確率的ポートフォリオ理論

確率的ポートフォリオ理論（SPT ）は、2002年にE・ロバート・フェルンホルツによって提唱された、株式市場の構造とポートフォリオの挙動を分析するための数学理論です。規範的ではなく記述的な理論であり、実際の市場の観察された挙動と整合しています。現代ポートフォリオ理論（MPT）や資本資産価格モデル（CAPM）といった従来の理論の基礎となる規範的な仮定は、SPTには存在しません。

SPTは、個々の証券の価格を表現するために、連続時間ランダム過程（特に連続セミマルチンゲール）を使用します。ジャンプなどの不連続性を持つ過程も理論に組み込まれています*（*引用文献がないため、検証不可能な主張です！）。

SPTは株式と株式市場を対象としていますが、その手法は他の資産クラスにも適用できます。株式は価格プロセスによって表され、通常は対数表現で表されます。市場は株価プロセスの集合です。${\displaystyle X_{i},}$のために${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$それぞれ連続セミマルチンゲールによって定義される

${\displaystyle d\log X_{i}(t)=\gamma _{i}(t)\,dt+\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\,dW_{\nu }(t)}$

どこ${\displaystyle W:=(W_{1},\dots ,W_{d})}$は${\displaystyle n}$次元 ブラウン運動（ウィーナー）過程${\displaystyle d\geq n}$プロセス$\displaystyle \gamma _{i}}$そして${\displaystyle \xi _{i\nu }}$ブラウン運動による濾過に関して、 段階的に測定可能である。${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$この表現では${\displaystyle \gamma _{i}(t)}$これは（複合）成長率と呼ばれます。${\displaystyle X_{i},}$そして、​$\displaystyle \log X_{i}}$そして$\displaystyle \log X_{j}}$は${\displaystyle \sigma _{ij}(t)=\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\xi _{j\nu }(t).}$ 一般的に、${\displaystyle i,}$そのプロセス${\displaystyle \xi _{i,1}^{2}(t)+\cdots +\xi _{id}^{2}(t)}$は正であり、局所的に二乗可積分であり、として急激に増加しない。${\displaystyle t\rightarrow \infty .}$

対数表現は、収益率を用いる古典的な算術表現と同等である。${\displaystyle \alpha _{i}(t),}$しかし、成長率は金融資産の長期的なパフォーマンスを示す有意義な指標となり得る一方、収益率は上方バイアスを持つ。収益率と成長率の関係は

$\alpha_i(t) = \gamma_i(t) + \sigma_ii(t)/2 \displaystyle \alpha_i(t) = \gamma_i(t) + \frac$

SPTにおける通常の慣例では、各株式には1株の発行済み株式があると仮定します。${\displaystyle X_{i}(t)}$ は、${\displaystyle i}$当時、第 1 株${\displaystyle t,}$そして ${\displaystyle X(t)=X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)}$これは市場全体の時価総額を表します。配当金もこの表現に含めることができますが、ここでは簡略化のため省略しています。

投資戦略${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\cdots ,\pi _{n})}$は、境界があり、段階的に測定可能なプロセスのベクトルです。${\displaystyle \pi _{i}(t)}$は、総資産のうち投資された割合を表します。${\displaystyle i}$当時、第 1 株${\displaystyle t}$、 そして${\displaystyle \pi _{0}(t):=1-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)}$は、貯蓄（ゼロ金利のマネーマーケットに投資）された割合です。マイナスの値はショートポジションに対応します。現金戦略${\displaystyle \kappa \equiv 0(\kappa _{0}\equiv 1)}$すべての富を金融市場に留めておく戦略。${\displaystyle \pi }$株式市場に完全に投資されている場合、それはポートフォリオと呼ばれます。${\displaystyle \pi _{1}(t)+\cdots +\pi _{n}(t)=1}$常に保持する。

価値創造プロセス${\displaystyle Z_{\pi }}$戦略の${\displaystyle \pi }$常に肯定的で満足している

${\displaystyle d\log Z_{\pi }(t)=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\,d\log X_{i}(t)+\gamma _{\pi }^{*}(t)\,dt}$

