パスカルの三角形

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

パスカルの三角形の最初の 8 行を示す図。

数学において、パスカルの三角形は、確率論、組合せ論、代数学において重要な役割を果たす二項係数の無限三角形配列である。西洋世界の多くでは、フランスの数学者ブレーズ・パスカルにちなんで名付けられているが、彼より何世紀も前にペルシャ、^[1]インド、^[2]中国、ドイツ、イタリアで他の数学者もパスカルの三角形を研究していた。^[3]

パスカルの三角形の行は、通常、一番上の行 (0 行目) から順に列挙されます。各行のエントリは左から順に番号が付けられ、通常は隣接する行の番号と交互に並びます。三角形は、次のように構築できます。0 行目 (最上行) には、一意の非ゼロ エントリ 1 があります。後続の各行の各エントリは、左上の数字と右上の数字を加算して構築され、空白のエントリは 0 として扱われます。たとえば、1 行目 (または他の任意の行) の初期番号は 1 (0 と 1 の合計) ですが、3 行目の数字 1 と 3 を加算すると、4 行目の数字 4 が生成されます。 ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle k=0}$

パスカルの三角形の 番目の行では、番目の要素は と表記され、「n はk を選ぶ」と発音されます。たとえば、最上位の要素は です。この表記法を使用すると、前の段落の構成は次のように記述できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1}$

$${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$$ 任意の正の整数と任意の整数に対して成り立つ。^[4] 二項係数のこの再帰性はパスカルの法則として知られている。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

パスカルの三角形を形成する数のパターンは、パスカルの時代よりずっと前から知られていました。ペルシャの数学者アル・カラジー（953–1029）は、二項係数の最初の定式化とパスカルの三角形の最初の説明を含む、現在は失われている本を著しました。^{[5] [6] [7]これは後に、別のペルシャの数学者}オマール・ハイヤーム（1048–1131）によって繰り返されたため、この三角形はイランではハイヤームの三角形（مثلث خیام ）とも呼ばれています。^[8]三角形に関連する定理はいくつか知られており、その中には二項定理があります。ハイヤームは二項展開、つまり二項係数に基づいてn乗根を求める方法を使用しました。 ^[1]

パスカルの三角形は、11世紀初頭に中国の数学者賈詡（1010–1070）の業績を通じて中国で知られていました。13世紀には楊輝（1238–1298）がこの三角形を定義し、中国では楊輝三角（楊輝三角）として知られています。^[9]

ヨーロッパでは、パスカルの三角形は、ジョルダヌス・デ・ネモアの『算術』（13世紀）で初めて登場しました。 ^[10] 二項係数は、14世紀初頭にゲルソニデスによって乗法公式を使用して計算されました。 ^[11]ペトルス・アピアヌス（1495–1552）は、1527年にビジネス計算に関する本の口絵で完全な三角形を発表しました。 ^[12]ミヒャエル・スティフェルは、1544年に三角形の一部（各行の2列目から中央の列まで）を発表し、それを数字の表として説明しました。^{[11]イタリアではパスカルの三角形は}タルタリアの三角形と呼ばれ、 1556年に6列の三角形を発表したイタリアの代数学者タルタリア（1500-1577）にちなんで名付けられました。 ^[11]ジェロラモ・カルダーノも1570年に三角形とそれを構成する加法と乗法の規則を発表しました。^[11]

パスカルの算術三角形論文は、パスカルの死後1665年に出版された。^[13] この論文で、パスカルは当時三角形について知られていたいくつかの結果を収集し、確率論の問題を解くためにそれらを用いた。この三角形は後に、ピエール・レイモンド・ド・モンモール（1708年）がこれをtable de M. Pascal pour les combinaisons（フランス語：パスカル氏の組み合わせ表）と呼び、アブラハム・ド・モアブル（1730年）がこれをTriangulum Arithmeticum PASCALIANUM（ラテン語：パスカルの算術三角形）と呼び、これが現代の西洋の名前の基礎となった。^[14]

パスカルの三角形は、 二項展開で生じる係数を決定します。たとえば、展開では、 係数はパスカルの三角形の 2 番目の行のエントリ、、、です。$${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^ {1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2},}$$${\displaystyle {\tbinom {2}{0}}=1}$${\displaystyle {\tbinom {2}{1}}=2}$${\displaystyle {\tbinom {2}{2}}=1}$

一般に、二項定理は、のような二項式を正の整数乗すると、式は のように展開され、係数はパスカルの三角形の行の数とまったく同じになるということを述べています。 ${\displaystyle x+y}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n},}$$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle a_{k}={n \choose k}.}$$

