特性多項式 AR( p )過程の 自己相関関数は 次のように表すことができます。
ρ （ τ ） = ∑ k = 1 p 1 k y k − | τ | 、 {\displaystyle \rho (\tau )=\sum _{k=1}^{p}a_{k}y_{k}^{-|\tau |},} どこy k \displaystyle y_k}}
φ （ B ） = 1 − ∑ k = 1 p φ k B k {\displaystyle \varphi (B)=1-\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}B^{k}} ここで、B はバックシフト演算子 であり、φ （ ⋅ ） {\displaystyle \varphi (\cdot )} φ k \displaystyle \varphi _{k}}
AR( p )過程の自己相関関数は、減衰指数関数の和である。
各実根は、指数関数的に減衰する成分を自己相関関数に寄与する。 同様に、複素共役 根の各ペアは指数関数的に減衰する振動に寄与する。
AR(1)過程は次のように表される。X t = φ X t − 1 + ε t {\displaystyle X_{t}=\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,} ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} σ ε 2 {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}} φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} 弱意味定常で あるのは、| φ | < 1 {\displaystyle |\varphi |<1} φ = 1 {\displaystyle \varphi =1} X t {\displaystyle X_{t}} tに依存するため、 t が 無限大に近づくにつれて系列の分散は無限大に発散し、したがって弱意味定常ではない。）| φ | < 1 {\displaystyle |\varphi |<1} E （ X t ） {\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})} は、弱定常性の定義により、 t のすべての値に対して同一である。平均を次のように表すとμ {\displaystyle \mu } E （ X t ） = φ E （ X t − 1 ） + E （ ε t ） 、 {\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})=\varphi \operatorname {E} (X_{t-1})+\operatorname {E} (\varepsilon _{t}),} μ = φ μ + 0 、 {\displaystyle \mu =\varphi \mu +0,}
μ = 0. {\displaystyle \mu =0.} 分散は
変数 （ X t ） = E （ X t 2 ） − μ 2 = σ ε 2 1 − φ 2 、 {\displaystyle {\textrm {var}}(X_{t})=\operatorname {E} (X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}},} どこσ ε {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}}
変数 （ X t ） = φ 2 変数 （ X t − 1 ） + σ ε 2 、 {\displaystyle {\textrm {var}}(X_{t})=\varphi ^{2}{\textrm {var}}(X_{t-1})+\sigma _{\varepsilon }^{2},} そして、上記の量がこの関係の安定した固定点であることに気付くことによって。
自己共分散 は次のように与えられる。
B n = E （ X t + n X t ） − μ 2 = σ ε 2 1 − φ 2 φ | n | 。 {\displaystyle B_{n}=\operatorname {E} (X_{t+n}X_{t})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|n|}.} 自己共分散関数は、減衰時間（時定数 とも呼ばれる）で減衰することがわかる。τ = 1 / （ 1 − φ ） {\displaystyle \tau =1/(1-\varphi )} 13 ]
スペクトル密度 関数は、自己共分散関数のフーリエ変換 です。離散的な表現では、これは離散時間フーリエ変換となります。
Φ （ ω ） = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ B n e − 私 ω n = 1 2 π （ σ ε 2 1 + φ 2 − 2 φ コス （ ω ） ） 。 {\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }B_{n}e^{-i\omega n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\left({\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1+\varphi ^{2}-2\varphi \cos(\omega )}}\right).} この式は、離散的な性質のため周期的です。X j {\displaystyle X_{j}} Δ t = 1 {\displaystyle \Delta t=1} τ {\displaystyle \tau } B n {\displaystyle B_{n}}
B （ t ） ≈ σ ε 2 1 − φ 2 φ | t | {\displaystyle B(t)\approx {\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|t|}} これにより、スペクトル密度はローレンツ型プロファイルとなる。