プロセスが${\displaystyle \gamma _{\pi }^{*}}$これは過剰成長率プロセスと呼ばれ、次式で与えられる。

${\displaystyle \gamma _{\pi }^{*}(t):={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\sigma _{ii}(t)-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\pi _{i}(t)\pi _{j}(t)\sigma _{ij}(t)}$

この式は、非負のウェイトを持つポートフォリオの場合、非負となる。${\displaystyle \pi _{i}(t)}$そして、株式ポートフォリオの二次最適化に用いられており、その特殊なケースとして対数効用関数に関する最適化が挙げられる。

市場加重プロセス、

${\displaystyle \mu _{i}(t):={\frac {X_{i}(t)}{X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)}}}$

どこ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$市場ポートフォリオを定義する${\displaystyle \mu }$初期条件${\displaystyle Z_{\mu }(0)=X(0),}$関連価値プロセスは以下を満たす${\displaystyle Z_{\mu }(t)=X(t)}$すべての人々のために${\displaystyle t.}$

市場には様々な条件を課すことができ、それは実際の市場をモデル化するためであったり、特定の種類の仮想的な市場行動を強調するためであったりする。よく用いられる条件には以下のようなものがある。

1. 共分散行列の固有値が非退化である場合、市場は非退化である。${\displaystyle (\sigma _{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}}$固有値がゼロから離れた範囲に収まる。固有値が有界であれば、分散も有界となる。
2. 市場が整合的であるのは、${\displaystyle \operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }t^{-1}\log(\mu _{i}(t))=0}$すべての人々のために${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
3. 市場は多様化しており、${\displaystyle [0,T]}$存在する場合${\displaystyle \varepsilon >0}$そのため${\displaystyle \mu _{\max }(t)\leq 1-\varepsilon }$のために${\displaystyle t\in [0,T].}$
4. 市場は、${\displaystyle [0,T]}$存在する場合${\displaystyle \varepsilon >0}$そのため

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mu _{\max }(t)\,dt\leq 1-\varepsilon }$

多様性と弱い多様性はむしろ弱い条件であり、市場は一般的にこれらの極端な状況で試されるよりもはるかに多様である。市場の多様性の尺度は市場エントロピーであり、次のように定義される。

${\displaystyle S(\mu (t))=-\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\log(\mu _{i}(t)).}$

ベクトル過程を考察する${\displaystyle (\mu _{(1)}(t),\dots ,\mu _{(n)}(t)),}$と${\displaystyle 0\leq t<\infty }$ランキングされた市場ウェイト

${\displaystyle \max _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)=:\mu _{(1)}(t)\geq \mu _{(2)}(t)\geq \cdots \mu _{(n)}(t):=\min _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)}$

同点の場合は「辞書式」に解決され、常にインデックスが最も低いものが優先される。対数ギャップ

${\displaystyle G^{(k,k+1)}(t):=\log(\mu _{(k)}(t)/\mu _{(k+1)}(t)),}$

どこ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$そして${\displaystyle k=1,\dots ,n-1}$は連続かつ非負の半マルチンゲールであり、 で表す。${\displaystyle \Lambda ^{(k,k+1)}(t)=L^{G^{(k,k+1)}}(t;0)}$原点における現地時間。これらの数値は、ランク間の入れ替わりの度合いを測定するものです。${\displaystyle k}$そして${\displaystyle k+1}$時間帯の間${\displaystyle [0,t]}$。

市場は、以下の条件を満たす場合に確率的に安定していると言われます。${\displaystyle (\mu _{(1)}(t),\cdots ,\mu _{(n)}(t))}$分布において収束する${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ランダムなベクトルへ${\displaystyle (M_{(1)},\cdots ,M_{(n)})}$ワイルチャンバー内の値${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid x_{1}>x_{2}>\dots >x_{n}{\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=1\}}$ 単位単体の、そして大数の強法則が

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {\Lambda ^{(k,k+1)}(t)}{t}}=\lambda ^{(k,k+1)}>0}$