パスカルの三角形の左対角線全体は、これらの二項展開における の係数に対応し、次の左対角線は の係数に対応し、以下同様に続きます。 ${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x^{n-1}y}$

二項定理がパスカルの三角形の簡単な構成とどのように関係するかを見るために、 の展開の係数を の対応する係数で計算する問題を考えてみましょう。ここでは簡単のため t と設定します。次に 、 ${\displaystyle (x+y)^{n+1}}$${\displaystyle (x+1)^{n}}$${\displaystyle y=1}$$${\displaystyle (x+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}$$$${\displaystyle (x+1)^{n+1}=(x+1)(x+1)^{n}=x(x+1)^{n}+(x+1)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.}$$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dbinom {0}{0}}\\{\dbinom {1}{0}}\quad {\dbinom {1}{1}}\\{\dbinom {2}{0}}\quad {\dbinom {2}{1}}\quad {\dbinom {2}{2}}\\{\dbinom {3}{0}}\quad {\dbinom {3}{1}}\quad {\dbinom {3}{2}}\quad {\dbinom {3}{3}}\\{\dbinom {4}{0}}\quad {\dbinom {4}{1}}\quad {\dbinom {4}{2}}\quad {\dbinom {4}{3}}\quad {\dbinom {4}{4}}\\{\dbinom {5}{0}}\quad {\dbinom {5}{1}}\quad {\dbinom {5}{2}}\quad {\dbinom {5}{3}}\quad {\dbinom {5}{4}}\quad {\dbinom {5}{5}}\end{array}}}$

二項係数としてのパスカルの三角形の6行

2つの合計は再インデックス化され、結合されて次のように なる。${\displaystyle k=i+1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i+1}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}x^{k}+a_{n}x^{n+1}+a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}\\[4pt]&=a_{0}x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+a_{n}x^{n+1}\\[4pt]&=x^{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k-1}+a_{k})x^{k}+x^{n+1}.\end{aligned}}}$$

したがって、左端と右端の係数は 1 のままであり、任意の に対して、多項式の項の係数は、つまり前の 乗のと係数の合計に等しくなります。これはまさに、パスカルの三角形を構築するための下方加算規則です。 ${\displaystyle 0<k<n+1}$${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle (x+1)^{n+1}}$${\displaystyle a_{k-1}+a_{k}}$${\displaystyle x^{k-1}}$${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle (x+1)^{n}}$

この議論を二項定理の 証明（数学的帰納法による）に変えることは難しくありません。

なので、一般の場合の展開では係数は同一です。 ${\displaystyle (a+b)^{n}=b^{n}({\tfrac {a}{b}}+1)^{n}}$

二項定理の興味深い結果は、両方の変数を設定することによって得られ、 ${\displaystyle x=y=1}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}={n \choose 0}+{n \choose 1}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=(1+1)^{n}=2^{n}.}$$

言い換えれば、パスカルの三角形の 番目の行にある要素の合計は の 乗です。これは、各要素が特定のサブセットに独立して含まれたり除外されたりすることを観察するとわかるように、要素セットのサブセットの数は であるというステートメントに相当します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$

パスカルの三角形の2つ目の便利な応用は、組み合わせの計算です。一度に取られるアイテムの組み合わせの数、つまり要素間の要素のサブセットの数は、次の式で求められます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$。

これはパスカルの三角形の行の要素に等しい。乗算計算を実行する代わりに、三角形（加算によって構築）の適切な要素を単に調べることができる。たとえば、7人の候補者の中から3人の労働者を雇う必要があるとすると、採用の選択肢の数は7であり、上の表の行7の要素3である3を選択する。^[15]${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}=35}$

パスカルの三角形の 番目の行を で割ると、の対称的なケースでは二項分布になります。中心極限定理により、 が増加するにつれて、この分布は正規分布に近づきます。これは、組み合わせの式に含まれる階乗に スターリングの公式を適用することによっても確認できます。${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle n}$

これは、離散畳み込みの操作と2 つの点で関連しています。まず、多項式の乗算は離散畳み込みと正確に対応しているため、シーケンスをそれ自体で繰り返し畳み込むことは の累乗を取ることに対応し、したがって三角形の行を生成することに対応します。次に、ランダム変数の分布関数をそれ自体で繰り返し畳み込むことは、その変数のn 個の独立したコピーの合計の分布関数を計算することに対応します。これはまさに中心極限定理が適用される状況であり、したがって極限で正規分布になります。(何かとそれ自体で繰り返し畳み込む操作は、畳み込み累乗と呼ばれます。) ${\displaystyle \{\ldots ,0,0,1,1,0,0,\ldots \}}$${\displaystyle x+1}$