Φ （ ω ） = 1 2 π σ ε 2 1 − φ 2 γ π （ γ 2 + ω 2 ） {\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+\omega ^{2})}}} どこγ = 1 / τ {\displaystyle \gamma =1/\tau } τ {\displaystyle \tau }
の別の表現X t {\displaystyle X_{t}} φ X t − 2 + ε t − 1 {\displaystyle \varphi X_{t-2}+\varepsilon _{t-1}} X t − 1 {\displaystyle X_{t-1}} N 回繰り返すと、
X t = φ N X t − N + ∑ k = 0 N − 1 φ k ε t − k 。 {\displaystyle X_{t}=\varphi ^{N}X_{t-N}+\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.} N が無限大に近づくと、φ N {\displaystyle \varphi ^{N}}
X t = ∑ k = 0 ∞ φ k ε t − k 。 {\displaystyle X_{t}=\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.} 次のようなことが分かります。X t {\displaystyle X_{t}} φ k {\displaystyle \varphi ^{k}} ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} ガウス過程 である場合X t {\displaystyle X_{t}} 中心極限定理は 、X t {\displaystyle X_{t}} φ {\displaystyle \varphi }
のためにε t = 0 {\displaystyle \varepsilon _{t}=0} X t = φ X t − 1 {\displaystyle X_{t}=\varphi X_{t-1}} これは幾何級数 （指数関数的 増加または減少）になります。この場合、解は解析的に求めることができます。X t = 1 φ t {\displaystyle X_{t}=a\varphi ^{t}} 1 {\displaystyle a} 初期条件 ）です。
最大遅延を選択する AR(p)過程の偏自己相関はp より大きいラグではゼロになるため、適切な最大ラグp は偏自己相関がすべてゼロになるラグである。
ARパラメータの計算 係数を推定する方法は数多くあり、例えば最小二乗 法やモーメント法 （ユール・ウォーカー方程式を用いる方法）などがある。
AR( p )モデルは次の式で与えられる。
X t = ∑ 私 = 1 p φ 私 X t − 私 + ε t 。 {\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,} パラメータに基づいていますφ 私 {\displaystyle \varphi _{i}} i = 1, ..., p で ある。これらのパラメータとプロセスの共分散関数との間には直接的な対応関係があり、この対応関係を逆算することで、自己相関関数（これは共分散から得られる）からパラメータを決定することができる。これはユール・ウォーカー方程式を用いて行われる。
ユール・ウォーカー方程式は、ウドニー・ユール とギルバート・ウォーカー にちなんで名付けられ、[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
γ m = ∑ k = 1 p φ k γ m − k + σ ε 2 δ m 、 0 、 {\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{m-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2}\delta _{m,0},} ここで、m = 0, …, p p + 1 個のγ m {\displaystyle \gamma _{m}} X t の自己共分散関数は、σ ε {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} δ m 、 0 {\displaystyle \delta _{m,0}} はクロネッカーのデルタ関数 です。
個々の方程式の最後の部分はm = 0m > 0
[ γ 1 γ 2 γ 3 ⋮ γ p ] = [ γ 0 γ − 1 γ − 2 ⋯ γ 1 γ 0 γ − 1 ⋯ γ 2 γ 1 γ 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ γ p − 1 γ p − 2 γ p − 3 ⋯ ] [ φ 1 φ 2 φ 3 ⋮ φ p ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\gamma _{1}\\\gamma _{2}\\\gamma _{3}\\\vdots \\\gamma _{p}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\gamma _{-2}&\cdots \\\gamma _{1}&\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\cdots \\\gamma _{2}&\gamma _{1}&\gamma _{0}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\gamma _{p-1}&\gamma _{p-2}&\gamma _{p-3}&\cdots \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\\\vdots \\\varphi _{p}\\\end{bmatrix}}} これはすべてについて解くことができます{ φ m ; m = 1 、 2 、 … 、 p } 。 {\displaystyle \{\varphi _{m};m=1,2,\dots ,p\}.} m = 0の場合の残りの方程式は次のとおりです。