適切な実定数に対して成り立つ${\displaystyle \lambda ^{(1,2)},\dots ,\lambda ^{(n-1,n)}.}$

任意の2つの投資戦略が与えられた場合${\displaystyle \pi ,\rho }$そして実数${\displaystyle T>0}$私たちはこう言います${\displaystyle \pi }$裁定取引は${\displaystyle \rho }$時間軸を超えて${\displaystyle [0,T]}$、 もし${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)\geq Z_{\rho }(T))\geq 1}$ そして${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))>0}$両方とも成り立つ。この相対的裁定取引は、次の場合に「強い」と呼ばれる。${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))=1.}$ いつ${\displaystyle \rho }$は${\displaystyle \kappa \equiv 0,}$現金に対する裁定取引の通常の定義を復元します。特定の戦略は${\displaystyle \nu }$任意の戦略に対して、ヌメレール特性を持つ${\displaystyle \pi }$比率${\displaystyle Z_{\pi }/Z_{\nu }}$は${\displaystyle \mathbb {P} }$−超マルチンゲール。このような場合、プロセスは${\displaystyle 1/Z_{\nu }}$これは市場における「デフレーター」と呼ばれている。

戦略に関して、任意の時間軸において裁定取引は不可能である${\displaystyle \nu }$基となる確率測度に関して、ヌメレール特性を持つ${\displaystyle \mathbb {P} }$または、他の確率測度と同等のもの${\displaystyle \mathbb {P} }$戦略${\displaystyle \nu }$基準資産の性質により、投資からの漸近的成長率を最大化する。

${\displaystyle \limsup _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\pi }(T)}{Z_{\nu }(T)}}\right)\leq 0}$

あらゆる戦略に当てはまる${\displaystyle \pi }$また、あらゆる戦略において、投資から期待される対数効用を最大化する。${\displaystyle \pi }$実数${\displaystyle T>0}$我々は持っています

${\displaystyle \mathbb {E} [\log(Z_{\pi }(T)]\leq \mathbb {E} [\log(Z_{\nu }(T))].}$

ベクトルが${\displaystyle \alpha (t)=(\alpha _{1}(t),\cdots ,\alpha _{n}(t))'}$瞬間収益率と行列${\displaystyle \sigma (t)=(\sigma (t))_{1\leq i,j\leq n}}$瞬間共分散が既知であれば、戦略

${\displaystyle \nu (t)=\arg \max _{p\in \mathbb {R} ^{n}}(p'\alpha (t)-{\tfrac {1}{2}}p'\alpha (t)p)\qquad {\text{ for all }}0\leq t<\infty }$

指定された最大値に達したときはいつでも、それは基準値特性を持つ。

基準ポートフォリオの研究は、SPTを数理ファイナンスにおけるいわゆるベンチマークアプローチと結びつけるものであり、このアプローチでは基準ポートフォリオを所与のものとして扱い、それ以上の仮定をすることなく偶発債務の価格設定方法を提供する。

確率尺度${\displaystyle \mathbb {Q} }$与えられた時間軸における等価マルチンゲール測度（EMM）と呼ばれる。${\displaystyle [0,T]}$同じヌルセットを持つ場合${\displaystyle \mathbb {P} }$の上${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$プロセスが${\displaystyle X_{1}(t),\dots ,X_{n}(t)}$と${\displaystyle 0\leq t\leq T}$すべて${\displaystyle \mathbb {Q} }$−マルチンゲール。そのようなEMMが存在すると仮定すると、裁定取引は不可能である。${\displaystyle [0,T]}$現金との比較${\displaystyle \kappa }$または市場ポートフォリオへ${\displaystyle \mu }$（あるいはより一般的には、あらゆる戦略に関して）${\displaystyle \rho }$その富のプロセス${\displaystyle Z_{\rho }}$は、あるEMMの下でマルチンゲールである。逆に、${\displaystyle \pi ,\rho }$ポートフォリオがあり、そのうちの1つはもう1つに対して裁定取引である。${\displaystyle [0,T]}$そうなると、この地平線上にEMMは存在し得ない。

滑らかな関数が与えられたと仮定します${\displaystyle G:U\rightarrow (0,\infty )}$ある地域で ${\displaystyle U}$単位単体の${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$私たちは呼ぶ

${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {G} }(t):=\mu _{i}(t)\left(D_{i}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))+1-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}(t)D_{j}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))\right)\qquad {\text{ for }}1\leq i\leq n}$

