位置エネルギー

位置エネルギー
弓矢の場合、射手が弓に力を入れて弦を引くと、射手の体の化学エネルギーの一部が弓の曲がった部分の弾性位置エネルギーに変換されます。弦が放たれると、弦と矢の間の力が矢に作用します。弓の部分は位置エネルギーが矢の運動エネルギーに変換され、矢は飛び立ちます。
一般的な記号	PE、U、またはV
SI単位	ジュール(J)
他の量からの導出	U = m ⋅ g ⋅ h (重力) U = 1 ⁄ 2 ⋅ k ⋅ x 2 (弾性) U = 1 ⁄ 2 ⋅ C ⋅ V 2 (電気) U = − m ⋅ B (磁気) う =${\textstyle \int F(r)\,dr}$

物理学において、位置エネルギーとは、物体が他の物体に対する位置、物体自体の内部の応力、電荷、またはその他の要因によって保持するエネルギーのことである。 ^{[1] [2]}位置エネルギーという用語は、19世紀のスコットランドの技術者で物理学者のウィリアム・ランキンによって導入されたが、^{[3] [4] [5]}古代ギリシャの哲学者アリストテレスの潜在性の概念と関連がある。

一般的な位置エネルギーの種類には、物体の重力位置エネルギー、変形したバネの弾性位置エネルギー、電界内の電荷の電気位置エネルギーなどがあります。国際単位系(SI)におけるエネルギーの単位はジュール(記号 J) です。

位置エネルギーは、物体に作用する力と関連しており、これらの力によって物体に行われる全仕事は、空間内の物体の初期位置と最終位置のみに依存します。これらの力は、全仕事が経路に依存しないため、保存力と呼ばれます。物体に作用する力が空間にわたって変化する場合は、力場が存在します。このような場は、空間内のすべての点におけるベクトルによって記述され、ベクトル場と呼ばれます。保存ベクトル場は、スカラーポテンシャルと呼ばれる特定のスカラー関数の勾配として簡単に表現できます。位置エネルギーはこのポテンシャル関数に関連し、このポテンシャル関数から取得できます。

位置エネルギーにはさまざまな種類があり、それぞれ特定の種類の力に関連付けられています。たとえば、弾性力の仕事は弾性位置エネルギーと呼ばれます。重力の仕事は重力位置エネルギーと呼ばれます。クーロン力の仕事は電気位置エネルギーと呼ばれます。重粒子電荷に作用する強い核力または弱い核力の仕事は核位置エネルギーと呼ばれます。分子間力の仕事は分子間位置エネルギーと呼ばれます。化石燃料に蓄えられているエネルギーなどの化学位置エネルギーは、原子や分子内の電子と核の配置が再配置される際のクーロン力の仕事です。熱エネルギーには通常、粒子のランダムな運動の運動エネルギーと粒子の配置の位置エネルギーの 2 つの要素があります。

ポテンシャルから得られる力は、保存力とも呼ばれます。保存力によって行われる仕事は、 力に関連するポテンシャル エネルギーの変化 です。負の符号は、力場に対して行われる仕事はポテンシャル エネルギーを増加させ、力場によって行われる仕事はポテンシャル エネルギーを減少させるという慣例を提供します。ポテンシャル エネルギーの一般的な表記法は、 PE、U、V、およびE _pです。 $${\displaystyle W=-\Delta U}$$${\displaystyle \Delta U}$

位置エネルギーは、物体が他の物体に対して持つ位置によるエネルギーです。^[6]位置エネルギーは、バネや重力などの復元力と関連付けられることが多いです。バネを伸ばしたり、質量を持ち上げる動作は、位置の力場に逆らって働く外力によって行われます。この仕事は力場に蓄えられ、位置エネルギーとして蓄えられると言われています。外力が取り除かれると、力場は物体に作用して、物体を初期位置に戻す仕事を行い、バネの伸びを減らしたり、物体を落下させたりします。

