パスカルの単体

数学において、パスカルの単体は、多項式定理に基づいて、パスカルの三角形を任意の次元数に一般化したものです。

m ( m > 0 ) を多項式の項の数とし、n ( n ≥ 0 ) を多項式の累乗とします。

⁠ ⁠ ${\displaystyle \wedge}$^{m を}パスカルのm単体とします。各パスカルのm単体は半無限オブジェクトであり、そのコンポーネントの無限のシリーズで構成されます。

⁠ ⁠ しましょう${\displaystyle \wedge}$^m
_nは、そのn番目の成分を表します。これは、辺の長さがnである有限の( m − 1)単体であり、表記上は と同等です。 ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}}$

${\displaystyle \wedge_{n}^{m}=\vartriangle_{n}^{m-1}}$m項のn乗を持つ多項式の多項式展開の係数から構成されます。

${\displaystyle |x|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{0},\ m\in \mathbb {N} }$

どこ。 ${\displaystyle \textstyle |x|=\sum _{i=1}^{m}{x_{i}},\ |k|=\sum _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_{i}}}}$

パスカルの 4 単体 ( OEISのシーケンスA189225 ) をk ₄に沿ってスライスします。同じ色のすべての点は、赤 ( n = 0の場合) から青 ( n = 3の場合) まで、同じn番目のコンポーネントに属します。

⁠ ⁠ ${\displaystyle \wedge }$¹は特別な名前では知られていません。

${\displaystyle \wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}}$（点）は、 1項のn乗の多項式の多項式展開の係数である。

${\displaystyle (x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}};\ \ k_{1},n\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle \textstyle {n \choose n}}$

これはすべてのnに対して 1 になります 。

${\displaystyle \wedge ^{2}}$パスカルの三角形として知られています（OEISのシーケンスA007318）。

${\displaystyle \wedge _{n}^{2}=\vartriangle _{n}^{1}}$(線)は、 2つの項をn乗した多項式の二項展開の係数から構成されます。

${\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle \textstyle {n \choose n,0},{n \choose n-1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}}$

${\displaystyle \wedge ^{3}}$パスカルの四面体（OEISの配列A046816） として知られています。

${\displaystyle \wedge _{n}^{3}=\vartriangle _{n}^{2}}$(三角形) は、 3 つの項をn乗した多項式の三項展開の係数で構成されます。

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0},{n \choose 0,n,0}\\\textstyle {n \choose n-1,0,1}&,\textstyle {n \choose n-2,1,1},\cdots \cdots ,{n \choose 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstyle {n \choose 1,0,n-1}&,\textstyle {n \choose 0,1,n-1}\\\textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}}$は、 の各( m − 1)面 ( m + 1個あります)と数値的に等しい、または: ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}$

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\subset \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}$

このことから、全体は に ( m + 1) 回含まれる、つまり次のようになります。 ${\displaystyle \wedge ^{m}}$${\displaystyle \wedge ^{m+1}}$

${\displaystyle \wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}}$

上記の配列のその他の用語については、（OEISのシーケンスA191358） を参照してください。

逆に、は ( m + 1)回で制限されます。つまり 、${\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}}$${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

${\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

このことから、nが与えられた場合、すべてのi面はすべてのパスカルの ( m > i )-単体 のn番目の要素において数値的に等しい、つまり次のようになります。

${\displaystyle \wedge _{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\subset \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}}$

パスカルの 3 単体の 3 番目の要素 (2 単体) は、3 つの等しい 1 面 (線) で囲まれます。各 1 面 (線) は、2 つの等しい 0 面 (頂点) で囲まれます。

2単体 2単体の1面 1面の0面

 1 3 3 1 1 。 。 。 。 。 。 1 1 3 3 1 1 。 。 。 。 。 。 1
  3 6 3 3 . . . . 3 . . .
   3 3 3 . . 3 . .
    1 1 1 .

また、すべてのmとすべてのnについて:

${\displaystyle 1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

パスカルのm単体のn番目の成分（（m −1）単体）を構成する多項式展開の係数の数は次のように表される。

${\displaystyle {(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)}=\left(\!\!{\binom {m}{n}}\!\!\right),}$

（後者はマルチチョース表記法です）。これは、パスカルのm 単体の( n − 1)番目の要素 ( ( m − 1)単体) の係数の数と、パスカルの( m − 1) 単体のn番目の要素 ( ( m − 2 )単体)の係数の数の合計として、またはm個の指数間でのn乗のすべての可能な分割の数として見ることができます。

この表の項は、対称パスカル行列の形式のパスカル三角形を構成します。

パスカルのm単体のn番目の成分（( m − 1)単体）は、( m !)倍の空間対称性を持ちます。

m次元空間の直交軸k ₁、...、k _m、各軸の成分の頂点はnにあり、先端はn = 0の場合に[0、...、0]にあります。

大きな数の n 乗をラップすると、パスカルの単体の n 番目の要素が即座に得られます 。

${\displaystyle \left|b^{dp}\right|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\in \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+1)^{i-2}}$

どこ。 ${\displaystyle \textstyle b^{dp}=(b^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m}{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}}$