パスカルの三角形には多くの特性があり、多くの数字のパターンが含まれています。

• 1 行の要素の合計は、その前の行の合計の 2 倍になります。たとえば、行 0 (一番上の行) の値は 1、行 1 の値は 2、行 2 の値は 4 などです。これは、行内のすべての項目が、次の行に 2 つの項目 (左に 1 つ、右に 1 つ) を生成するためです。行の要素の合計は に等しくなります。${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$
• 各行の要素の積をとると、積の列（OEISの列A001142）は自然対数の底eに関連付けられます。^{[16] [17]}具体的には、 すべての 列を次のように定義します。${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$
  すると、連続する行積の比は となり、これらの比の比は となります。上記の式の右辺は の極限定義の形をとります。$${\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}$$$${\displaystyle {\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.}$$${\displaystyle e}$ $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$$
• ${\displaystyle \pi }$ニラカンタ無限級数を使うとパスカルの三角形の中に見つけることができる。^[18] $${\displaystyle \pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}}$$
• パスカルの三角形の数値の一部は、ロザニッチの三角形の数値と相関しています。
• n行目の要素の平方和は 2 n行目の中央の要素に等しい 。例えば、1 ² + 4 ² + 6 ² + 4 ² + 1 ² = 70である。一般形では、$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$$
• どの偶数行でも、真ん中の項から2つ左の項を引いた値はカタロニア数、具体的には になります。たとえば、行4は1、4、6、4、1なので、3番目のカタロニア数 が得られます。${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}}$${\displaystyle C_{3}=6-1=5}$
• 行 p （ pは素数）では、その行の 1 を除くすべての項はpで割り切れます。これは乗法の公式から簡単に証明できます。分母にはpに等しい素因数がないため、整数除算の後もp は分子に残り、要素全体がpの倍数になります。${\displaystyle {\tbinom {p}{k}}={\tfrac {p!}{k!(p-k)!}}}$${\displaystyle k!(p-k)!}$
• パリティ: n行目の 奇数項を数えるには、nを2進数に変換します。2進数表現の1の数をxとします。すると、奇数項の数は2 ^xになります。これらの数はグールドの数列の値です。^[19]
• ²ⁿ  −1行目（n≥0  ）のすべての要素は奇数である。 ^[20]
• 極性: パスカルの三角形の行の要素を交互に加算および減算すると、結果は 0 になります。たとえば、行 6 は 1、6、15、20、15、6、1 なので、式は 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0 となります。

パスカルの三角形の対角線には、図形的数の単体が含まれています。

• 左端と右端に沿った対角線には 1 のみが含まれます。
• 辺対角線の隣の対角線には、自然数が順番に含まれています。1 次元の単体数は、線分が数直線に沿って次の整数まで伸びるにつれて 1 ずつ増加します。
• 内側に移動すると、次の対角線には三角の数字が順番に含まれます。
• 次の対角線のペアには四面体数が順に含まれ、次のペアには五面体数が含まれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}$

三角形の対称性は、n^番目のd 次元数がd^番目の n次元数に等しいことを意味します。

再帰を伴わない別の式は次のようになります 。 ここで、n ^{( d )は}上昇階乗です。 $${\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},}$$

関数P _dの幾何学的な意味は、すべてのdに対してP _d (1) = 1です。最初の点の下に P d (1) = 1 に対応する追加の点を配置​​して、 d 次元の三角形 (3 次元の三角形は四面体です)を_作成します。これらの点を、パスカルの三角形の数字の配置に似た方法で配置します。P _d ( x ) を見つけるには、ターゲットの形状を構成する点の合計がx個になるようにします。すると、P _d ( x ) は形状内の点の合計数に等しくなります。0 次元の三角形は点で、1 次元の三角形は単なる線であるため、P ₀ ( x ) = 1 およびP ₁ ( x ) = xとなり、これは自然数のシーケンスです。各層の点の数は、P _{d  − 1} ( x ) に対応します。

他の要素や階乗を計算せずに、行または対角線上のすべての要素を計算する簡単なアルゴリズムがあります。

要素 を持つ行 を計算するには、 から始めます。後続の各要素については、分子と分母がゆっくり変化する分数で前の値を乗算して値を決定します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