質量mのボールを高さhから落下させるとします。自由落下の加速度gはほぼ一定なので、ボールの重力mgは一定です。力と変位の積が仕事量となり、これは重力による位置エネルギーに等しいので、 $${\displaystyle U_{g}=mgh.}$$

より正式な定義は、位置エネルギーとは、特定の位置にある物体のエネルギーと基準位置にある物体のエネルギーとのエネルギー差であるということです。

1840年頃から、科学者たちはエネルギーと仕事の定義と理解に努めた。^[5] 「位置エネルギー」という用語は、1853年にスコットランドの技術者で物理学者のウィリアム・ランキンによって、用語を開発するための特別な取り組みの一環として造られた。 ^[3]彼は、アリストテレス の著作に遡る「実際」と「潜在的」のペアの一部としてこの用語を選んだ。1867年の同じトピックに関する議論で、ランキンは位置エネルギーを「構成のエネルギー」と表現し、実際のエネルギーを「活動のエネルギー」と表現している。また、1867年にウィリアム・トムソンは「位置エネルギー」の反対として「運動エネルギー」を導入し、すべての実際のエネルギーは⁠1/2⁠ mv ²。この仮説が広く受け入れられるようになると、「実エネルギー」という用語は徐々に消えていった。^[4]

位置エネルギーは力と密接に関係しています。A からBに移動する物体に力が及ぼす仕事が、これらの点間の経路に依存しない場合(仕事が保存力によって行われる場合)、Aから測定されたこの力の仕事は、空間内の他のすべての点にスカラー値を割り当て、スカラー位置フィールドを定義します。この場合、力は、位置フィールドの ベクトル勾配の負として定義できます。

加えられた力に対する仕事が経路に依存しない場合、力によって行われた仕事は、適用点の軌道の始めから終わりまでで評価されます。つまり、 2 つの点x _Aとx _Bで評価できる「ポテンシャル」と呼ばれる関数U ( x ) があり、これら 2 つの点間の任意の軌道での仕事を得ることができます。この関数は、負の符号で定義するのが慣例です。つまり、正の仕事はポテンシャルの減少です。つまり、 CはA から B への軌道です。行われた仕事は経路に依存しないため、この式はA から B への 任意の軌道Cに当てはまります。$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} _{\text{A}})-U(\mathbf {x} _{\text{B}})}$$

関数U ( x ) は、加えられた力に関連する位置エネルギーと呼ばれます。位置エネルギーを持つ力の例としては、重力やバネ力などがあります。

このセクションでは、仕事と位置エネルギーの関係をより詳細に説明します。曲線Cに沿った仕事を定義する線積分は、力F がスカラー場U ′( x ) に関連している場合、次のように特別な形になります。つまり 、 U ′ の単位は次のようになります。この場合、曲線に沿った仕事は次のように与えられ、 勾配定理を 使用して評価できます。 これは、力がスカラー場から導出可能な場合、曲線Cに沿ったそれらの力の仕事は、曲線の始点 A と終点 B でスカラー場を評価することによって計算されることを示しています。つまり、仕事積分は A と B の間の経路に依存せず、経路から独立していると言えます。 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\nabla U'}=\left({\frac {\partial U'}{\partial x}},{\frac {\partial U'}{\partial y}},{\frac {\partial U'}{\partial z}}\right).}$$$${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{C}\nabla U'\cdot d\mathbf {x} ,}$$$${\displaystyle W=U'(\mathbf {x} _{\text{B}})-U'(\mathbf {x} _{\text{A}}).}$$

位置エネルギーU = − U ′( x )は伝統的にこのスカラー場の負として定義され、力場による仕事は位置エネルギーを減少させる。つまり、 $${\displaystyle W=U(\mathbf {x} _{\text{A}})-U(\mathbf {x} _{\text{B}}).}$$

この場合、仕事関数に del 演算子を適用すると 、力F は「ポテンシャルから導出可能」であると言われます。^{[7]これはまた、必然的に}F が保存ベクトル場でなければならないことを意味します。ポテンシャルU は空間内のすべての点xで力F を定義するため、力の集合は力場 と呼ばれます。 $${\displaystyle {\nabla W}=-{\nabla U}=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,}$$

