ライプニッツの調和三角形

ライプニッツ調和三角形は、単位分数の三角形配置であり、最も外側の対角線は行番号の逆数で構成され、各内側のセルは、左上斜め上のセルから左のセルを引いたものです。代数的に言うと、L ( r , 1) = 1/ r (ここで、 rは 1 から始まる行番号、cはrを超えることはない列番号) およびL ( r , c ) = L ( r − 1, c − 1) − L ( r , c − 1) です。

最初の8行は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}$

分母は（OEISのシーケンスA003506）に記載されており、分子はすべて1です。

項は漸化式で与えられる

${\displaystyle L(r,1)={\frac {1}{r}},}$

${\displaystyle L(r,c)=L(r-1,c-1)-L(r,c-1),}$

そして明示的に

${\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{c{\binom {r}{c}}}}={\frac {1}{r{\binom {r-1}{c-1}}}},}$

どこ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$は二項係数を表す。^{[ 1 ]}

パスカルの三角形では各要素が上の行の2つの要素の合計であるのに対し、ライプニッツの三角形では各要素が下の行の2つの要素の合計である。例えば、5行目の要素(1/30)は、6行目の2つの要素(1/60)の合計である。

パスカルの三角形が二項係数を用いて計算できるのと同様に、ライプニッツの三角形も計算できる。${\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}}$さらに、この三角形の要素はパスカルの「各行の項は、最初の項を対応するパスカルの三角形の要素で割ったものである」^{[ 2 ]}から計算できます。 実際、各対角線は対応するパスカルの三角形の対角線と関連しています。最初のライプニッツの対角線は 1/(1x自然数)、2 番目は 1/(2x三角数)、3 番目は 1/(3x四面体数) などです。

さらに、調和三角形の各要素は、パスカルの三角形の対応する要素の逆数に、対応する行の逆数を掛けたものに等しい。${\displaystyle r}$${\displaystyle h_{(r,c)}={\frac {1}{p_{(r,c)}}}\times {\frac {1}{r}}}$、 どこ${\displaystyle h_{(r,c)}}$は調和三角形のエントリであり、${\displaystyle p_{(r,c)}}$パスカルの三角形のそれぞれの項目は

任意の対角線上のすべての項の無限和は、前の対角線上の最初の項に等しい。$\sum_{r=c}^{\infty}L(r,c)=L(c-1,c-1)$なぜなら、再帰式は、次のように級数を縮約するために使用できるからである。${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }L(r,c)=\sum _{r=c}^{\infty }L(r-1,c-1)-L(r,c-1)=L(c-1,c-1)-{\キャンセルして {0}{L(\infty ,c-1)}}:}$どこ${\displaystyle L(\infty ,c-1)=\lim _{r\to \infty }L(r,c-1)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-2}}}=0}$。

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&{\color {red}1}&&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\color {blue}{\frac {1}{2}}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{3}}&&{\color {blue}{\frac {1}{6}}}&&{\frac {1}{3}}&&&\\&&&{\frac {1}{4}}&&{\color {blue}{\frac {1}{12}}}&&{\frac {1}{12}}&&{\color {red}{\frac {1}{4}}}&&\\&&{\frac {1}{5}}&&{\color {blue}{\frac {1}{20}}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\color {blue}{\frac {1}{5}}}&\\&{\frac {1}{6}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\color {blue}{\frac {1}{30}}}&&{\frac {1}{6}}\\&&&&\vdots &&&&\vdots &&&\\\end{array}}}$

例えば、

${\displaystyle {\color {blue}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+...}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...={\color {red}1}}$

${\displaystyle {\color {blue}{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{105}}+...}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{20}}-{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{60}}-{\frac {1}{140}}+...={\color {red}{\frac {1}{4}}}}$

係数の式を置き換えると、無限級数が得られます。${\displaystyle \sum _{r=c}^{\infty }{\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}={\frac {1}{c-1}}}$ここで挙げた最初の例は、もともとは1694年頃のライプニッツの著作に登場したものです^{[ 3 ]。}

n行目の分母を足し合わせると、結果は次のようになる。${\displaystyle n2^{n-1}}$例えば、3行目では、3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2 ²となります。

我々は持っています${\displaystyle L(r,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx.}$

• パスカルの法則
• ホッケースティック型アイデンティティ