たとえば、行 5 を計算する場合、分数は  、  、  、  であり、したがって要素は  、   、   などになります (残りの要素は対称性によって最も簡単に取得されます)。 ${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$

要素を含む対角線を計算するには、もう一度から始めて、特定の分数を掛けて後続の要素を取得します。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

たとえば、 から始まる対角線を計算する場合、分数は  、要素はなどになります。対称性により、これらの要素はなど になります。${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$${\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }$${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$${\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}$

• パスカルの三角形の奇数のみを色付けすることで得られるパターンは、シェルピンスキーの三角形として知られるフラクタルとよく似ています。この類似性は、考慮する行の数が増えるにつれてますます正確になります。極限では、行数が無限に近づくにつれて、結果として得られるパターンは、固定された周囲長を前提としたシェルピンスキーの三角形になります。より一般的には、数字は、3、4 などの倍数であるかどうかに応じて異なる色で塗ることができ、これにより、他の同様のパターンが得られます。

nが増加するにつれて黒数字の割合がゼロに近づくので、帰結として、nが無限大に近づくにつれて奇数の二項係数の割合はゼロに近づく。^[21]

• グリッドの三角形部分 (下の画像のように) では、特定のノードから三角形の最上位ノードまでの最短グリッド パスの数が、パスカルの三角形の対応するエントリになります。三角形の形をしたPlinkoゲーム ボードでは、この分布によってさまざまな賞品を獲得する確率が示されます。

• パスカルの三角形の行が左揃えになっている場合、対角帯 (以下に色分けされている) の合計はフィボナッチ数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{\text{counting}}&={\text{binomial}}\end{aligned}}}$

指数行列としての二項行列。すべてのドットは 0 を表します。

パスカルの三角形は階乗によって簡単に構築できるため、行列指数による非常に基本的な表現が可能です。パスカルの三角形は、下対角線上に 1、2、3、4、... のシーケンスがあり、他のすべての場所でゼロである行列の指数です。

各 n 単体の要素にラベルを付けることにより、行列ではなく幾何代数で形式として使用されるクリフォード代数の基底要素が一致する。回転などの幾何学的演算を認識することで、代数演算を発見することができる。後述するように、パスカルの三角形の 0 から始まる各行nが(n-1)単体に対応するのと同様に、これはn次元幾何代数の名前付き基底形式の数も定義する。二項定理を使用して、パスカルの三角形によって提供される幾何学的関係を証明できる。^[22]この同じ証明は単体にも適用できるが、最初の列のすべての 1 は無視する必要があるが、代数ではこれらは基底 1 の 実数 に対応する。${\displaystyle \mathbb {R} }$

パスカルの三角形は、多面体(三角形、四面体、正方形、立方体など) 内の要素 (辺や角など) の数を調べるための参照テーブルとして使用できます。

まず、パスカルの三角形の 3 番目の線 (値が 1、3、3、1) について考えてみましょう。2 次元の三角形には、2 次元要素 (それ自体) が 1 つ、1 次元要素 (線または辺) が 3 つ、0 次元要素 (頂点または角) が 3 つあります。最後の数字 (1) の意味は説明が難しくなります (ただし、下記を参照)。この例を続けると、四面体には、3 次元要素 (それ自体) が 1 つ、2 次元要素 (面) が 4 つ、1 次元要素 (辺) が 6 つ、0 次元要素 (頂点) が 4 つあります。最後の 1 をもう一度追加すると、これらの値は三角形の 4 番目の行 (1、4、6、4、1) に対応します。線 1 は点に対応し、線 2 は線分 (ダイアド) に対応します。このパターンは、任意の高次元の超四面体（単体として知られる）にも適用されます。

このパターンが存在する理由を理解するには、まず、(n − 1) 単体から n 単体を構築するプロセスは、( n − 1)単体に新しい頂点を追加し、この新しい頂点が元の単体の空間の外側に位置するように配置し、元のすべての頂点に接続するだけであることを理解する必要があります。例として、パスカルの三角形の行 3 に列挙されている要素 ( 1 つの面、3 つの辺、3 つの頂点) を持つ三角形から四面体を構築するケースを考えます。三角形から四面体を構築するには、三角形の平面より上に新しい頂点を配置し、この頂点を元の三角形の 3 つの頂点すべてに接続します。

