パスカルの三角形を要素とする無限行列
行列理論 と 組合せ論
において 、 パスカル行列は、 二項係数を 要素として 含む 行列 （ 無限大 の場合もある）である。したがって、これは パスカルの三角形を行列形式でエンコードしたものである。これを実現する自然な方法は、 下三角行列 、 上三角行列 、または 対称行列 の 3 つである 。たとえば、5 × 5 行列は次のようになる。
ら
5
=
（
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
3
3
1
0
1
4
6
4
1
）
{\displaystyle L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,}
あなた
5
=
（
1
1
1
1
1
0
1
2
3
4
0
0
1
3
6
0
0
0
1
4
0
0
0
0
1
）
{\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,}
S
5
=
（
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
1
5
15
35
70
）
=
ら
5
×
あなた
5
{\displaystyle S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}=L_{5}\times U_{5}}
パスカルの三角形を行列形式にする方法は他にもあるが、これらは簡単に無限大に拡張できない。 [1]
意味 パスカル行列の非ゼロ要素は 二項係数 で与えられる:
ら
私 じゅう
=
（
私 じゅう
）
=
私 ！
じゅう ！ （ 私 − じゅう ） ！
、 じゅう ≤ 私
{\displaystyle L_{ij}={i \choose j}={\frac {i!}{j!(ij)!}},j\leq i}
あなた
私 じゅう
=
（
じゅう 私
）
=
じゅう ！
私 ！ （ じゅう − 私 ） ！
、 私 ≤ じゅう
{\displaystyle U_{ij}={j \choose i}={\frac {j!}{i!(ji)!}},i\leq j}
S
私 じゅう
=
（
私 + じゅう
私
）
=
（
私 + じゅう
じゅう
）
=
（ 私 + じゅう ） ！
私 ！ じゅう ！
{\displaystyle S_{ij}={i+j \choose i}={i+j \choose j}={\frac {(i+j)!}{i!j!}}}
インデックス i 、 j は 0 から始まり、! は 階乗 を表します。
プロパティ これらの行列は、 S n = L n U n という良好な関係を持っています。このことから、3 つの行列すべてが行列式 1を持つことが簡単にわかります 。これは、三角行列の行列式は対角要素の積に過ぎず、 L n と U n の 両方ですべて 1 になるからです。言い換えると、行列 S n 、 L n 、および U n は ユニモジュラ であり 、 L n と U n は トレース n を 持ちます 。
S n のトレースは 次のように与えられる
。
tr
（
S
ん
） =
∑
私 = 1
ん
[ 2 （ 私 − 1 ） ] ！
[ （ 私 − 1 ） ！
]
2
=
∑
け = 0
ん − 1
（ 2 け ） ！
（ け ！
）
2
{\displaystyle {\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}
最初の数項は、1、3、9、29、99、351、1275、... という数列で表されます ( OEIS の A006134 数列)。
工事 パスカル行列は、実際には、特殊な 下対角 行列または 上対角行列の 行列指数を 取ることによって構築できます 。以下の例では、7 × 7 パスカル行列を構築していますが、この方法は任意の n × n パスカル行列に使用できます。次の行列のドットは、ゼロ要素を表します。
ら
7
= 経験
（
[
。
。
。
。
。
。
。
1
。
。
。
。
。
。
。
2
。
。
。
。
。
。
。
3
。
。
。
。
。
。
。
4
。
。
。
。
。
。
。
5
。
。
。
。
。
。
。
6
。
]
）
=
[
1
。
。
。
。
。
。
1
1
。
。
。
。
。
1
2
1
。
。
。
。
1
3
3
1
。
。
。
1
4
6
4
1
。
。
1
5
10
10
5
1
。
1
6
15
20
15
6
1
]
;
あなた
7
= 経験
（
[
1
。
1
。
。
。
。
。
1
。
。
2
。
。
。
。
1
。
。
。
3
。
。
。
1
。
。
。
。
4
。
。
1
。
。
。
。
。
5
。
1
。
。
。
。
。
。
6
1
。
。
。
。
。
。
。
]
）
=
[
1
1
1
1
1
1
1
。
1
2
3
4
5
6
。
。
1
3
6
10
15
。
。
。
1
4
10
20
。
。
。
。
1
5
15
。
。
。
。
。
1
6
。
。
。
。
。
。
1
]
;
∴
S
7
= 経験
（
[
。
。
。
。
。
。
。
1
。
。
。
。
。
。
。
2
。
。
。
。
。
。
。
3
。
。
。
。
。
。
。
4
。
。
。
。
。
。
。
5
。
。
。
。
。
。
。
6
。
]
）
経験
（
[
私
。
1
。
。
。
。
。
私
。
。
2
。
。
。
。
私
。
。
。
3
。
。
。
私
。
。
。
。
4
。
。
私
。
。
。
。
。
5
。
私
。
。
。
。
。
。
6
私
。
。
。
。
。
。
。
]
）
=
[
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
28
1
4
10
20
35
56
84
1
5
15
35
70
126
210
1
6
21
56
126
252
462
1
7
28
84
210
462
924
]
。
{\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\therefore &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}
n × n 行列 A と B に対して、単純に exp( A ) exp( B ) = exp( A + B )と仮定することはできません。この等式は、 AB = BA (つまり、行列 A と Bが 交換できる 場合)の場合にのみ成り立ちます 。上記のような対称パスカル行列の構築では、副対角行列と上対角行列は交換できないため、行列の加算を伴う (おそらく) 魅力的な単純化を行うことはできません。
構築に使用されるサブ対角行列とスーパー対角行列の便利な特性は、両方とも べき乗である ことです。つまり、十分に大きな 整数 乗すると、 ゼロ行列 に退化します。( 詳細については、 シフト行列を参照してください。) 使用している n × nの一般化シフト行列は n 乗するとゼロになるため、行列指数を計算するときに、正確な結果を得るには、 無限級数 の最初の n + 1 項のみを考慮する必要があります 。
バリエーション 行列対数 PL 7 を明らかに変更し、次に行列指数を適用することで、興味深いバリエーションが得られます。
以下の最初の例では、対数行列の値の2乗を使用して、7×7の「ラゲール」行列（または ラゲール多項式の係数の行列）を構築します。
L
A
G
7
=
exp
(
[
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
9
.