力場F ( x )が与えられた場合、勾配定理を用いた仕事積分の評価は、位置エネルギーに関連するスカラー関数を見つけるために使用できる。これは、γ(a)=Aからγ(b)=Bまでのパラメータ化された曲線γ ( t ) = r ( t )を導入し、計算することによって行われる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \Phi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \Phi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)dt,\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\Phi (\mathbf {r} (t))dt=\Phi (\mathbf {r} (b))-\Phi (\mathbf {r} (a))=\Phi \left(\mathbf {x} _{B}\right)-\Phi \left(\mathbf {x} _{A}\right).\end{aligned}}}$$

力場Fについて、v = d r / dtとすると、勾配定理から次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt,\\&=-\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}U(\mathbf {r} (t))\,dt=U(\mathbf {x} _{A})-U(\mathbf {x} _{B}).\end{aligned}}}$$

力場によって物体に作用する力は、作用点の速度vの方向における仕事、つまり電位の勾配から得られる。つまり、 $${\displaystyle P(t)=-{\nabla U}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$$

ポテンシャル関数から計算できる仕事の例としては、重力やバネ力などがある。^[8]

高さの変化が小さい場合、重力による位置エネルギーは次のように計算できます。 ここで、 mは質量（キログラム）、gは局所的な重力場（地球上では毎秒 9.8 メートルの平方）、hは基準レベルからの高さ（メートル）、Uはエネルギー（ジュール）です。 $${\displaystyle U_{g}=mgh,}$$

古典物理学では、重力は地球の表面近くを移動する物体の質量中心に一定の下向きの力F = (0, 0, F _z )を及ぼします。ジェットコースターの軌道など、軌道r ( t ) = ( x ( t )、y ( t )、z ( t ))に沿って移動する物体に対する重力の仕事は、物体の速度v = ( v _x、v _y、v _z )を使用して計算され、 速度の垂直成分の積分が垂直距離になります。重力の仕事は、曲線r ( t ) の垂直方向の動きにのみ依存します。 $${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{z}v_{z}\,dt=F_{z}\Delta z.}$$

水平方向のバネは、軸方向またはx方向の変形に比例する力F = (− kx , 0, 0)を及ぼします。空間曲線s ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))に沿って移動する物体に対するこのバネの仕事は、バネの速度v = ( v _x , v _y , v _z )を使用して計算され、次の式が得られます。 便宜上、バネとの接触がt = 0で発生すると仮定すると、距離xとx速度の積の積分xv _xはx ² /2です。 $${\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}\,dt=-\int _{0}^{t}kx{\frac {dx}{dt}}dt=\int _{x(t_{0})}^{x(t)}kx\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}}$$

この関数は 線形ばねの位置エネルギーと呼ばれます。 $${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},}$$

弾性位置エネルギーは、張力または圧縮（正式な用語では応力）を受けて変形する弾性物体（弓やカタパルトなど）の位置エネルギーです。これは、物体を元の形状に戻そうとする力の結果として生じます。この力は、物体を構成する原子と分子間の電磁力であることが多いです。伸張が解除されると、エネルギーは運動エネルギーに変換されます。

重力ポテンシャル関数は、重力ポテンシャルエネルギーとも呼ばれ、次の式で表されます。 $${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}$$

負の符号は、位置エネルギーの損失によって仕事が得られるという慣例に従います。

距離rで離れた質量Mとmの 2 つの物体間の重力は、ニュートンの万有引力の法則によって与えられます。 ここで、はMからmを指す長さ 1 のベクトルであり、Gは万有引力定数です。 $${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

質量m が速度vで動くとすると、この質量が位置r ( t ₁ )からr ( t ₂ )に 動くときの重力の仕事は次のように表されます。 質量mの位置と速度は次のように表されます。 ここで、e _rとe _{t は}、 Mからmへのベクトルに対する半径方向と接線方向の単位ベクトルです。これを使用して、重力の仕事の式を次のように簡略化します。 $${\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}$$$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},}$$$${\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot ({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t})\,dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}$$