γ 0 = ∑ k = 1 p φ k γ − k + σ ε 2 、 {\displaystyle \gamma _{0}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2},} かつて { φ m ; m = 1 、 2 、 … 、 p } {\displaystyle \{\varphi _{m};m=1,2,\dots ,p\}} σ ε 2 。 {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}.}
別の定式化としては、自己相関関数を 用いる方法がある。ARパラメータは最初のp +1個の要素によって決定される。ρ （ τ ） {\displaystyle \rho (\tau )} [ 17 ]を再帰的に計算することによって導出できます。
ρ （ τ ） = ∑ k = 1 p φ k ρ （ k − τ ） {\displaystyle \rho (\tau )=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\rho (k-\tau )} 低次AR( p )過程の例
p = 1 γ 1 = φ 1 γ 0 {\displaystyle \gamma _{1}=\varphi _{1}\gamma _{0}} したがってρ 1 = γ 1 / γ 0 = φ 1 {\displaystyle \rho _{1}=\gamma _{1}/\gamma _{0}=\varphi _{1}} p = 2 AR(2)過程に対するユール・ウォーカー方程式は以下の通りである。 γ 1 = φ 1 γ 0 + φ 2 γ − 1 {\displaystyle \gamma _{1}=\varphi _{1}\gamma _{0}+\varphi _{2}\gamma _{-1}} γ 2 = φ 1 γ 1 + φ 2 γ 0 {\displaystyle \gamma _{2}=\varphi _{1}\gamma _{1}+\varphi _{2}\gamma _{0}} それを覚えておいてくださいγ − k = γ k {\displaystyle \gamma _{-k}=\gamma _{k}} 最初の式を用いると、ρ 1 = γ 1 / γ 0 = φ 1 1 − φ 2 {\displaystyle \rho _{1}=\gamma _{1}/\gamma _{0}={\frac {\varphi _{1}}{1-\varphi _{2}}}} 再帰式を用いると、ρ 2 = γ 2 / γ 0 = φ 1 2 − φ 2 2 + φ 2 1 − φ 2 {\displaystyle \rho _{2}=\gamma _{2}/\gamma _{0}={\frac {\varphi _{1}^{2}-\varphi _{2}^{2}+\varphi _{2}}{1-\varphi _{2}}}}
ARパラメータの推定 上記の式（ユール・ウォーカー方程式）は、理論的な共分散を推定値に置き換えることで、 AR( p )モデルのパラメータを推定するためのいくつかの方法を提供する。 [ 18 ]
自己共分散または自己相関の推定。ここでは、これらの各項を従来の推定方法を用いて個別に推定します。推定方法にはいくつかの種類があり、どの方法を選択するかによって推定スキームの特性が変わります。例えば、方法によっては分散の推定値が負の値になる場合があります。 これは、最小二乗回帰 問題として定式化され、同じ系列のp個の過去値に基づいてXt の 値を 予測する、通常の最小二乗予測問題が構築されます。これは、前方予測スキームと考えることができます。この問題の通常の方程式は 、同じラグの自己共分散が出現するたびにわずかに異なる推定値に置き換えられる、Yule–Walker方程式の行列形式の近似に対応することがわかります。通常の最小二乗予測問題の拡張形式として定式化します。ここでは、2組の予測方程式が1つの推定スキームと1組の正規方程式に統合されます。1組は前方予測方程式のセットであり、もう1組はARモデルの後方表現に関連する対応する後方予測方程式のセットです。 X t = ∑ 私 = 1 p φ 私 X t + 私 + ε t * 。 {\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t+i}+\varepsilon _{t}^{*}\,.} ここで、 X t p 個の将来の値に基づいて決定されます。[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]。 最大エントロピー スペクトル推定と関連付けられています [ 22 ] 推定の他の方法としては、最尤推定法 が挙げられます。最尤推定法には2つの異なるバリエーションがあります。1つは（概ね前方予測最小二乗法に相当）、系列の初期値p が与えられた場合の系列の後の値の条件付き分布に対応する尤度関数を考慮します。もう1つは、観測系列のすべての値の無条件同時分布に対応する尤度関数を考慮します。観測系列が短い場合、またはプロセスが非定常に近い場合、これらのアプローチの結果に大きな違いが生じる可能性があります。
スペクトラム ノイズ分散を持つAR( p ) プロセスのパワースペクトル密度(PSD) V 1 r （ Z t ） = σ Z 2 {\displaystyle \mathrm {Var} (Z_{t})=\sigma _{Z}^{2}} 17 ]
S （ f ） = σ Z 2 | 1 − ∑ k = 1 p φ k e − 私 2 π f k | 2 。 {\displaystyle S(f)={\frac {\sigma _{Z}^{2}}{|1-\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}e^{-i2\pi fk}|^{2}}}.}
ホワイトノイズ（AR(0)）の場合
S （ f ） = σ Z 2 。 {\displaystyle S(f)=\sigma _{Z}^{2}.}
統計パッケージにおける実装 R – stats パッケージにはar 関数が含まれています。[ 23 ] い ます 。[ 24 ] MATLABの 計量経済学ツールボックス[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] MATLAB とOctave – TSA ツールボックスには、単変量、多変量 、および適応型ARモデルのための推定関数がいくつか含まれています。[ 28 ] PyMC 3 – ベイズ統計と確率的プログラミングのフレームワークは、p ラグを持つ AR モードをサポートしています。ベイズループ は、時間変動パラメータを持つAR-1プロセスのパラメータ推定とモデル選択をサポートします。[ 29 ] Python – statsmodels.org は AR モデルをホストしています。[ 30 ]