.
.
.
.
.
.
16
.
.
.
.
.
.
.
25
.
.
.
.
.
.
.
36
.
]
)
=
[
1
.
.
.
.
.
.
1
1
.
.
.
.
.
2
4
1
.
.
.
.
6
18
9
1
.
.
.
24
96
72
16
1
.
.
120
600
600
200
25
1
.
720
4320
5400
2400
450
36
1
]
;
{\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}
ラゲール行列は、実際には他のスケーリングや交互符号方式とともに使用されます。(より高い累乗への一般化に関する文献はまだ見つかっていません)
以下の2番目の例では、 対数行列の値の積 v （ v + 1）を使用して、7×7の「Lah」行列（または Lah数 の係数の行列）
を構築します。
L
A
H
7
=
exp
(
[
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
12
.
.
.
.
.
.
.
20
.
.
.
.
.
.
.
30
.
.
.
.
.
.
.
42
.
]
)
=
[
1
.
.
.
.
.
.
.
2
1
.
.
.
.
.
.
6
6
1
.
.
.
.
.
24
36
12
1
.
.
.
.
120
240
120
20
1
.
.
.
720
1800
1200
300
30
1
.
.
5040
15120
12600
4200
630
42
1
.
40320
141120
141120
58800
11760
1176
56
1
]
;
{\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}
代わりにv ( v − 1)を使用すると 、右下への対角シフトが実現されます。
以下の3番目の例では、元のPL 7 行列の平方を 2で割ったもの、つまり、2番目の副対角要素の1次二項式（binomial( k ,2)）を使用して、ガウス 誤差関数の 微分 と 積分のコンテキスト で発生する行列を構築します 。
G
S
7
=
exp
(
[
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
10
.
.
.
.
.
.
.
15
.
.
]
)
=
[
1
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
1
.
1
.
.
.
.
.
3
.
1
.
.
.
3
.
6
.
1
.
.
.
15
.
10
.
1
.
15
.
45
.
15
.
1
]
;
{\displaystyle {\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}
この行列を 反転する と（たとえば、負の行列対数を使用して）、この行列は符号が交互になり、ガウスの誤差関数の導関数（および拡張により積分）の係数を与えます。（より大きな累乗への一般化に関する文献はまだ見つかっていません。）
元の行列を 負の値 に拡張することで、別の変形が得られます。
exp
(
[
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
]
)
=
[
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
5
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
−
4
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
10
6
−
3
1
.
.
.
.
.
.
.
.
5
−
4
3
−
2
1
.
.
.
.
.
.
.
−
1
1
−
1
1
−
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
3
3
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
4
6
4
1
.
.
.
.
.
.
.
1
5
10
10
5
1
]
.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}
参照
参考文献
^ Birregah, Babiga; Doh, Prosper K.; Adjallah, Kondo H. (2010-07-01). 「パスカルの三角形の行列形式への体系的アプローチ: 12 個の三角形行列形式と関係」. European Journal of Combinatorics . 31 (5): 1205–1216. doi :10.1016/j.ejc.2009.10.009. ISSN 0195-6698.
Call, GS; Velleman, DJ (1993 年 4 月)、「パスカルの行列」、 American Mathematical Monthly 、 100 (4): 372–6、 doi :10.1080/00029890.1993.11990415、 JSTOR 2324960 エデルマン、アラン; ストラング、ギルバート (2004 年 3 月)、「パスカル行列」、 アメリカ数学月刊誌 、 111 (3): 361–385、 doi :10.1080/00029890.2004.11920065、 JSTOR 4145127 エンドル、K. (1956)。 「超多項式システムとヘルミテッシェン多項式システムの管理システム」。 数学的ツァイシュリフト 。 65 (1): 7-15。 土井 ：10.1007/BF01473866。
外部リンク G. ヘルムズ パスカル行列 数論的行列に関する事実の集大成プロジェクト G. ヘルムスのガウス行列 ワイスタイン、エリック W. ガウス関数 ワイスタイン、エリック W. エルフ関数 ワイスシュタイン、エリック W.「エルミート多項式」。エルミート多項式 OEIS シーケンス A066325 (ユニタリ エルミート多項式 Hen(x) の係数) (ガウス行列に関連)。
![{\displaystyle {\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807ef023bf273f4d6285d938df8948ab45df0332)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right )=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\したがって &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&..\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045770725c1da8f518f4ce851e764ea0e35d76d5)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\ begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ba5c1436107e3df27418ec52690307031066f)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&. \\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f5fa329b5cef35f151bd8d7a04c7021bbe48ba)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\righ t)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1258220d051b41ff146243babe85ae98c066b71d)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.&.\ \.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\lef t[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&..\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&. &.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc8c5d05a829836beceb789cb8275b2c86b5c2f)