三項三角形

三項式三角形はパスカルの三角形の変形です。両者の違いは、三項式三角形の要素は、その上にある 3 つの要素 (パスカルの三角形の2 つではなく) の合計である点です。

第行の番目のエントリは次のように表される。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {n \choose k}_{2}}$。

行は0から数えられます。行のエントリは左から順にインデックスが付けられ、中央のエントリはインデックス0を持ちます。中央のエントリに関する行のエントリの対称性は、次の関係によって表されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$

${\displaystyle {n \choose k}_{2}={n \choose -k}_{2}}$

-行目は、三項式の-乗展開の多項式展開の係数に対応する。^[1]${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (1+x+x^{2})}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(1+x+x^{2}\right)^{n}=\sum _{j=0}^{2n}{n \choose j-n}_{2}x^{j}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{n+k}}$

あるいは対称的に、

${\displaystyle \left(1+x+1/x\right)^{n}=\sum _{k=-n}^{n}{n \choose k}_{2}x^{k}}$、

多項式係数との関係から、三項式係数とも呼ばれます。

${\displaystyle {n \choose k}_{2}=\sum _{\textstyle {0\leq \mu ,\nu \leq n \atop \mu +2\nu =n+k}}{\frac {n!}{\mu !\,\nu !\,(n-\mu -\nu )!}}}$

さらに、対角線には三角数との関係など、興味深い特性があります。

-行目の要素の合計はです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 3^{n}}$

三項式係数は次の再帰式を使って生成できる：^[1]

${\displaystyle {0 \choose 0}_{2}=1}$、

${\displaystyle {n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}}$のために、${\displaystyle n\geq 0}$

ここで、 およびです。 ${\displaystyle {n \choose k}_{2}=0}$${\displaystyle \ k<-n}$${\displaystyle \ k>n}$

三項三角形の中央の要素

1、1、3、7、19、51、141、393、1107、3139、…（OEISの配列A002426）

はオイラーによって研究され、中心三項係数として知られています。

唯一知られている素数の中心三項係数は、n = 2、3、4 における 3、7、19 です。

次の中心三項係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {n \choose 0}_{2}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n(n-1)\cdots (n-2k+1)}{(k!)^{2}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose 2k}{2k \choose k}.}$

それらの生成関数は^[2]

${\displaystyle 1+x+3x^{2}+7x^{3}+19x^{4}+\ldots ={\frac {1}{\sqrt {(1+x)(1-3x)}}}.}$

オイラーは、次のような記憶に残る帰納法（「誤った帰納法の注目に値する例」）の例を指摘しました。

${\displaystyle 3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)}$のために、${\displaystyle 0\leq n\leq 7}$

ここで はn番目のフィボナッチ数です。しかし、 がより大きい場合、この関係は誤りです。ジョージ・アンドリュースは、この誤りを一般恒等式^{[3]を使って説明しました。}${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 2\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left[{n+1 \choose 10k}_{2}-{n+1 \choose 10k+1}_{2}\right]=F_{n}(F_{n}+1).}$

三角形は、チェスのゲームでキングが取ることができるパスの数に対応しています。セル内のエントリは、キングがセルに到達するために取ることができる異なるパスの数（最小移動数を使用）を表します。

の展開におけるの係数は、2組の同一のトランプカードからそれぞれカードを引く異なる方法の数を与えます。^[4]たとえば、3枚のカードA、B、Cの2組から、異なる引き方は次のようになります。 ${\displaystyle x^{k}}$${\displaystyle \left(1+x+x^{2}\right)^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

例えば、

${\displaystyle 6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1}$。

特に、これはカードゲーム「ドッペルコップフ」における異なる手札の数の公式を提供します。 ${\displaystyle {24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}}$

あるいは、2つのセットから同じカードのペアを選ぶ方法の数、つまり二項係数を考慮することでこの式に到達することも可能です。残りのカードは、二項係数を使って次のように表すことができる ^[4]方法で選ぶことができます。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {n \choose p}}$${\displaystyle k-2p}$${\displaystyle {n-p \choose k-2p}}$

${\displaystyle {n \choose k-n}_{2}=\sum _{p=\max(0,k-n)}^{\min(n,[k/2])}{n \choose p}{n-p \choose k-2p}}$。

上記の例は、同じカードのペアがない 2 枚のカードを選択する 3 つの方法 (AB、AC、BC) と、同じカードのペアを選択する 3 つの方法 (AA、BB、CC) に対応しています。

• レオンハルト・オイラー(1767)。 「Observationes Analyticae (「分析観察」)」。Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae。11：124–143。