衝動反応 システムのインパルス応答とは、 k 期間前のショック項の値の変化に対する、進化する変数の変化をk の関数として表したものです。AR モデルはベクトル自己回帰モデルの特殊なケースであるため、ベクトル自己回帰#インパルス応答 のインパルス応答の計算がここにも適用されます。
n ステップ先の予測自己回帰のパラメータが
X t = ∑ 私 = 1 p φ 私 X t − 私 + ε t {\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}\,} 推定値が得られたら、自己回帰モデルを使用して任意の期間先まで予測できます。まず、t を データがまだ入手できない最初の期間を表します。次に、既知の先行値X t-i i= 1, ..., p) を自己回帰方程式に代入し、誤差項を設定します。ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} ゼロに等しくなります（ X t を tを使用して、まだデータが利用できない 次の 期間を参照します。ここでも自己回帰方程式を使用して予測を行いますが、1 つの違いがあります。現在予測している期間の 1 期間前のX の値は不明であるため、その期待値、つまり前の予測ステップから得られた予測値が代わりに使用されます。その後、将来の期間に対して同じ手順が使用され、予測方程式の右辺に毎回 1 つの予測値が追加され、 p 回の予測の後、 p 個の 右辺の値すべてが前のステップからの予測値になります。
この方法で得られた予測には、次の4つの不確実性の要因があります。(1)自己回帰モデルが正しいモデルであるかどうかの不確実性、(2)自己回帰方程式の右辺でラグ値として使用される予測値の精度に関する不確実性、(3)自己回帰係数の真の値に関する不確実性、(4)誤差項の値に関する不確実性ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}\,} n ステップ先の予測に対する信頼区間が得られます。n が 増加するにつれて、右辺変数の推定値の数が増えるため、信頼区間は広くなります。
注記 ↑ Souza, Douglas Baptista de; Leao, Bruno Paes (2023年10月26日). 「時変自己回帰過程を用いたセンサー時系列データの拡張」 . PHM Society 年次会議 . 15 (1). doi : 10.36001/phmconf.2023.v15i1.3565 . ↑ Souza, Douglas Baptista de; Leao, Bruno Paes (2024年11月5日). "自己回帰モデルを用いた多変量センサ時系列のデータ拡張と故障予測への応用". PHM Society 年次会議 . 16 (1). arXiv : 2410.16419 . doi : 10.36001/phmconf.2024.v16i1.4145 . ↑ Diodato, Nazzareno; Di Salvo, Cristina; Bellocchi, Gianni (2025年3月18日). 「地中海における10年規模の暴風雨の予測精度向上のための気候駆動型生成時変モデル」 . Communications Earth & Environment . 6 (1): 212. Bibcode : 2025ComEE...6..212D . doi : 10.1038/s43247-025-02196-2 . ↑ イナヤティ、シャリファ。イリアワン、ヌール（2024年12月31日）。 「経済予測のための時間変化自己回帰モデル」 。 マテマティカ : 131–142 . doi : 10.11113/matematika.v40.n3.1654 。 ↑ Jia, Zhixuan; Li, Wang; Jiang, Yunlong; Liu, Xingshen (2025年7月9日). 「時間変動自己回帰モデルの最適化のための最小化ソルバーの使用とその金融への応用」 . Mathematics . 13 (14): 2230. doi : 10.3390/math13142230 . ↑ Baptista de Souza, Douglas; Kuhn, Eduardo Vinicius; Seara, Rui (2019年1月)「非定常プロセスを特徴付けるための時変自己回帰モデル」 IEEE Signal Processing Letters . 26 (1): 134– 138. Bibcode : 2019ISPL...26..134B . doi : 10.1109/LSP.2018.2880086 . ↑ Wang, Shihan; Chen, Tao; Wang, Hongjian (2023年3月17日). "非定常環境におけるフェーズドアレイレーダーの性能向上を目的としたIDBDベースのビームフォーミングアルゴリズム" . Sensors . 23 (6): 3211. Bibcode : 2023Senso..23.3211W . doi : 10.3390/s23063211 . PMC 10052024 . PMID 36991922 . ↑ Abramovich, Yuri I.; Spencer, Nicholas K.; Turley, Michael DE (2007年4月)「複数のレーダー観測のための時間変動自己回帰（TVAR）モデル」 IEEE Transactions on Signal Processing . 55 (4): 1298–1311 . Bibcode : 2007ITSP...55.1298A . doi : 10.1109 /TSP.2006.888064 . ↑ Gutierrez, D.; Salazar-Varas, R. (2011年8月)「時間変動自己回帰モデルと共通空間パターンを用いた脳波信号分類」 2011 年 IEEE医用生体工学会年次国際会議 、 pp . 6585–6588。doi : 10.1109/IEMBS.2011.6091624。ISBN 978-1-4577-1589-1 PMID 22255848 ↑ Box, George EP (1994). 