、各${\displaystyle a^{\textsf {T}}\left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}a\geq 0}$したがって、存在することを示す必要がある${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$上記の対応する項がゼロでない場合に、次のことが観察されます。

${\displaystyle a^{\textsf {T}}(m_{i}\circ n_{j})(m_{i}\circ n_{j})^{\textsf {T}}a=\left(\sum _{k}m_{i,k}n_{j,k}a_{k}\right)^{2}}$

以来${\displaystyle N}$正定値であるならば、${\displaystyle j}$そのために${\displaystyle n_{j}\circ a\neq 0}$（そうでなければ）${\displaystyle n_{j}^{\textsf {T}}a=\sum _{k}(n_{j}\circ a)_{k}=0}$すべての人々のために${\displaystyle j}$）、同様に${\displaystyle M}$正定値が存在する${\displaystyle i}$そのために${\displaystyle \sum _{k}m_{i,k}(n_{j}\circ a)_{k}=m_{i}^{\textsf {T}}(n_{j}\circ a)\neq 0.}$しかし、この最後の合計は${\displaystyle \sum _{k}m_{i,k}n_{j,k}a_{k}}$したがって、その二乗は正である。これで証明は完了する。