関数によって生成されたポートフォリオ${\displaystyle \mathbb {G} }$このポートフォリオのすべてのウェイトが非負であることは、その生成関数が${\displaystyle \mathbb {G} }$凹関数です。穏やかな条件下では、この関数生成ポートフォリオの相対パフォーマンスは${\displaystyle \pi _{\mathbb {G} }}$市場ポートフォリオに関して${\displaystyle \mu }$は、 FG分解によって与えられる。

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\pi ^{\mathbb {G} }}(T)}{Z_{\mu }(T)}}\right)=\log \left({\frac {\mathbb {G} (\mu (T))}{\mathbb {G} (\mu (0))}}\right)+\int _{0}^{T}g(t)\,dt}$

確率積分を含まない式。

${\displaystyle g(t):={\frac {-1}{2\mathbb {G} (\mu (t))}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}D_{ij}^{2}\mathbb {G} (\mu (t))\mu _{i}(t)\mu _{j}(t)\tau _{ij}^{\mu }(t)}$

これはポートフォリオのドリフト過程と呼ばれ、生成関数が非負の値である場合、${\displaystyle \mathbb {G} }$は凹型である）

${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }(t):=\sum _{\nu =1}^{n}(\xi _{i\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t))(\xi _{j\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t)),\qquad \xi _{i\nu }(t):=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\xi _{i\nu }(t)}$

と${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$これらは相対共分散と呼ばれます。${\displaystyle \log(X_{i})}$そして${\displaystyle \log(X_{j})}$市場に関して。

確率微分方程式系の例を考えてみましょう。

${\displaystyle d\log(X_{i}(t))={\frac {\alpha }{2\mu _{i}(t)}}\,dt+{\frac {\sigma }{\mu _{i}(t)}}\,dW_{i}(t)}$

と${\displaystyle 1\leq i\leq n}$与えられた実定数${\displaystyle \alpha \geq 0}$そして${\displaystyle n}$次元ブラウン運動 ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{n}).}$BassとPerkins（2002）の研究から、このシステムには分布が一意な弱解が存在することがわかる。FernholzとKaratzas（2005）は、この解をスケーリングおよび時間変換された二乗ベッセル過程を用いて構築する方法を示し、結果として得られるシステムがコヒーレントであることを証明している。

総時価総額${\displaystyle X}$ここでは、ドリフトを伴う幾何ブラウン運動として振る舞い、最大株と同じ一定の成長率を持ちます。一方、市場ポートフォリオの超過成長率は正の定数です。他方、相対的な市場ウェイトは${\displaystyle \mu _{i}}$ と${\displaystyle 1\leq i\leq n}$多対立遺伝子ライト・フィッシャー過程のダイナミクスを持つ。このモデルは、市場ポートフォリオに関して強い裁定取引機会が存在する、分散が無制限の非多様性市場の一例である。${\displaystyle \mu }$バナーとフェルンホルツ（2008）が示したように、任意の時間範囲にわたって存在します。さらに、パル（2012）は、固定時間および特定の停止時間における市場ウェイトの同時密度を導出しました。

整数を固定します${\displaystyle m\in \{2,\dots ,n-1\}}$そして、時価総額加重ポートフォリオを2つ構築する。1つは上位銘柄で構成される。${\displaystyle m}$株式、表記${\displaystyle \zeta }$、そして底部からなるもの${\displaystyle n-m}$株式、表記${\displaystyle \eta }$より具体的には、

${\displaystyle \zeta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=1}^{m}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=1}^{m}\mu _{(l)}(t)}}\qquad {\text{ and }}\eta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=m+1}^{n}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=m+1}^{n}\mu _{(l)}(t)}}}$

のために${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$Fernholz (1999)、(2002)は、大型株ポートフォリオの市場に対する相対的パフォーマンスは次のように表されることを示した。

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\zeta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(1)}(T)+\cdots +\mu _{(m)}(T)}{\mu _{(1)}(0)+\cdots +\mu _{(m)}(0)}}\right)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m)}(t)}{\mu _{(1)}(t)+\cdots +\mu _{(m)}(t)}}\,d\Lambda ^{(m,m+1)}(t).}$