時系列分析 ：予測と制御 . Gwilym M. Jenkins、Gregory C. Reinsel (第3 版). Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. p. 54. ISBN 0-13-060774-6 . OCLC 28888762 . ↑ Shumway, Robert H. (2000). 時系列分析とその応用 . David S. Stoffer. ニューヨーク: Springer. pp. 90–91 . ISBN 0-387-98950-1 OCLC 42392178。 ↑ Shumway, Robert H.; Stoffer, David (2010). 時系列分析とその応用 ：Rの例付き （第3 版）. Springer. ISBN 978-1441978646 。↑ Lai, Dihui; および Lu, Bingfeng;「時系列の自己回帰モデルを決定論的動的システムとして理解する」Wayback Machine に 2023 年 3 月 24 日に アーカイブ済み、 Predictive Analytics and Futurism 、2017 年 6 月、第 15 号、2017 年 6 月、7-9 ページ ↑ Yule, G. Udny (1927)「乱れた系列における周期性の調査方法について、特にウォルファーの黒点数に関して」Wayback Machine に2011年5月14日に アーカイブ済み、 Philosophical Transactions of the Royal Society of London 、Ser. A、Vol. 226、267–298。] ↑ ウォーカー、ギルバート (1931)「関連項の系列における周期性について」Wayback Machine に 2011-06-07 に アーカイブ済み、 Proceedings of the Royal Society of London 、Ser. A、Vol. 131、518–532。 ↑ セルジオス・テオドリディス（2015年4月10日）「第1章 確率と確率過程」『 機械学習：ベイズと最適化の視点』 アカデミック・プレス、2015年、 9～ 51ページ 。ISBN 978-0-12-801522-3 。1 2 フォン・シュトルヒ、ハンス；ツヴィアーズ、フランシス・W. (2001). 気候研究における統計分析 . ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/CBO9780511612336 . ISBN 0-521-01230-9 。↑ Eshel, Gidon. "AR係数のユール・ウォーカー方程式" (PDF) . stat.wharton.upenn.edu . 2018年7月13日のオリジナルから アーカイブ (PDF) . 2019年1月27日 取得 . ↑ Burg, John Parker (1968); 「時系列データのための新しい分析手法」、『 Modern Spectrum Analysis』 （DG Childers 編）、NATO Advanced Study Institute of Signal Processing with emphasis on Underwater Acoustics。IEEE Press、ニューヨーク。 ↑ Brockwell, Peter J.; Dahlhaus, Rainer; Trindade, A. Alexandre (2005). "多変量部分集合自己回帰のための修正Burgアルゴリズム" (PDF) . Statistica Sinica . 15 : 197– 213. 2012年10月21日に オリジナル (PDF) からアーカイブされました 。 ↑ バーグ、ジョン・パーカー (1967)「最大エントロピースペクトル分析」、第37回探査地球物理学会会議議事録 、オクラホマ州オクラホマシティ。 ↑ Bos, Robert; De Waele, Stijn; Broersen, Piet MT (2002). "不規則にサンプリングされたデータへの Burg アルゴリズムの適用による自己回帰スペクトル推定" . IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement . 51 (6): 1289. Bibcode : 2002ITIM...51.1289B . doi : 10.1109/TIM.2002.808031 . 2023-04-16 のオリジナルから アーカイブ済み 。2019-12-11 に取得 。 ↑ 「時系列データに自己回帰モデルを適合させる」Wayback Machine に2016年1月28日に アーカイブされました（R言語） ↑ ストッファー、デイビッド; ポイズン、ニッキー (2023-01-09). "astsa: 応用統計時系列分析" . 2023-08-20 に取得。 ↑ 「計量経済学ツールボックス」 。www.mathworks.com 。 2023年4 月 16日にオリジナルから アーカイブ済み 。 2022年2月16日 に取得。 ↑ 「システム同定ツールボックス」 。www.mathworks.com 。 2022年2 月 16日にオリジナルから アーカイブ済み 。 2022年2月16日 に取得。 ↑ 「自己回帰モデル - MATLAB & Simulink」 。www.mathworks.com 。 2022年2 月 16日にオリジナルから アーカイブ済み 。 2022年2月16日 に取得。 ↑ 「Octave および MATLAB 用の時系列分析 (TSA) ツールボックス」 . pub.ist.ac.at . 2012-05-11 のオリジナルから アーカイブ済み . 2012-04-03 に取得. ↑ "christophmark/bayesloop" 。2021年12月7日。 2020年9月28日のオリジナルから アーカイブ済み 。 2018年 9月4日に GitHub 経由で取得。 ↑ "statsmodels.tsa.ar_model.AutoReg — statsmodels 0.12.2 ドキュメント" . www.statsmodels.org . 2021年2月28日にオリジナルから アーカイブ済み 。 2021年4月29日 に取得。
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