この計算では、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}$$

距離r離れた別の電荷qに電荷Qが及ぼす静電力はクーロンの法則で与えられます。 ここで、はQからqを指す長さ 1 のベクトルであり、ε _{0 は}真空の誘電率です。 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

静電力場内の任意の 点Aから点Bまでqを移動させるのに必要な仕事Wは、ポテンシャル関数で与えられる。$${\displaystyle U(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}.}$$

位置エネルギーは、システムの状態の関数であり、特定の状態に対する相対値として定義されます。この基準状態は、必ずしも実際の状態であるとは限りません。すべての物体間の距離が無限大に近づくような限界である場合もありますが、その限界に向かうエネルギーは有限であり、反比例法則の力の場合などです。任意の基準状態を使用できます。したがって、都合に応じて選択できます。

通常、システムの位置エネルギーはそのコンポーネントの相対的な位置にのみ依存するため、基準状態も相対的な位置で表現できます。

重力エネルギーは、地球の重力に逆らって物体を持ち上げるために作業が必要なため、重力に関連する位置エネルギーです。高い位置による位置エネルギーは重力位置エネルギーと呼ばれ、高架の貯水池の水やダムの背後に保持された水によって証明されます。物体が重力場内のある点から別の点に落下する場合、重力の力は物体に対して正の仕事を行い、重力位置エネルギーは同じ量だけ減少します。

テーブルの上に置かれた本について考えてみましょう。本が床からテーブルまで持ち上げられると、重力に逆らう外力が働きます。本が床に落ちると、本が受ける「落下」エネルギーは重力によって供給されます。したがって、本がテーブルから落ちると、この位置エネルギーは本の質量を加速するために使われ、運動エネルギーに変換されます。本が床に当たると、この運動エネルギーは衝撃によって熱、変形、音に変換されます。

物体の重力位置エネルギーに影響を与える要因は、ある基準点に対する物体の高さ、物体の質量、物体が位置する重力場の強さです。したがって、テーブルの上に置かれた本の重力位置エネルギーは、同じ本を背の高い戸棚の上に置いた場合よりも小さく、同じテーブルに置かれた重い本よりも小さくなります。月面から特定の高さにある物体の重力位置エネルギーは、地球表面から同じ高さにある物体よりも小さくなります。これは、月の重力が弱いためです。重力が一定であると想定されていない場合、一般的な意味での「高さ」は、重力位置エネルギーの計算には使用できません。次のセクションでは、さらに詳しく説明します。

重力場の強さは場所によって異なります。しかし、重力場の発生源の中心からの距離に比べて距離の変化が小さい場合、この場の強さの変化は無視でき、特定の物体にかかる重力の力は一定であると仮定できます。たとえば、地球の表面付近では、重力加速度は一定でg = 9.8 m/s ² (標準重力) と仮定します。この場合、重力による位置エネルギーの簡単な式は、仕事のW = Fd の式と次の式 を使用して導き出すことができます。$${\displaystyle W_{F}=-\Delta U_{F}.}$$

持ち上げられた物体が持つ重力による位置エネルギーの量は、持ち上げる際に重力に逆らって行われた仕事に等しい。行われた仕事は、物体を持ち上げるのに必要な力と、物体が移動する垂直距離の積に等しい（W = Fd を思い出してください）。一定速度で移動するときに必要な上向きの力は、物体の重さmgに等しいので、高さhまで持ち上げる際に行われた仕事は、その積mghです。したがって、質量、重力、高度のみを考慮すると、方程式は次のようになります。^[9] ここで、Uは地球表面上にある物体の位置エネルギー、mは物体の質量、gは重力による加速度、h は物体の高度です。^[10]$${\displaystyle U=mgh}$$