実際、その期間中にm番目の順位で入れ替わりがない場合${\displaystyle [0,T]}$の運命${\displaystyle \zeta }$市場に対する相対的な価値は、このサブユニバースの総資本がどのように${\displaystyle m}$最大の株価は、${\displaystyle T}$時間0との比較。${\displaystyle m}$ただし、${\displaystyle \zeta }$投資家は、格下げされた銘柄を損失覚悟で売却し、値上がりして格上げされた銘柄を購入しなければならない。これが、累積売買プロセスに関する積分である最後の項に表れる「漏出」の原因である。${\displaystyle \Lambda ^{(m,m+1)}}$大型株ポートフォリオにおける相対的な比重${\displaystyle \zeta }$m 位を占める銘柄のうち。

ポートフォリオでは逆の状況が見られる${\displaystyle \eta }$小型株投資家は、時価総額上位銘柄に昇格する銘柄を利益を上げて売却し、降格する銘柄を比較的安く購入することができる。

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(m+1)}(T)+\cdots +\mu _{(n)}(T)}{\mu _{(m+1)}(0)+\cdots +\mu _{(n)}(0)}}\right)+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m+1)}(t)}{\mu _{(m+1)}(t)+\cdots +\mu _{(n)}(t)}}.}$

これら2つの表現から明らかなように、一貫性があり確率的に安定した市場では、小型株の時価総額加重ポートフォリオは${\displaystyle \zeta }$大型株の同種株を上回る傾向がある${\displaystyle \eta }$少なくとも長期間にわたって、そして特に、そのような条件下では

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\lambda ^{(m,m+1)}\mathbb {E} \left({\frac {M_{(1)}}{M_{(1)}+\cdots +M_{(m)}}}+{\frac {M_{(m+1)}}{M_{(m+1)}+\cdots +M_{(n)}}}\right)>0.}$

これは、いわゆる規模効果を定量化するものである。Fernholz（1999、2002）では、このような構成は、順位付けされた市場ウェイトに基づく機能的に生成されたポートフォリオを含むように一般化されている。

一次モデルと二次モデルは、実際の株式市場の構造の一部を再現するハイブリッド型のアトラスモデルです。一次モデルは順位に基づくパラメータのみを持ち、二次モデルは順位に基づくパラメータと銘柄名に基づくパラメータの両方を持ちます。

仮に${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$一貫性のある市場であり、その限界は

${\displaystyle \mathbf {\sigma } _{k}^{2}=\lim _{t\to \infty }t^{-1}\langle \log \mu _{(k)}\rangle (t)}$

そして

${\displaystyle \mathbf {g} _{k}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{r_{t}(i)=k\}}\,d\log \mu _{i}(t)}$

存在する${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$、 どこ${\displaystyle r_{t}(i)}$ランクは${\displaystyle X_{i}(t)}$次はアトラスモデルです${\displaystyle {\widehat {X}}_{1},\ldots ,{\widehat {X}}_{n}}$定義される

${\displaystyle d\log {\widehat {X}}_{i}(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {g} _{k}\,\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dt+\sum _{k=1}^{n}\mathbf {\sigma } _{k}\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dW_{i}(t),}$

どこ${\displaystyle {\hat {r}}_{t}(i)}$ランクは${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}(t)}$そして${\displaystyle (W_{1},\ldots ,W_{n})}$は${\displaystyle n}$次元ブラウン運動過程は、元の市場の一次モデルであり、${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$。

妥当な条件下では、一次モデルの資本分配曲線は元の市場のそれに近いものになります。ただし、一次モデルは、各株式が漸近的に支出するという意味でエルゴード的です。 ${\displaystyle (1/n)}$各ランクでの時間の半分という特性は、実際の市場には存在しません。各ランクでの株式の滞在時間の割合を変化させるには、ランクと銘柄名の両方に依存するパラメータを持つハイブリッド Atlas モデルを使用する必要があります。Fernholz、Ichiba、および Karatzas (2013) は、この方向で取り組み、ランクと銘柄名に基づく成長パラメータと、ランクのみに依存する分散パラメータを持つ市場の二次モデルを導入しました。

• ファーンホルツ、ER (2002)。確率的ポートフォリオ理論。ニューヨーク: Springer-Verlag。