四面体における任意の次元の要素の数は、2 つの数の合計になります。1 つは、元の三角形にあるその要素の数、もう1 つは、元の三角形の 1 つ少ない次元の要素に基づいて構築される新しい要素の数です。したがって、四面体では、セル(多面体要素)の数は0 + 1 = 1、面の数は1 + 3 = 4、辺の数は3 + 3 = 6、新しい頂点の数は3 + 1 = 4です。任意の次元の要素の数を 1 つ少ない次元の要素の数に合計して、次に高い単体にある前者の数を求めるこのプロセスは、パスカルの三角形の行で隣接する 2 つの数を合計して以下の数を求めるプロセスと同じです。したがって、パスカルの三角形の行の最後の数字 (1) の意味は、その行で表される単体に追加され、次の行で表される次のより高い単体を生成する新しい頂点を表すと理解されます。この新しい頂点は、元の単体のすべての要素に結合され、新しい単体に 1 つ高い次元の新しい要素を生成します。これが、パスカルの三角形に見られるパターンと同一であることがわかったパターンの起源です。

三角形ではなく、正方形に関しても同様のパターンが見られます。パターンを見つけるには、パスカルの三角形に類似したものを作成する必要があります。パスカルの三角形の要素は、( x + 1)^行番号ではなく、( x + 2)^行番号の係数です。これを行うには、いくつかの方法があります。最も簡単な方法は、行 0 = 1、行 1 = 1, 2 から始めることです。次の規則に従って、類似の三角形の作成に進みます。

${\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}$

つまり、パスカルの三角形の規則に従って数字のペアを選択しますが、加算する前に左側の数字を 2 倍にします。結果は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}}$

この三角形を作成するもう 1 つの方法は、パスカルの三角形から始めて、各要素に 2 ^{k を}掛けることです。ここで、 k は指定された数の行の位置です。たとえば、パスカルの三角形の行 4 の 2 番目の値は 6 です (1 の傾きは各行の 0 番目の要素に対応します)。アナログ三角形の対応する位置にある値を取得するには、6 に2^位置番号= 6 × 2 ² = 6 × 4 = 24を掛けます。これでアナログ三角形が作成されたので、任意の次元の立方体(ハイパーキューブと呼ばれる)を構成する任意の次元の要素の数は、パスカルの三角形に類似した方法で表から読み取ることができます。たとえば、2 次元立方体 (正方形) の 2 次元要素の数は 1、1 次元要素 (辺または線) の数は 4、0 次元要素 (点または頂点) の数は 4 です。これは、表の 2 行目 (1、4、4) と一致します。立方体には 1 つの立方体、6 つの面、12 の辺、8 つの頂点があり、これはアナログ三角形の次の行 (1、6、12、8) に対応します。このパターンは無限に続きます。

このパターンが存在する理由を理解するには、まず、 ( n − 1)立方体からn立方体を構築するには、元の図形を複製し、元の図形の空間に直交する距離 (通常のn立方体の場合は辺の長さ)だけ移動させ、新しい図形の各頂点を元の図形の対応する頂点に接続すればよいことを認識してください。この最初の複製プロセスがあるため、n立方体の次元要素を列挙するには、パスカルの三角形の類似体の行にある 2 つの数値のうち最初の数値を 2 倍にしてから合計して、以下の数値を得なければなりません。このように、最初の 2 倍にすると、次に高いn立方体にある「元の」要素の数が得られ、前と同様に、新しい要素は 1 つ少ない次元の要素の上に構築されます (頂点の上に辺、辺の上に面など)。ここでも、行の最後の数値は、次に高いn立方体を生成するために追加される新しい頂点の数を表します。

この三角形では、行mの要素の合計は3 ^mに等しくなります。再び、行 4 の要素を例にすると、1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81となり、これは に等しくなります。 ${\displaystyle 3^{4}=81}$

パスカルの三角形の各行は、n次元立方体の固定頂点からの各距離にある頂点の数を示します。たとえば、3 次元では、3 行目 (1 3 3 1) は通常の 3 次元立方体に対応します。頂点V を固定すると、 Vから距離 0 の頂点が 1 つ(つまり、V自体)、距離 1 の頂点が 3 つ、距離√ 2の頂点が 3 つ、距離√ 3の頂点が 1 つ( Vの反対側の頂点) あります。2 行目は正方形に対応し、より大きな番号の行は各次元の 超立方体に対応します。

前述のように、( x  + 1) ⁿの係数は三角形の n 番目の行です。ここで、( x  − 1) ⁿの係数は同じですが、符号が +1 から −1 に交互に変わります。適切な正規化を行うと、同じ数のパターンがsin( x ) ^{n +1} / xのフーリエ変換で発生します。より正確には、nが偶数の場合は変換の実数部を取り、 nが奇数の場合は虚数部を取ります。その結果はステップ関数であり、その値 (適切に正規化) は三角形のn番目の行で交互に符号が付けられます。 ^[23]たとえば、次の結果のステップ関数の値は次のとおりです。