したがって、潜在的な差は $${\displaystyle \Delta U=mg\Delta h.}$$

しかし、距離が大きく変化すると、 gが一定であるという近似はもはや有効ではなくなり、微積分と仕事の一般的な数学的定義を使用して重力の位置エネルギーを決定する必要があります。位置エネルギーの計算では、ニュートンの万有引力の法則によって大きさが与えられる重力を、2 つの物体間の距離rに関して積分することができます。この定義を使用すると、ニュートンの万有引力定数Gを使用した、距離rにある質量m ₁とM ₂のシステムの重力の位置エネルギーは、

$${\displaystyle U=-G{\frac {m_{1}M_{2}}{r}}+K,}$$

ここで、K は、電位を測定する基準の選択に依存する任意の定数です。K = 0 (つまり、無限遠点に対して) という規則を選択すると、 U が負になるという犠牲はありますが、計算は簡単になります。これが物理的に合理的である理由については、以下を参照してください。

Uのこの式が与えられた場合、 n 個の物体のシステムの全位置エネルギーは、2 つの物体のすべてのペアについて、その 2 つの物体のシステムの位置エネルギーを合計することによって求められます。 ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$

物体系を、物体を構成する小さな粒子の集合体として考え、前述のことを粒子レベルに適用すると、負の重力結合エネルギーが得られます。この位置エネルギーは、各物体の負の重力結合エネルギーも含まれるため、物体系全体の位置エネルギーよりも強い負の値になります。物体系自体の位置エネルギーは、物体を互いに無限に分離するために必要なエネルギーの負の値であり、重力結合エネルギーは、すべての粒子を互いに無限に分離するために必要なエネルギーです。

$${\displaystyle U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)}$$ したがって、 $${\displaystyle U=-m\sum G{\frac {M}{r}},}$$

すべての位置エネルギーと同様に、ほとんどの物理的目的にとって重要なのは重力位置エネルギーの差だけであり、ゼロ点の選択は任意です。ある特定の有限r を別の有限 r よりも優先する合理的な基準がないことを考えると、 Uがゼロになる距離には と の 2 つの選択肢しかないようです。無限大での の選択は奇妙に思えるかもしれませんし、重力エネルギーが常に負になるという結果は直感に反するように思えるかもしれませんが、この選択により、負ではあっても重力位置エネルギーの値が有限になります。 ${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r=\infty }$${\displaystyle U=0}$

重力による位置エネルギーの式における での特異性は、 について とする、唯一明らかに妥当な代替の慣例の選択が、位置エネルギーが正になるが、rの非ゼロの値すべてに対して無限大になり、実数系で可能な範囲を超えて位置エネルギーの和または差を含む計算を行うことになるということを意味します。物理学者は計算で無限大を嫌悪し、実際にはr は常に非ゼロであるため、重力井戸内の負のエネルギーという考え方は最初は奇妙に思えて も、無限大での の選択ははるかに好ましい選択です。${\displaystyle r=0}$${\displaystyle U=0}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle U=0}$

重力エネルギーの負の値は、宇宙の総エネルギーを意味のある形で考慮できる宇宙論的計算においてより合理的であるように思わせる深い意味合いも持っています。これについてはインフレーション理論を参照してください。 ^[11]

重力による位置エネルギーには、揚水発電をはじめ、さまざまな実用的な用途がある。例えば、ウェールズのディノウィグには、一方が他方よりも標高の高い湖が 2 つある。余剰電力が必要ないとき (したがって比較的安価) は、水は標高の高い方の湖に汲み上げられ、電気エネルギー (ポンプを稼働) が重力による位置エネルギーに変換される。電力需要がピークに達すると、水は発電機タービンを通って下流に流れ、位置エネルギーが運動エネルギーに変換され、その後再び電気に変換される。このプロセスは完全に効率的ではなく、余剰電力の元々のエネルギーの一部は実際には摩擦によって失われている。^{[12] [13] [14] [15] [16]}

