追跡エラー

事後トラッキングエラーの計算式は、アクティブリターンの標準偏差であり、次式で与えられる。

${\displaystyle TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b})}}}$

どこ$\displaystyle r_{p}-r_{b}}$はアクティブリターン、つまりポートフォリオリターンとベンチマークリターンの差である ^{[ 1 ]}${\displaystyle (w_{p}-w_{b})}$は、ベンチマークに対するアクティブポートフォリオのウェイトのベクトルです。トラッキングエラーと線形制約の下でリターンを最大化する最適化問題は、 2次コーンプログラミングを使用して解くことができます。$${\displaystyle {\underset {w}{\operatorname {argmax} }}\;\mu ^{T}(w-w_{b}),\quad {\text{st}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega ^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d}$$

リターンの正規性を仮定すると、アクティブリスクが x パーセントの場合、ポートフォリオのアクティブリターンの約 2/3 (平均から 1 標準偏差) は平均超過リターンの +x パーセントから -x パーセントの間に収まり、ポートフォリオのアクティブリターンの約 95% (平均から 2 標準偏差) は平均超過リターンの +2x パーセントから -2x パーセントの間に収まることが期待されます。

インデックスファンドは、複製しようとしているインデックスに対するトラッキングエラーを最小限に抑えることが期待されており、この問題は標準的な最適化手法を用いて解決できます。まず、定義します。$\displaystyle \omega ^{2}}$である：$${\displaystyle \omega ^{2}=(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})}$$どこ${\displaystyle w-w_{b}}$は、ベンチマーク指数に対する各資産のアクティブウェイトのベクトルであり、${\displaystyle \Sigma }$は、インデックスに含まれる資産の共分散行列です。インデックスファンドの作成には、すべての資産を保有することが含まれる可能性があります。${\displaystyle N}$インデックスに含まれる投資対象資産のうち、一部にのみ投資する方が良い場合もある。${\displaystyle K}$資産に関するこれらの考慮事項から、以下の混合整数二次計画問題（MIQP）が得られます。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {w}{\operatorname {argmin} }}&\quad \omega ^{2}\\{\text{st}}&\quad w_{j}\leq y_{j},\quad \sum _{j=1}^{N}y_{j}\leq K\\&\quad \ell _{j}y_{j}\leq w_{j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{aligned}}}$$どこ$\displaystyle y_j}}$は、資産がインデックスファンドに含まれるかどうかの論理的な条件であり、次のように定義されます。$${\displaystyle y_{j}={\begin{cases}1,\quad &w_{j}>0\\0,\quad &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$