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}$

三角形の 4 行目を、交互に符号を付けて構成します。これは、次の基本的な結果 (電気工学でよく使用されます) を一般化したものです。

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}$

はボックスカー関数です。^[24] 三角形の対応する行は行0であり、これは数字1だけで構成されています。

n が 2 または 3 mod 4 と合同である場合、符号は -1 から始まります。実際、（正規化された）最初の項のシーケンスはiの累乗に対応し、複素平面の単位円と軸の交点を中心に循環します。$${\displaystyle +i,-1,-i,+1,+i,\ldots }$$

パスカルの三角形は、加法性を保ちながら頂点の1より上まで延長することができるが、そうする方法は複数ある。^[25]

パスカルの三角形には、より高次元の一般化があります。3 次元バージョンはパスカルのピラミッドまたはパスカルの四面体として知られており、一般バージョンはパスカルの単体として知られています。

階乗関数が と定義されると、パスカルの三角形は が複素平面全体に有理型であるため、整数を超えて まで拡張できます。^[26]${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Gamma (z+1)}$

アイザック・ニュートンはかつて、パスカルの三角形の最初の 5 行を整数の数字として読むと、対応する 11 の累乗になることに気づきました。彼は、後続の行も 11 の累乗を生成することを証拠なしに主張しました。^[27] 1964 年に、ロバート・L・モートンは、各行を基数として読むことができるという、より一般的な議論を提示しました。ここで、 は三角形の仮想的な終端行、つまり極限であり、行 はその部分積です。^[28]彼は、行 のエントリを位取り数値として直接解釈すると、 の二項展開に対応することを証明しました。その後、より厳密な証明が開発されました。^{[29] [30]}この解釈の背後にある原理をよりよく理解するために、二項式について覚えておくべきいくつかのことを次に示します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$

• 位置表記法の基数数値（例： ）は、変数 の単変数多項式であり、番目の項（ から始まる）の変数の次数は です。たとえば、 です。${\displaystyle a}$${\displaystyle 14641_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}}$
• 行は の二項展開に対応する。 変数はと設定することで展開から除去できる。展開は、上で示したように、基数展開形式の典型となる。 ^{[31] [32]}したがって、行のエントリを連結して基数で読み取ると、の数値的等価物を形成する。の場合、 の奇数値に対して定理が成り立ち、負の行積が生じる。^{[33] [34] [35]}${\displaystyle (a+b)^{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b=1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$${\displaystyle c=a+1}$${\displaystyle c<0}$${\displaystyle a=\{c-1,-(c+1)\}\;\mathrm {mod} \;2c}$${\displaystyle n}$

行の基数（変数）をそれぞれ 1 と 10 に設定すると、行は積 とになります。説明のために、行積 を生成するを考えてみましょう。 の数値表現は、行 のエントリを連結することによって形成されます。12 行目は積を表します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 11_{1}^{n}=2^{n}}$${\displaystyle 11_{10}^{n}=11^{n}}$${\displaystyle a=n}$${\displaystyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}}$${\displaystyle 11_{n}^{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}}$

は、基数 12 の複合数字 (":" で区切られる) です。から までの数字は、これらの行エントリの計算結果が 12 以上の値となるため、複合数字です。^[36]数値を正規化するには、最初の複合エントリのプレフィックスを繰り上げます。つまり、係数のプレフィックスをその左端の桁から右端の桁まで (ただし、右端の桁は除きます) 削除し、基数 12 の演算を使用して、削除したプレフィックスとそのすぐ左のエントリを合計します。次に、このプロセスを左方向に繰り返し、左端のエントリに達します。この特定の例では、正規化された文字列は、すべての についてで終わります。 の左端の桁はで、エントリ でのを繰り上げることで得られます。したがって、 の正規化された値の長さは、行の長さ に等しくなります。 の整数部には、 (小数点が左に移動した桁数) が行の長さより 1 少ないため、ちょうど 1 つの桁が含まれます。 以下は の正規化された値です。複合数字は基数 10 で表される基数剰余であるため、値に残ります。 ${\displaystyle k=n-1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle {n \choose n-1}}$${\displaystyle 01}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 10_{n}}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle 11_{n}^{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle 1.1_{n}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}}$${\displaystyle 1234}$

${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 digits}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}}$