重力による位置エネルギーは、落下する重りによって機構が作動する時計の動力源としても使用されます。

エレベーターやクレーン、上げ下げ窓を持ち上げるカウンターウェイト としても使用されます。

ジェットコースターは位置エネルギーを利用する楽しい方法です。チェーンを使用して車両を傾斜に沿って移動させ（重力位置エネルギーを蓄積し）、その後、落下時にそのエネルギーを運動エネルギーに変換します。

もう一つの実用的な用途は、自動車、トラック、鉄道、自転車、飛行機、またはパイプライン内の流体などの輸送において、重力による位置エネルギーを利用して坂を下る（おそらく惰性で進む）ことです。場合によっては、道路が起伏していて頻繁にくぼみがある場合など、下降の位置エネルギーから得られる運動エネルギーを使用して次の勾配を登り始めることができます。米国では、高度鉄道エネルギー貯蔵（ARES）と呼ばれるシステムで、貯蔵エネルギー（鉄道車両を高所に持ち上げる形で）の商業化が行われており、電力網で必要なときに電気エネルギーに変換されます。^{[17] [18] [19]}

化学位置エネルギーは、原子または分子の構造的配置に関連する位置エネルギーの一種です。この配置は、分子内の化学結合の結果である場合もあれば、そうでない場合もあります。化学物質の化学エネルギーは、化学反応によって他の形態のエネルギーに変換できます。たとえば、燃料が燃焼すると、化学エネルギーは熱に変換されます。これは、生物体内で代謝される食物の消化の場合も同様です。緑植物は、光合成と呼ばれるプロセスを通じて太陽エネルギーを化学エネルギーに変換し、電気エネルギーは電気化学反応を通じて化学エネルギーに変換できます。

類似の用語である化学ポテンシャルは、化学反応、空間輸送、貯蔵庫との粒子交換などの形で物質が構成の変化を起こす可能性を示すために使用されます。

物体は、その電荷と、その存在に関連するいくつかの力によって位置エネルギーを持つことができます。この種の位置エネルギーには、静電位置エネルギーと電気力学的位置エネルギー (磁気位置エネルギーとも呼ばれる) の 2 つの主な種類があります。

空間内の 2 つの物体間の静電ポテンシャル エネルギーは、電荷Qが別の電荷qに及ぼす力から得られます。この 力は、 Qからqを指す長さ 1 のベクトル で、ε _{0 は}真空の誘電率です。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{e}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

物体の電荷が静止していると仮定できる場合、その物体は他の帯電物体に対する位置により位置エネルギーを持ちます。静電位置エネルギーは、電界内の電荷を帯びた粒子 (静止状態) のエネルギーです。これは、物体に作用する非電気的な力を考慮して、無限遠から現在の位置まで移動させるために必要な作業として定義されます。このエネルギーは、近くに別の電荷を帯びた物体がある場合、通常はゼロではありません。

静電力場内で q をAから任意の点Bに移動させるために必要な仕事W は、通常、ジュールを表す J で表されます。電位(通常、電圧を表すVで表されます) と呼ばれる関連量は、単位電荷あたりの電位エネルギーに等しくなります。 $${\displaystyle \Delta U_{AB}({\mathbf {r} })=-\int _{A}^{B}\mathbf {F_{e}} \cdot d\mathbf {r} }$$

外部から生成された磁場Bの磁気モーメント のエネルギーは位置エネルギーを持つ^[20]${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ $${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}$$

磁場における磁化 M は、積分が全空間にわたって行われるか、または同等に、M がゼロでない場所です 。[ 21 ]磁気位置^{エネルギー} は、磁性体間の距離だけでなく、磁場内でのそれらの物質の向き、または配列にも関連するエネルギーの形式です。たとえば、コンパスの針は、地球の磁場の N 極と S 極に揃っているときに、磁気位置エネルギーが最も低くなります。針が外部の力によって動かされると、地球の磁場によって針の磁気双極子にトルクが加わり、針は元の位置に戻ります。針の磁気位置エネルギーは、磁場が地球の磁場と同じ方向にあるときに最も高くなります。2 つの磁石は、互いに対して、およびそれらの間の距離に対して位置エネルギーを持ちますが、これはそれらの向きにも依存します。反対の極が離されている場合、位置エネルギーは離れているほど高くなり、近いほど低くなります。逆に、同じ極同士が押し付けられたときに位置エネルギーは最も高くなり、離れるときに位置エネルギーは最も低くなります。^{[22] [23]}$${\displaystyle U=-{\frac {1}{2}}\int \mathbf {M} \cdot \mathbf {B} \,dV,}$$

核の位置エネルギーは、原子核内の粒子の位置エネルギーです。核粒子は強い核力によって結合しています。弱い核力は、ベータ崩壊などの特定の種類の放射性崩壊の位置エネルギーを提供します。

陽子や中性子などの核粒子は、核分裂や核融合のプロセスでは破壊されませんが、それらの集合は個別に自由である場合よりも質量が小さくなることがあり、その場合、この質量差は核反応で熱と放射線として解放される可能性があります（熱と放射線には失われた質量がありますが、システムから逃げ出すことが多く、測定されません）。太陽からのエネルギーは、この形式のエネルギー変換の一例です。太陽では、水素の核融合プロセスにより、毎秒約400万トンの太陽物質が電磁エネルギーに変換され、宇宙に放射されます。

位置エネルギーは力と密接に関係しています。A からBに移動する物体に力が及ぼす仕事が、これらの点間の経路に依存しない場合、 A から測定されたこの力の仕事は、空間内の他のすべての点にスカラー値を割り当て、スカラー位置フィールドを定義します。この場合、力は、位置フィールドの ベクトル勾配の負として定義できます。

たとえば、重力は保存力です。関連するポテンシャルは重力ポテンシャルで、またはで表され、位置の関数としての単位質量あたりのエネルギーに対応します。距離rで隔てられた質量Mとmの 2 つの粒子の重力ポテンシャル エネルギーは、 です 。2つの物体の 重力ポテンシャル (比エネルギー) は、 で、は換算質量です。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}}.}$$$${\displaystyle \phi =-\left({\frac {GM}{r}}+{\frac {Gm}{r}}\right)=-{\frac {G(M+m)}{r}}=-{\frac {GMm}{\mu r}}={\frac {U}{\mu }}}$$${\displaystyle \mu }$

の微小質量を点 A から点 B へ移動させることによって重力に逆らって行われる仕事は、また、逆方向に戻ってくる仕事は、となるので、A から B へ移動して A に戻る ときに行われる仕事の合計は、となります。A での電位を に、B での電位を に再定義すると、 は定数（つまり、正でも負でも任意の数にできるが、A と B で同じでなければならない）であるため、A から B への移動中に行われる仕事は 前と同じです。 ${\displaystyle U=a}$${\displaystyle U=b}$${\displaystyle (b-a)}$${\displaystyle (a-b)}$$${\displaystyle U_{A\to B\to A}=(b-a)+(a-b)=0.}$$${\displaystyle a+c}$${\displaystyle b+c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle U_{A\to B}=(b+c)-(a+c)=b-a}$$

実際には、これはとのゼロを好きな場所に設定できることを意味します。地球の表面でゼロに設定することもできますし、無限遠でゼロを設定する方が便利だと感じるかもしれません (このセクションの前半で示した式のように)。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \phi }$

保存力は、微分幾何学の言語では閉じた形式として表現できます。ユークリッド空間は収縮可能なため、そのド・ラーム・コホモロジーは消滅し、すべての閉じた形式は正確な形式でもあり、スカラー場の勾配として表現できます。これにより、すべての保存力がポテンシャル場の勾配であるという事実が数学的に正当化されます。

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2010). Physics for Scientists and Engineers (第 8 版). Brooks/Cole cengage. ISBN 978-1-4390-4844-3。
• ティプラー、ポール (2004)。科学者とエンジニアのための物理学: 力学、振動と波、熱力学(第 5 版)。WH フリーマン。ISBN 0-7167-0809-4。

• 位置エネルギーとは何ですか?